摘 要：【目的】研究裂隙扭曲度對彈性波頻散和衰減的影響，揭示裂隙幾何形態(tài)變化與彈性波傳播特性之間的內(nèi)在聯(lián)系?！痉椒ā酷槍α严杜で茸兓瘜娚淞餍?yīng)的影響進(jìn)行了具體分析。采用廣義麥克斯韋型本構(gòu)方程近似牛頓型流體的本構(gòu)方程，利用動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬計(jì)算了垂直裂隙走向方向上彈性波的頻散和衰減。通過數(shù)值模擬揭示了不同扭曲度下彈性波的頻散和衰減行為，并總結(jié)了裂隙幾何形態(tài)變化對頻散特征的影響規(guī)律?！窘Y(jié)果】隨著扭曲度的增大，衰減的特征頻率和峰值均減小；速度與扭曲度在低頻區(qū)呈正相關(guān)，在高頻區(qū)呈負(fù)相關(guān)?！窘Y(jié)論】裂隙扭曲度對彈性波的噴射流效應(yīng)具有較大影響，實(shí)際資料解釋中應(yīng)給予重視。

關(guān)鍵詞：動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬；數(shù)字巖心；扭曲度；噴射流；彈性波

中圖分類號：P631" " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " 文章編號：1003-5168（2024）24-0090-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.24.017

Study on the Influence of Fracture Distortion Degree on the Dispersion and Attenuation of Elastic Wave

Abstract：[Purposes] The effect of fracture distortion on the dispersion and attenuation of elastic waves is studied， and the intrinsic relationship between the fracture geometry and the propagation characteristics of elastic waves is revealed. [Methods] In this paper， the influence of fracture distortion on jet stream effect was analyzed. The generalized Maxwell constitutive equation is used to approximate the Newtonian fluid constitutive equation， and the dynamic stress-strain simulation is used to calculate the elastic wave dispersion and attenuation in the vertical fracture direction. The numerical simulation reveals the elastic wave dispersion and attenuation behavior under different distortion degrees， and the influence of fracture geometry on the dispersion characteristics is summarized. [Findings] With the increase of distortion degree， the characteristic frequency and peak value of attenuation decrease. Velocity and distortion are positively correlated in the low frequency region and negatively correlated in the high frequency region. [Conclusions] The distortion degree of fracture has great influence on the jet stream effect of elastic wave， which should be paid attention to in the interpretation of actual data.

Keywords： dynamic stress-strain simulation; digital core; distortion degree; jet stream; elastic wave

0 引言

彈性波在巖石中傳播時(shí)具有頻散和衰減現(xiàn)象。頻散是指波的速度隨頻率變化，衰減是指波的能量發(fā)生耗散。頻散和衰減與波在孔隙、裂隙中誘發(fā)的流固相對運(yùn)動（以下簡稱波致流）密切相關(guān)。巖石的裂隙和堅(jiān)硬孔隙之間，為了平衡不均勻的流體壓力而產(chǎn)生的波致流稱為噴射流。對噴射流效應(yīng)的研究可以追溯到20世紀(jì)70年代，Mavko等首次提出單孔非均勻介質(zhì)下的噴射流理論［1］。Mavko發(fā)現(xiàn)部分飽和巖石中地震波的衰減與孔隙的縱橫比密切相關(guān)［2］。Mavko等［3］深入探究了巖石中流體對速度頻散的影響，強(qiáng)調(diào)了孔隙剛度異質(zhì)性在局部流動效應(yīng)中的重要性。Dvorkin等［4］通過引入了特征噴射流長度，建立了彈性波頻散和衰減理論，隨后Mavko等［5］通過試驗(yàn)研究證明了該理論的合理性。Gurevich等［6］建立了硬幣狀裂隙內(nèi)流體弛豫引起的彈性波頻散和衰減理論。Saenger等［7］通過模擬驗(yàn)證了噴射流理論中波傳播受孔隙結(jié)構(gòu)的影響。鄧?yán)^新等［8］研究了裂隙縱橫比分布的影響；Sun等［9］研究了有效應(yīng)力變化對頻散和衰減的作用；歐陽芳等［11］研究了裂隙間流體交換的彈性響應(yīng)。

近年來，數(shù)字巖心準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬被用于噴射流效應(yīng)研究。Quintal等［11］計(jì)算了正交交叉裂隙中噴射流導(dǎo)致的頻散和衰減，隨后Quintal等［12］將此方法擴(kuò)展到三維模型，同時(shí)研究了衰減在裂隙中的分布特征。Alkhimenkov等［13］研究了硬幣狀裂隙外緣孔隙壓力對噴射流的影響。Lissa等［14］研究了裂隙面粗糙度對噴射流效應(yīng)的影響。Solazzi等［15］研究了部分飽和硬幣狀裂隙的噴射流效應(yīng)。數(shù)字巖心動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬是與準(zhǔn)靜態(tài)模擬類似又有區(qū)別的模擬方法。Zhang等［16］利用單頻動態(tài)模擬計(jì)算了頻率為 100 kHz 時(shí)數(shù)字巖心的速度和衰減。Zhu等［17］開發(fā)了基于旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬方法，用于計(jì)算數(shù)字巖心的有效彈性特性。Das等［18］利用動態(tài)單頻率計(jì)算二維十字連通裂隙的數(shù)字巖心的速度與衰減。朱偉等［19］計(jì)算了含裂隙數(shù)字巖心在0～1 MHz內(nèi)的頻散和衰減曲線。Yang等［20］較系統(tǒng)地研究了裂隙幾何參數(shù)變化時(shí)彈性波頻散和衰減特征的變化。

為研究裂隙扭曲度對彈性波頻散和衰減的影響規(guī)律，本研究建立了彎曲程度不同的4個(gè)裂隙-孔隙數(shù)字巖心，采用動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬計(jì)算頻散和衰減曲線，提取頻散和衰減的特征參數(shù)，分析其與裂隙扭曲度的關(guān)系。

1 動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬的基本原理

1.1 邊界條件

在動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬中數(shù)字巖心發(fā)生受迫運(yùn)動，需設(shè)置特殊的邊界條件，如圖1所示。數(shù)字巖心的上、下邊界都采用周期性的邊界條件，左邊界固定不動，右邊界在外力的作用下發(fā)生均一的水平運(yùn)動。動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬通過控制右邊界的速度和位移實(shí)現(xiàn)數(shù)字巖心受迫運(yùn)動。

在t≥0時(shí)刻，數(shù)字巖心的右邊界的速度變化可以表示為式（1）。

式中：vx和vz分別表示x和z方向的質(zhì)點(diǎn)速度分量；L表示數(shù)字巖心的邊長，假設(shè)左邊界處x=0；t表示時(shí)間；f（t）是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，f（t）=0；A用于控制應(yīng)變量級。

函數(shù)f（t）可以是頻率低通函數(shù)，如圖2所示。f（t）主脈沖左側(cè)時(shí)間較短，右側(cè)時(shí)間較長，并逐漸趨于0。f（t）的延續(xù)時(shí)間和裂隙流體壓力平衡所需的時(shí)間有關(guān)。

1.2 波動方程

在頻率中，可壓縮牛頓流體的彈性常數(shù)可以表示為式（2）［21］。

[C11ω=λ+iωηλ+iω2ημC12ω=λ+iωηλC44ω=iωημ] （2）

式中：λ是拉梅常數(shù)；ηλ=ημ=η是黏滯系數(shù)；ω是圓頻率。

Saenger等［21-22］提出利用廣義麥克斯韋體（GMB）近似牛頓流體。當(dāng)只有一種松弛機(jī)制時(shí)，GMB的彈性模量CIJ（ω）可以表示為式（3）。

式中：CIJ和ωr分別表示彈性張量和參考圓頻率；YIJ表示非彈性系數(shù)張量。

式（2）用GMB表示為式（4）。

式中：[c44=τv2pρf]，[vp]是0 Hz時(shí)的流體波速；[ρf]是流體密度；[τ]值需綜合考慮；Saenger等［22］取值為50。

流體的黏滯系數(shù)與c44和ωr的關(guān)系為式（5）。

GMB近似牛頓流體在頻率[flt;lt;ωr2π]的范圍內(nèi)滿足。當(dāng)模擬的彈性波頻帶較寬時(shí)，c44和ωr的數(shù)值都可能比較高。

波場模擬需要滿足穩(wěn)定性條件，因此存在關(guān)系如式（6）。

式中：[Δx]是模型離散時(shí)的網(wǎng)格邊長，[Δt]是時(shí)間離散步長。

在時(shí)間域，GMB的應(yīng)力、應(yīng)變和非彈性函數(shù)可以表示為式（7）。

式中：[σ11，σ22，σ12]為應(yīng)力；[e11，e22，e12]為應(yīng)變；[ξ11，ξ22，ξ12]為非彈性函數(shù)。

沒有體力項(xiàng)的運(yùn)動方程為式（8）。

式中：ρ表示密度。

相比完全彈性時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，式（7）中多了3個(gè)參數(shù)，需要3個(gè)包含非彈性函數(shù)的方程為式（9）。

數(shù)字巖心的骨架部分為彈性介質(zhì)，非彈性函數(shù)為[ξ11，ξ22，ξ12]均為零。

上述方程式（7）至式（9）采用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分法迭代求解，可以處理數(shù)字巖心中流體和固體的相互作用。

1.3 等效頻散和衰減

在邊界條件的作用下，采用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限

2 數(shù)字巖心與模擬結(jié)果

2.1 數(shù)字巖心

本研究建立了4個(gè)數(shù)字巖心，它們的長度和寬度分別為4 mm和1.5 mm，如圖3所示。每個(gè)數(shù)字巖心包含1個(gè)圓形孔隙和1條裂隙。裂隙一端與圓形孔隙相連，另一端封閉在數(shù)字巖心內(nèi)部，總體走向沿z軸方向。在圖3（a）中，裂隙為直線形，在圖3（b）至圖3（d）中，裂隙具有簡諧波形狀。4個(gè)數(shù)字巖心的裂隙在z軸上的投影長度相同，扭曲度（扭曲度是裂隙曲線長度與直線長度之比）分別約為1、1.04、1.13和1.28。扭曲度越大表示裂隙彎曲程度越大。

數(shù)字巖心各組分的彈性模量、黏滯系數(shù)和密度見表1。

2.2 模擬結(jié)果

縱波速度及衰減隨頻率的變化關(guān)系如圖4所示。由圖4（a）可知，在低頻段，扭曲度對速度的影響較??；在高頻段，扭曲度對速度的影響相對較大。由圖4（b）可知，扭曲度對衰減的特征頻率和峰值有明顯的影響。

10 Hz和100 kHz的縱波速度與扭曲度的關(guān)系如圖5所示。由圖5（a）可知，縱波速度隨扭曲度的增加而增大。該現(xiàn)象背后的物理機(jī)制為從數(shù)字巖心圖3（a）至圖3（d），裂隙扭曲度增加，斜交z方向的裂隙段長度增加，裂隙孔隙度增加，數(shù)字巖心的密度降低。在頻率10 Hz處，裂隙流體壓力可以實(shí)現(xiàn)平衡，裂隙沿z方向的長度對數(shù)字巖心的縱波模量具有主導(dǎo)作用。從數(shù)字巖心圖3（a）至圖3（d），縱波模量的減小微弱。綜合縱波模量和密度的變化，縱波速度最終表現(xiàn)為隨著扭曲度的增加而增大。

由圖5（b）可知，100 kHz時(shí)的縱波速度隨扭曲度的增加而減小。該現(xiàn)象背后的物理機(jī)制為在高頻段，裂隙流體壓力不能平衡，流體對骨架的支撐作用增強(qiáng)。當(dāng)裂隙彎曲時(shí)，存在斜交z方向的裂隙段，局部流體壓力部分平衡，流體對骨架的支撐作用減弱，數(shù)字巖心的縱波模量降低。扭曲度越大，局部壓力平衡程度越大，數(shù)字巖心的縱波模量越小。綜合縱波模量和密度的變化，縱波速度隨著扭曲度的增加大而減小。

衰減與裂隙扭曲度的關(guān)系如圖6所示。由圖6（a）可知，特征頻率隨扭曲度的增加而降低。這說明裂隙扭曲度增加，流體運(yùn)動阻力增大，壓力平衡所需要的時(shí)間越長。由圖6（b）可知，峰值衰減隨扭曲度的增加而減小。這說明壓力平衡的快慢與衰減大小呈正相關(guān)。

3 結(jié)論

本研究通過基于4個(gè)數(shù)字巖心的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變模擬，研究了裂隙的扭曲度對彈性波的頻散和衰減的影響規(guī)律，結(jié)論如下。

①扭曲度對縱波速度的影響較復(fù)雜。在低頻段，縱波速度隨扭曲度的增加而增大；在高頻段，縱波速度隨扭曲度的增加而減小。

②扭曲度對縱波衰減有較明顯的影響。扭曲度增加，縱波衰減的特征頻率和峰值均減小。

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