談初中數(shù)學探究規(guī)律型問題及解題策略

謝紹煥

(福建省寧德市蕉城區(qū)蕉城中學,福建 寧德 352100)

探究規(guī)律型問題是歷年中考必考知識點,這類問題通常也被稱為歸納猜想型問題.或是給出一組圖形操作變化過程,或是給出某一類問題情境,或是給出一組有著某種特定關系的數(shù),要求學生觀察、分析、推理,找出其中蘊含的規(guī)律,在此基礎上猜想、歸納出一般性結論,這類問題對于學生思維能力的培養(yǎng)有積極影響.筆者以歷年中考試題為例,簡要闡述初中數(shù)學探究規(guī)律型問題及解題策略.

1 探究規(guī)律型問題的分類

1.1 根據(jù)問題的結構特征分類

1.1.1循環(huán)型問題

這類問題中各項在排列上有一定的規(guī)律性,呈現(xiàn)周期性循環(huán).

例1 觀察算式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2 187,38=6 561,…確定32 011個位數(shù)字是____.

1.1.2非循環(huán)型問題

這類問題中的已知各項不會呈現(xiàn)周期性循環(huán),但它們有共同特征,遵循同一個表達式所反映的基本規(guī)律.

例2 數(shù)列2,4,8,16,…則第90項是____.

1.2 根據(jù)問題的表現(xiàn)形式分類

1.2.1數(shù)列、代數(shù)式型問題

這類問題具體可分為數(shù)列型問題和代數(shù)式型問題.數(shù)列型問題中的已知條件是一串數(shù)字,例1和例2就是此類型問題;代數(shù)式型問題中的已知條件是一組代數(shù)式、等式或者不等式.

例3 觀察算式:

①1×3-22=3-4=-1

②2×4-32=8-9=-1

③3×5-42=15-16=-1

……

第n個式子表示為____.

1.2.2純圖形型問題

此類問題通常是把一系列圖形按一定方法編排,要求通過觀察、比較、分析、思考,探究它們在形狀或位置上的排列順序和變化規(guī)律.

例4 一串圖案按如圖所示規(guī)律排列,第2 013個圖案是____.

1.2.3數(shù)列、代數(shù)式與圖形結合型問題

此類問題也以圖形形式出現(xiàn),但不止要求探究圖形形狀或位置上的變化規(guī)律,更要求探究數(shù)量上的變化規(guī)律.圖形中蘊含著數(shù)量關系,圖形只是外在的載體,實質與核心是數(shù)與式,它體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想,也是近年來熱點題型之一[1].

例5 如圖1所示,n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,…,△Bn+1DnCn的面積為Sn,則Sn=____(用含n的式子表示).

圖1 n+1個等邊三角形排列順序

1.2.4動手操作型問題

這類問題中詳細描述了操作過程或操作方法,用以指導操作或空間想象,探究每一步呈現(xiàn)的規(guī)律.

例6 將相對面上的點數(shù)分別為1與6、2與5、3與4正方體骰子,按圖①放置于水平桌面上,再將骰子按圖②先向右翻滾(如圖2所示),然后按逆時針方向旋轉90°,視為一次變換.連續(xù)進行20次變換之后,則朝上一面的點數(shù)是____.

圖2 正方形骰子翻滾順序

2 探究規(guī)律型問題的解題策略

解答這類問題時,應依據(jù)問題給出的特殊例子或條件,通過觀察、操作、類比、歸納等方法,探尋相關問題的規(guī)律與特征.

2.1 循環(huán)型和非循環(huán)型問題的解題策略

2.1.1循環(huán)型問題的解題策略

解決這類問題的關鍵是根據(jù)題目中的已知條件分析圖形或數(shù)據(jù)的循環(huán)周期,再確定所求的項與循環(huán)周期中第幾個一致.

如解答例1時,通過觀察分析31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,可得出個位數(shù)字3,9,7,1,并依次循環(huán).再求2011÷4的余數(shù)為3,得出32011的個位數(shù)字與33的個位數(shù)字相同,都是7.

2.1.2非循環(huán)型問題的解題策略

這類問題中的已知項遵循共同的表達式.解題時應側重對已知項進行比較分析,尋找共同的規(guī)律,再列出表達式.

2.2 數(shù)列、代數(shù)式型,純圖形型,數(shù)列、代數(shù)式與圖形結合型和動手操作型問題的解題策略

2.2.1數(shù)列、代數(shù)式型問題的解題策略

解決這類問題時,先寫出數(shù)或式的基本結構,再通過比較各數(shù)或式中相同部分和不同部分,找出各部分特征.若是循環(huán)型問題,就按循環(huán)型解題策略進行解答;若是非循環(huán)型問題,首先要觀察題中已知項的結構,若能把它們都直接與序號建立聯(lián)系,就可以直接寫出表達式.如解答例2時,通過觀察2,4,8,16,直接得到第n項的表達式2n,則第90項是290.又如解答例3時,可以看出每個式子所表示的意義是:一個數(shù)與比它大2的數(shù)相乘的積減去它們平均數(shù)的平方,所得的差都等于-1.把它與序號對應起來,第n個式子為n(n+2)-(n+1)2=-1.

若已知項比較復雜,無法直接得到表達式.解題時首先要對已知項進行不斷的改寫,一直到分離出各項都含有不變的部分和變化的部分,且變化的部分與序號有直接聯(lián)系.即把復雜的項,通過改寫進行轉化,變?yōu)楹唵蔚娜菀捉獯鸬膸讉€小部分.

例7 觀察數(shù)列5,11,19,29,…則第n項可以表示為____.

數(shù)列各項之間既不是等比關系,也不是等差關系.由觀察直接得到表達式有困難,需要對各項進行拆分.由分析可知,改寫時可考慮從各項中分離出一個等差或等比數(shù)列.由于初中探究規(guī)律型問題的表達式多為一次函數(shù)和二次函數(shù),從而可考慮從各項中分離平方項,即1,4,9,16.把原題改寫為1+4,4+7,9+10,16+13,再分析4,7,10,13,將二者組合起來,就得第n項的表達式n2+3n+1.

由于此類問題的表達式在初中以一次函數(shù)和二次函數(shù)居多.若不能對題中已知項進行順利改寫,可以對它們進行整體觀察.當認為是一次函數(shù)關系時,先依據(jù)其中兩項的值,用待定系數(shù)法求出表達式,再把所有剩余項的值分別代入表達式進行驗證,看是否都適合于所求表達式.若有一項不適合,則說明判斷錯誤.再求其二次函數(shù)表達式,若都不適合,只能回歸到改寫的方法上[2].

2.2.2純圖形型問題的解題策略

此類問題能提高學生讀圖能力,培養(yǎng)學生對圖形細節(jié)變化的觀察分析能力.解答時,應注重分析相鄰圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別,結合整體,找出內在變化或排列規(guī)律.此類問題多為循環(huán)型.

2.2.3數(shù)列、代數(shù)式與圖形結合型問題的解題策略

解決這類問題時,可以先求出每一個圖形所對應的值,將其轉化為數(shù)列型問題,然后再按數(shù)列型問題進行探究.當求得的數(shù)列比較簡單時,這種方法很有效.當數(shù)列比較復雜時,以上方法就不一定有效.此時,需要對圖形進行觀察、分析、思考,把圖形拆分成幾個小部分,再對每個小部分的變化規(guī)律進行探究.最后把各小部分的規(guī)律組合,形成整體的規(guī)律.

例8 如圖3所示,把大小相等的小方塊按下圖所示方法堆放,第n個圖形有____塊小方塊.

圖3 相等小方塊的堆放規(guī)律

解法1 把圖形自上而下一層一層地拆分,得到一組式子:①1;②1+5;③1+5+9;…這是求等差數(shù)列各項之和.這對初中生而言,具有一定的難度.

2.2.4動手操作型問題的解題策略

解決這類問題時,首先要認真閱讀理解題中對操作要求的描述,切不可在一知半解的狀態(tài)下就開始操作、想象,以免出現(xiàn)錯誤的操作,得出錯誤結果,白費力氣.其次,操作過程一定要認真,不可麻痹大意,避免出現(xiàn)操作失誤.在操作正確的情況下,要記錄好每一步結果,以便對整體規(guī)律的探究.

例如,解答例6時,在讀題、讀圖時要弄清骰子相對面上點數(shù)分別是1點與6點,2點與5點,3點與4點.圖①是初始狀態(tài).每一次變換如圖②所示,分為兩個步驟:第一步,向右翻滾90° ;第二步,在桌面上按逆時針方向旋轉90°.對于無法進行實物操作且憑空想象能力較弱的學生,可建議他們在草稿紙上畫出連續(xù)的若干次變換,如圖2所示.從第一次開始,記錄下后續(xù)幾次變換后朝上的點數(shù)依次是:5,6,3,5,6,….可得這是按5,6,3為一周期的循環(huán)型問題,則第20次變換后朝上的點數(shù)是6點.

3 結束語

探究規(guī)律型問題的取材十分廣泛,形式也靈活多樣.近年中考中還出現(xiàn)了與定義新運算、閱讀理解等問題相結合的探究規(guī)律型問題.這類問題有助于發(fā)展學生的數(shù)學思維,提高學生解決問題的能力.解決這類問題時,要綜合運用所學知識,多角度探究問題的求解方法.