蛋糕中的玄機

華蕓嘉

豎著切蛋糕時，我們都有這樣的經(jīng)歷，切1刀可以把蛋糕分成2塊，切2刀最多可以分成4塊，切3刀最多可以分成7塊……

我繼續(xù)研究，發(fā)現(xiàn)切4刀最多可以分成11塊，切5刀最多可以分成16塊，不切的時候是一整塊，我觀察數(shù)1、2、4、7、11、16，發(fā)現(xiàn)它們之間的差依次為1、2、3、4、5，猜想規(guī)律：切n（n≥1）刀最多分成［（1+2+3+4+…+n）+1］塊。

帶著這個猜想，我又研究起來：如果一個圓上有n（n≥1）個點，每兩個點相連，這n個點之間的所有連線最多可以將圓分成多少部分呢？

通過動手畫圖（圖1—圖5），我發(fā)現(xiàn)：

如果圓上有1個點，最多把圓分成1份；如果圓上有2個點，最多把圓分成2份；如果圓上有3個點，最多把圓分成4份；如果圓上有4個點，最多把圓分成8份；如果圓上有5個點，最多把圓分成16份。

按照我猜想的規(guī)律，若圓上有6個點，最多可以把圓分成32份。但是，我畫圖一數(shù)，怎么只有31份？若圓上有7個點，我數(shù)了數(shù)，居然是57份？我數(shù)錯了？還是規(guī)律不對？真正的規(guī)律是什么？

我又思考了起來。從數(shù)的角度看，我仔細觀察了這些數(shù)據(jù)1、2、4、8、16、31、57。首先，我觀察這些數(shù)的基本特征，1、2、4、8、16有很明顯的倍數(shù)關系，但是之后的31、57沒有這樣的關系，因此，排除了這些數(shù)是倍數(shù)關系。再看這些數(shù)的遞增趨勢，變化得較為明顯，但是也不算增長太多。因此，我又觀察它們之間的差。

第一次作差時，我得到一串數(shù)據(jù)1、2、4、8、15、26，初看沒有明顯的規(guī)律。因此，我對這些新數(shù)據(jù)進行第二次作差，得到1、2、4、7、11，依然沒有規(guī)律。當?shù)谌巫鞑詈?，我得?、2、3、4，如圖6。這次終于有了重大發(fā)現(xiàn)，它暗藏的規(guī)律浮出水面了。

然后，我再從最后一行逐行倒推：5，5+11=16，16+26=42，42+57=99，如圖7。

通過畫圖，我發(fā)現(xiàn)圓上有8個點時，確實最多能把圓分成99份。

從形的角度來看，圓被分割成幾份的問題，可以轉(zhuǎn)化成圓上的點數(shù)、點連成的線段數(shù)量和份數(shù)之間的關系。那我為何不從線段的條數(shù)入手呢？

如果一個圓中沒有線段，就是1份。如果有1條線段的話，就會被分成2份。如果有2條線段：這2條線不相交，就分成3份；相交，就分成4份。圓內(nèi)交點的數(shù)量怎么確定呢？眾所周知，兩點確定一條直線，一個交點需要兩條線，所以圓邊上任意4個點之間的連線會出現(xiàn)一個交點。以此類推，我總結出如下規(guī)律，如表1，并猜想：份數(shù)=1+線段的數(shù)量+圓內(nèi)交點數(shù)量。

那么，當圓上有n個點時，每個點連接（n-1）條線，所以線段的數(shù)量為n（n-1）。因為一條線段的兩個端點都算了一遍，所以還要除以2，也就是說線段的數(shù)量為[n（n-1）2]；4個點確定1個圓內(nèi)交點，在n個點中選4個點，第一個點有n個可能，第二個點有（n-1）個可能，第三個點有（n-2）個可能，第四個點有（n-3）個可能，所以總共有n（n-1）（n-2）（n-3）個圓內(nèi)交點。但是這里面會有重復的情況。比如用1、2、3、4這4個數(shù)字任意組合，可以組合成24個四位數(shù)，在n個點中任選4個點，在產(chǎn)生交點的過程中，重復數(shù)了24次，所以要再除以24。故圓內(nèi)交點的數(shù)量就為[n（n-1）（n-2）（n-3）24]。所以，在圓上取n個點時，所有點之間的連線最多可以把圓分成1+[n（n-1）2]+[n（n-1）（n-2）（n-3）24]份，我的猜想得到了驗證。

小伙伴們，我們都切過蛋糕，在這個看似很平常的操作背后，你有沒有發(fā)現(xiàn)蘊含在里面的玄機？我想，只要我們平時留心觀察，深入思考，就一定能感受到數(shù)學的無窮魅力。

教師點評

都說數(shù)學來源于生活，又服務于生活。生活中的切蛋糕現(xiàn)象引發(fā)了小作者的思考，從而把生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，從“數(shù)”與“形”兩個維度對這個數(shù)學問題進行了深度探究與思考。其思考的深度遠遠超過了一個七年級學生該有的水平。是什么讓他如此執(zhí)著地思考呢？相信這源于數(shù)學無窮的魅力，也源于他對數(shù)學的興趣與熱愛，更源于他善于用數(shù)學的眼光來觀察世界。羅丹說：“生活中從不缺少美，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛。” 希望同學們都能擁有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美的眼睛，去探索更多的數(shù)學奧妙。

（指導教師：章薇薇）