在體驗(yàn)中感知　在思考中升華

朱國華

在小學(xué)階段，我們認(rèn)識(shí)了線段、射線、直線、角，掌握了線段與角的度量，理解了兩條直線互相平行、垂直，學(xué)會(huì)了平行線、垂線的畫法。在此基礎(chǔ)上，“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”將帶領(lǐng)我們進(jìn)一步探究線段、射線、直線、角的有關(guān)性質(zhì)及直線的平行、垂直關(guān)系，奠定幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。理解這些最簡單的圖形及其數(shù)量、位置關(guān)系，有利于進(jìn)一步探究三角形、四邊形等其他圖形的性質(zhì)。

一、單元知識(shí)梳理

本章的內(nèi)容主要包括直線、線段、射線、角、平行線與垂線等基本圖形、基本事實(shí)。我們將學(xué)習(xí)線段與角的度量、表示、比較與畫法、基本事實(shí)，射線、直線等知識(shí)。由射線旋轉(zhuǎn)，可以得到角，由此，我們又開始研究角，其中重點(diǎn)研究角與角之間的關(guān)系，如余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角。由兩條直線旋轉(zhuǎn)，我們研究兩條直線之間的位置關(guān)系，如平行與垂直。為了加深理解，同學(xué)們可以利用構(gòu)建思維導(dǎo)圖的方法對(duì)本章的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)梳理。

二、夯實(shí)幾何基本功

在本章中，我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容發(fā)生了很大變化，從之前以“數(shù)與式”為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容的代數(shù)，轉(zhuǎn)移到以“形”為主要研究對(duì)象的幾何。在學(xué)習(xí)過程中，有些同學(xué)可能在畫圖、識(shí)圖、幾何語言的規(guī)范表達(dá)以及幾何推理等方面存在困難，而這些方面也是幾何學(xué)習(xí)的基本功。因此，我們一定要注意培養(yǎng)畫圖、識(shí)圖和推理能力，并能規(guī)范地書寫幾何推理過程。

畫圖能力。畫圖能力要求在理解題意的基礎(chǔ)上，把幾何語言轉(zhuǎn)變成直觀圖形。對(duì)此，我們要培養(yǎng)讀題能力，理解“經(jīng)過”“延長”“相交”等幾何術(shù)語的含義，認(rèn)真練習(xí)每個(gè)畫圖步驟，循序漸進(jìn)，漸漸地就能夠根據(jù)幾何語言熟練地畫出幾何圖形。

幾何語言的規(guī)范表達(dá)。幾何語言包含文字語言、圖形語言以及符號(hào)語言，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美以及數(shù)學(xué)思維的邏輯性。很多同學(xué)在做題的過程中，可能能理解題意，但不知道如何解答。因此，我們要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中規(guī)范幾何語言的描述，規(guī)范推理過程，通過“看圖說話”和“用話說圖”實(shí)現(xiàn)圖形語言和符號(hào)語言的互譯，例如表1。

推理能力。提升推理能力是幾何課程學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)， 對(duì)于同學(xué)們數(shù)學(xué)思維的提升有重要意義。我們可以先進(jìn)行最基礎(chǔ)的推理訓(xùn)練，再慢慢地接觸類似填空題的推理練習(xí)，學(xué)著補(bǔ)充推理依據(jù)或推理過程，逐步理解推理過程，熟悉之后，就可以嘗試獨(dú)立推理完整的過程。這需要反復(fù)地練習(xí)與體會(huì)。

例如，如圖1，∠AOB=90°，∠COD=90°，OA平分∠COE，∠BOD=n°（0＜n＜90）。

（1）為了求∠DOE的度數(shù)（用含n的式子表示），請將以下解答過程補(bǔ)充完整。

解：因?yàn)椤螦OB=90°，所以∠BOD+∠AOD=90°。

因?yàn)椤螩OD=90°，所以∠AOC+∠AOD=90°。

所以∠BOD=∠（理由：）。

因?yàn)椤螧OD=n°，所以∠AOC=n°。

因?yàn)镺A平分∠COE，所以∠ =

2∠AOC（理由：）。

所以∠DOE=∠COD-∠=°。

（2） 用等式表示∠AOD與∠BOC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

對(duì)于上面這道題目，我們可以通過第（1）問填空題的補(bǔ)充，逐步熟悉幾何推理的過程。對(duì)于第（2）問，我們就可以仿照第（1）問的過程，嘗試推理，在多次練習(xí)和體會(huì)中逐步提高幾何推理能力。

三、 善用類比發(fā)現(xiàn)

類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、尋找數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的重要方法，在本章的學(xué)習(xí)中應(yīng)一以貫之。

例如，本章的學(xué)習(xí)思路是：先學(xué)習(xí)最基本的幾何元素——線段、射線、直線和角，再理解幾個(gè)特殊關(guān)系的角，最后掌握直線的兩種特殊的位置關(guān)系——平行和垂直。在直觀識(shí)圖的基礎(chǔ)上，還要掌握圖形的表示方法、幾何語言的表述和推理，并能理解其性質(zhì)。在學(xué)習(xí)平行和垂直的過程中，我們就可以用類比的方法感受上述學(xué)習(xí)路徑。

對(duì)于平行，我們從三個(gè)層次來學(xué)習(xí)。一是兩條直線互相平行的符號(hào)表示。這可以鍛煉我們幾何語言運(yùn)用的意識(shí)和能力，讓我們把握兩條直線平行的文字語言、圖形語言、符號(hào)語言。二是畫平行線。用直尺和三角板畫時(shí)，要強(qiáng)化對(duì)操作要領(lǐng)的記憶，即“一放，二靠，三推，四畫”；用方格紙畫平行線時(shí)，應(yīng)把若干小正方形組成的長方形的對(duì)角線作為著力點(diǎn)，總結(jié)一般規(guī)律。三是平行線的基本性質(zhì)。我們要經(jīng)歷“觀察→操作→探索→猜想→推理”的過程，感知基本事實(shí)：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。同理，垂直的學(xué)習(xí)也可以分成三層。一是兩條直線互相垂直的符號(hào)表示，二是畫垂線，三是探究垂直的基本性質(zhì)。當(dāng)然，除了類比知識(shí)間的聯(lián)系，我們?nèi)孕鑼?duì)比其區(qū)別。例如，由于垂直是兩條直線相交的一種特殊情形，自然比平行多了一些角度之間的數(shù)量關(guān)系，也會(huì)涉及補(bǔ)角、對(duì)頂角的性質(zhì)等。線段的和差、中點(diǎn)，與角的和差、角平分線的學(xué)習(xí)也可以進(jìn)行類比。

最后，希望同學(xué)們能夠主動(dòng)地體驗(yàn)觀察、操作、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，夯實(shí)幾何基本功，善于類比探究，發(fā)展思維能力、幾何直觀和幾何推理的能力。相信你們定會(huì)在幾何學(xué)習(xí)的大道上快速奔跑！

（作者單位：江蘇省鹽城市初級(jí)中學(xué)）