殊途同歸 妙理常在感悟中
——論一題多解在教學(xué)中的應(yīng)用

魏平軍

(石家莊市第一中學(xué) 河北 石家莊 050000)

1 問題的提出

如何在教學(xué)中進(jìn)一步提升學(xué)生的總結(jié)歸納能力?適當(dāng)?shù)臅r(shí)候進(jìn)行“一題多解”“多解歸一”“一題多問”“一題多變”“多題歸一”等方法是很好的解決方案.

“一題多解”是指同一道題目用不同的方法均可以得到正確答案,可以是基于不同物理規(guī)律運(yùn)用的一題多解,可以是基于不同研究角度的一題多解,可以是基于不同數(shù)學(xué)手段的一題多解,可以是基于不同思維方法運(yùn)用的一題多解.“一題多解”是思維發(fā)散的過程.

“多解歸一”是將不同的解法進(jìn)行比較,尋求其共同點(diǎn),去抓住不同方法背后最核心的本質(zhì)規(guī)律,是思維收斂的過程.

“一題多問”是在同一個(gè)背景下對(duì)這個(gè)題目進(jìn)行追問,從多個(gè)角度去理解和考查某一物理模型或過程.

“一題多變”是將題目解完之后,更改題目中的條件,拓寬對(duì)題目的理解.

“多題歸一”是指將以往與此題相類似的題目進(jìn)行對(duì)比歸納,尋求不同題目相同的解決方案,是在更高的視角上去審視此題.

2 教學(xué)實(shí)踐

下面以高一一次階段性測(cè)試題的壓軸題講評(píng)為例說明以上方法的應(yīng)用.

圖1 題目示意圖

(1)傳送帶的長(zhǎng)度L1;

(2)木板的長(zhǎng)度L2以及物件從A到D所需的時(shí)間T;

(3)假如機(jī)械手未能在D點(diǎn)及時(shí)將物件取走,導(dǎo)致物件重新下滑,則此后它第二次向上返回木板時(shí)離C點(diǎn)的最大距離.

說明:考慮到高一學(xué)生對(duì)于通項(xiàng)歸納掌握得還不是很好,在第(3)問設(shè)置時(shí)將初稿中的“第四次”改為“第二次”以降低難度,在講評(píng)時(shí)可以就通項(xiàng)歸納再做進(jìn)一步補(bǔ)充.

解答:(1)、(2)略.第(3)問筆者準(zhǔn)備了兩種解法,分別從動(dòng)力學(xué)角度和能量角度進(jìn)行求解.

2.1 “一題多解”

解法1:動(dòng)力學(xué)角度

從D點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng),受力分析如圖2所示.

圖2 解法1受力分析圖

由牛頓第二定律有

mgsinθ-μ2mgcosθ=ma1

過C點(diǎn)時(shí)速度為v1,有

設(shè)過C點(diǎn)后向下滑行L′后物件速度減為零,下滑過程中加速度大小為a2,則有

μ1mgcosθ-mgsinθ=ma2

再次返回C點(diǎn)時(shí)加速度大小為a′2,則

μ1mgcosθ-mgsinθ=ma′2

可得a′2=a2,所以返回C點(diǎn)時(shí)速度大小仍為v1.

設(shè)物件滑過C點(diǎn)后向上運(yùn)動(dòng)x1后停止,向上減速過程中加速度大小為a3,則

mgsinθ+μ2mgcosθ=ma3

解得

同理得第二次上滑過C后還能再上滑

即

解法2:能量角度

設(shè)第一次下滑經(jīng)過C點(diǎn)再下滑L′后速度減為零,下滑過程由動(dòng)能定理得

mgL2sinθ-μ2mgL2cosθ+

mgL′sinθ-μ1mgL′cosθ=0

設(shè)第一次上滑過C點(diǎn)后還能再上滑x1,上滑過程由動(dòng)能定理得

μ1mgL′cosθ-mgL′sinθ-

μ2mgx1cosθ-mgx1sinθ=0

解得

同理得第二次上滑過C后還能再上滑

即

解法3：學(xué)生甲補(bǔ)充的

學(xué)生甲:我們可以判斷物件下滑過C點(diǎn)后減速至零再返回C點(diǎn)的過程中加速度大小和方向都沒有變化,所以再返回C點(diǎn)時(shí)速度大小不變,于是可以“略去”過C點(diǎn)后的下滑過程,可以直接對(duì)從D點(diǎn)下滑至第一次到上滑返回木板最高點(diǎn)的過程進(jìn)行分析.

由動(dòng)能定理得

mg(L2-x1)sinθ-μ2mg(L2+x1)cosθ=0

得

解法4:學(xué)生乙補(bǔ)充的

學(xué)生乙:受學(xué)生甲的啟發(fā),直接對(duì)從D點(diǎn)下滑至第一次到上滑返回木板最高點(diǎn)的過程進(jìn)行分析,不用分析加速度因素,直接由動(dòng)能定理,也可列出

mg(L2-x1)sinθ-μ2mg(L2+x1)cosθ=0

因?yàn)槲锛禄^C點(diǎn)后減速至零再返回C點(diǎn)的過程中重力不做功,滑動(dòng)摩擦力一次負(fù)功一次正功可以抵消,這一段滑動(dòng)摩擦力做功為零,與學(xué)生甲的思路相比,可以不用分析加速度的因素,思路更簡(jiǎn)潔.

解法5:學(xué)生丙補(bǔ)充的

學(xué)生丙:物件無論第幾次從傳送帶加速上滑過C點(diǎn)后在木板上減速至零的過程中,物件的受力情況沒有發(fā)生任何變化,于是加速和減速的距離的比值一定相同.比值為

k=L1∶L2=12∶5

所以由

mgL2sinθ-μ2mgL2cosθ+

mgL′sinθ-μ1mgL′cosθ=0

解得L′后得

L′∶x1=12∶5

可得

同理,可解得第二次下滑距離L″,即L″∶x2= 12∶5,可解得

解法6:學(xué)生丁補(bǔ)充的

學(xué)生丁:受學(xué)生甲的啟發(fā),傳送帶上的過程可以“略去”,于是只分析物件在木板上的下滑和上滑過程,容易求得下滑和上滑加速度比值為

a1∶a2=2∶3

由v2=2ax可得

L2∶x1=3∶2

同理x1∶x2=3∶2,即

2.2 “多解歸一”

對(duì)以上解答對(duì)比分析可得,解法1和解法6均是從動(dòng)力學(xué)角度分析,但解法6的思路更簡(jiǎn)潔,將中間“無效”過程“略去”,快速得到正確答案.

解法2和解法4均是從能量角度處理,但解法4所研究的過程更“宏觀”,沒有分上下段處理,更好地體現(xiàn)了動(dòng)能定理的全過程使用的優(yōu)點(diǎn).

解法3利用了動(dòng)力學(xué)知識(shí)分析了物件在傳送帶的運(yùn)動(dòng)過程,得到了“無效過程可以略去”這個(gè)思路,為其他更簡(jiǎn)潔的思路提供了分析基礎(chǔ).

解法5用到了比例法,思路上簡(jiǎn)潔明了,但計(jì)算量偏大,不容易計(jì)算出多次返回時(shí)的最大距離.

綜合比較,推薦解法4和解法6,其相同點(diǎn)都是“略去無效過程”快速得到比例關(guān)系從而求解.

2.3 “多題歸一”

學(xué)生戊:受學(xué)生甲啟發(fā),想到了之前的一道練習(xí)題.

練習(xí)題:如圖3所示,已知斜面傾角為θ,物件與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(μ

圖3 練習(xí)題示意圖

解:全過程由動(dòng)能定理可得

mgh-μmgscosθ=0

得

學(xué)生戊:考試題中的傳送帶相當(dāng)于此題中的擋板,提供“原速率返回”的作用,練習(xí)題目是讓求物件滑行的總距離,練習(xí)題也可以用以上方法求第2次彈回時(shí)距離擋板的最大距離.

學(xué)生己:那么考試題中我們也可以求物件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總距離,都是用到了全過程的分析.

2.4 “一題多變”

此時(shí)對(duì)學(xué)生說明,為了降低考試難度將初稿中的“第四次上滑”改為了“第二次上滑”.

有了上述的討論,學(xué)生容易得到原稿中第四次上滑的距離為

2.5 “一題多問”

課下學(xué)生們對(duì)此題再做進(jìn)一步的梳理,在原題(1)～(3)問的基礎(chǔ)上繼續(xù)總結(jié)完成下面4問.

(4)假如機(jī)械手未能在D點(diǎn)及時(shí)將物件取走,導(dǎo)致物件重新下滑,則此后它第四次向上返回木板時(shí)距離C點(diǎn)的最大距離?

(5)假如機(jī)械手未能在D點(diǎn)及時(shí)將物件取走,導(dǎo)致物件重新下滑,則此后它第四次向下經(jīng)過傳送帶時(shí)離C點(diǎn)的最大距離?

(6)假如機(jī)械手未能在D點(diǎn)及時(shí)將物件取走,導(dǎo)致物件重新下滑,則此后它在木板上運(yùn)動(dòng)的總路程?

(7)假如機(jī)械手未能在D點(diǎn)及時(shí)將物件取走,導(dǎo)致物件重新下滑,則此后它在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總路程?

在教學(xué)實(shí)踐中,教師適當(dāng)時(shí)候進(jìn)行“一題多解”“一題多變”等操作,可以讓學(xué)生更好地對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行對(duì)比歸納,從而加深對(duì)知識(shí)的理解.但如果將每一題都嘗試“一題多解”等操作,教師和學(xué)生的時(shí)間、精力可能達(dá)不到.一個(gè)可行的方案是,當(dāng)學(xué)生獨(dú)立完成后解答學(xué)習(xí)小組內(nèi)不同成員之間可以對(duì)比各自的解題方案,在交流中完成“一題多解”等操作,進(jìn)而相互促進(jìn)和提升.