微元法證明均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零

段石峰

(長(zhǎng)沙市周南中學(xué),湖南 長(zhǎng)沙 410201)

質(zhì)量分布均勻的球殼具有球?qū)ΨQ性(繞球心任意旋轉(zhuǎn)都是相同的),球殼對(duì)殼內(nèi)外質(zhì)點(diǎn)的萬有引力都可以用微積分或高斯定理求解[2],而球體是一層層同心球殼的疊加,因此只要解決球殼的問題,那么相關(guān)的一系列問題都迎刃而解.其中有一個(gè)很重要的結(jié)論:均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零.這個(gè)結(jié)論還可以借助空間“立體角”的概念進(jìn)行證明,但這些方法都屬于高等數(shù)學(xué).高中物理通常把這個(gè)結(jié)論不加證明地告訴學(xué)生,盡管不礙于問題的解決,卻難免有“強(qiáng)行灌輸”之嫌,終究給學(xué)生留下“知其然而不知其所以然”的疑惑和缺憾,這不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展.

雖然高中階段對(duì)微積分不作要求,但由它派生出來的微元法屬于初等方法,并且非常巧妙地實(shí)現(xiàn)了降解.微元法是高中物理處理問題的重要方法,基本思路是“先無限分割,再累積求和”,即先把物體分割成足夠小的質(zhì)量微元,求出它們之間的萬有引力,再求力的矢量和就可得到物體之間的萬有引力.本文利用微元法從兩種不同的視角,證明均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零.

1 用微元法處理的基本思路

當(dāng)物體不能看作質(zhì)點(diǎn)時(shí),物體之間的萬有引力如何計(jì)算?基本思路是將物體進(jìn)行分割,當(dāng)分割得足夠細(xì)時(shí),每一部分都可以看作質(zhì)點(diǎn)[3].如圖1所示,首先把A、B兩個(gè)物體分割成很多小塊,每一小塊的體積都很小,可以看作質(zhì)量為Δm的質(zhì)點(diǎn),A、B物體上任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力為

圖1 微元法基本思路

然后求出B物體上所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)Δmai的萬有引力,將這些力進(jìn)行矢量求和,得到B對(duì)A上任意質(zhì)點(diǎn)Δmai的萬有引力為

最后把B對(duì)A上每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力進(jìn)行矢量求和,得到A、B兩物體之間的萬有引力為

即A、B之間的萬有引力等于A的每一部分與B的每一部分的萬有引力的矢量和.然而對(duì)于體積不規(guī)則的物體,求和過程很難計(jì)算;對(duì)于具有對(duì)稱性的物體,可以利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化求和過程.

2 用微元法證明的兩種視角

2.1 視角一:用圓錐截取

如圖2所示,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處在球殼內(nèi)的任意位置P點(diǎn),過P點(diǎn)任意作一條直線與球殼的交點(diǎn)為A點(diǎn)和B點(diǎn).以P點(diǎn)為頂點(diǎn)、以直線AB為對(duì)稱軸任意作一對(duì)頂角很小的圓錐,圓錐在球殼上截取兩個(gè)面積很小的球面,可以看作以A點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心的圓平面,圓的面積分別為S1和S2.

圖2 用圓錐截取的球面示意圖

設(shè)球殼單位面積的質(zhì)量為σ,截取的兩個(gè)質(zhì)量微元m1和m2可以看作位于A點(diǎn)和B點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn),它們到P點(diǎn)的距離分別為r1和r2,對(duì)P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力方向相反,大小分別為

分別過A點(diǎn)和B點(diǎn)作垂直于AB的圓錐底面圓,半徑分別為R1和R2,面積分別為S1′和S2′.設(shè)∠OAB=∠OBA=θ,則圓面S1與S1′的夾角為θ,圓面S2與S2′的夾角也為θ,它們的關(guān)系為

由于垂直于AB的兩個(gè)圓錐底面圓相互平行,所以存在相似三角形關(guān)系,由對(duì)應(yīng)邊成比例可得

聯(lián)立以上各式可得F1=F2,即F1和F2的矢量和為零.現(xiàn)將對(duì)頂圓錐繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn),所截取的每一對(duì)質(zhì)量微元對(duì)P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的萬有引力的矢量和都為零,并且可以截取到整個(gè)球殼,所以整個(gè)球殼對(duì)P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零,于是證明了均勻球殼對(duì)殼內(nèi)任意位置質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零[4].

2.2 視角二:用環(huán)帶分割

如圖3所示,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處在球殼內(nèi)的任意位置P點(diǎn),以P點(diǎn)為頂點(diǎn)、以過P點(diǎn)的直徑為對(duì)稱軸任意作一對(duì)圓錐,圓錐母線與對(duì)稱軸的夾角為θ,此角增大Δθ(Δθ→0)的過程中,圓錐在球殼上掃出兩條環(huán)帶,兩環(huán)帶到P點(diǎn)的距離分別為r1和r2,寬度分別為r1Δθ和r2Δθ,半徑分別為R1和R2,則兩環(huán)帶的面積分別為

S1=2πR1·r1Δθ,S2=2πR2·r2Δθ

圖3 用環(huán)帶分割示意圖

設(shè)球殼單位面積的質(zhì)量為σ,則兩環(huán)帶的質(zhì)量分別為

m1=σS1,m2=σS2

將兩環(huán)帶再分割為質(zhì)量微元Δm1和Δm2,對(duì)P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力方向具有對(duì)稱性,與對(duì)稱軸的夾角為θ,大小分別為

那么兩環(huán)帶對(duì)P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力方向沿對(duì)稱軸相反,大小分別為

由于兩環(huán)帶所在的圓平面相互平行,所以存在相似三角形關(guān)系,由對(duì)應(yīng)邊成比例可得

3 結(jié)束語

從證明的過程來看,之所以分割的每一對(duì)質(zhì)量微元對(duì)球殼內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零,是因?yàn)槿f有引力具有一個(gè)很明顯的特點(diǎn),那就是它與距離的平方成反比.換句話說,“均勻球殼對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為零”這個(gè)結(jié)論并非偶然,而是平方反比規(guī)律的必然結(jié)果.既然如此,由于庫侖定律同樣遵循平方反比規(guī)律,那么本文的證明方法和結(jié)論也同樣適用于庫侖力,即“電荷分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)任意位置點(diǎn)電荷的庫侖力為零”.只不過帶電體產(chǎn)生的靜電場(chǎng)容易與物質(zhì)發(fā)生相互作用,引起明顯的靜電感應(yīng)現(xiàn)象或電介質(zhì)極化現(xiàn)象,導(dǎo)致電荷的分布難以保證具有球?qū)ΨQ性.