對(duì)一個(gè)常見球桿模型的課堂討論

張利國(guó) 胡光濤

(北京交通大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100081)

李 璐

(中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司綜合技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究院 北京 100081)

1 問題的提出

【原題】如圖1所示,一根輕質(zhì)細(xì)桿的兩端分別固定著A、B兩只質(zhì)量均為m的小球,O點(diǎn)是一光滑水平軸,已知AO=r,BO=2r,使細(xì)桿從水平位置由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng),求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)A、B兩球的速度?

圖1 原題題圖

1.1 常規(guī)解法

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理,有

(1)

vB=2vA

(2)

將式(1)、(2)聯(lián)立,解得

1.2 學(xué)生提出了質(zhì)心解法

質(zhì)心C位于O點(diǎn)右側(cè)0.5r處,對(duì)質(zhì)心列動(dòng)能定理方程有

(3)

由式(3)得

兩球角速度相同,根據(jù)線速度和角速度之間的關(guān)系式v=ωr,解得

兩種求解方式所求得vA、vB的值不同,這種質(zhì)心求解的方法錯(cuò)在哪兒了?

2 問題的解決

2.1 對(duì)學(xué)生提出的質(zhì)心解法進(jìn)行修正

我們把式(3)的右側(cè)再加上A、B兩球相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能,換成下面的式子

(4)

其中ΔvA、ΔvB分別表示A、B兩球相對(duì)于質(zhì)心的速度,有

ΔvA=vA-vCΔvB=vB-vC

考慮到

代入式(4),解得

為什么修正之后得到vA、vB的值和常規(guī)解法相同呢?我們需要了解以下的概念和規(guī)律.

2.2 對(duì)修正的解釋

首先,我們需要明確什么是質(zhì)心,由質(zhì)心的定義[1],質(zhì)心C的位置矢量為

轉(zhuǎn)為速度的形式,有

變形,有

令vi-vC=Δvi,則有

(5)

其次,我們需要引入柯尼希定理,內(nèi)容為:質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能與相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和.證明過程如下.

由于C為質(zhì)心,由式(5)知各質(zhì)元相對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量增量矢量和為零,即有

得證

到此為止,已經(jīng)可以解釋我們?yōu)槭裁匆诘仁接覀?cè)加上A、B兩球相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能.似乎問題解決了,但學(xué)生又提出了新問題:難道不存在質(zhì)心動(dòng)能定理嗎?

3 問題的引申

3.1 質(zhì)心動(dòng)能定理的推導(dǎo)

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,有

等式兩邊點(diǎn)乘質(zhì)心位移drC,有[2]

可見,質(zhì)心動(dòng)能定理是成立的.

學(xué)生們用的就是質(zhì)心動(dòng)能定理,式(3)錯(cuò)在哪兒呢?

式(3)錯(cuò)在求合外力在質(zhì)心位移上的功時(shí),僅僅考慮了重力做功,外力考慮不全.如果把A、B兩球看成系統(tǒng),除了考慮重力外,還需要考慮桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的合力是否為零;如果把桿與A、B兩球看成系統(tǒng),則還需要考慮轉(zhuǎn)軸對(duì)系統(tǒng)的合力做功.

我們應(yīng)在左側(cè)加上除重力之外的力在質(zhì)心位移上做功,把式(3)改為

(6)

3.2 應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理求解

在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理列式(1)時(shí),為什么沒有考慮桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做功?

如圖2所示,取轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的任意一段極短時(shí)間Δt,設(shè)桿對(duì)A、B兩球的切向分力分別為FA、FB,設(shè)時(shí)間Δt內(nèi)A、B兩球轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)分別為lA、lB.

圖2 小球在重力和桿的切向分力作用下轉(zhuǎn)動(dòng)

對(duì)輕桿在任意時(shí)刻均有力矩平衡,即

FArA=FBrB

桿對(duì)A球做功

WA=FAlA=FArAωΔt

桿對(duì)B球做功

WB=-FBlB=-FBrBωΔt

考慮到兩球角速度ω相同,可知桿對(duì)A、B兩球做功代數(shù)和為零,可見在任意一段極短時(shí)間Δt內(nèi),只有重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做功,桿對(duì)A、B兩球組成的質(zhì)點(diǎn)系不做功.

4 問題的深入

4.1 桿對(duì)兩球的切向力

I=5mr2

mg·2rcosθ-mgrcosθ=5mr2β

兩球角加速度相同,利用切向加速度和角加速度之間的關(guān)系式a=βr,解得

利用牛頓第二定律對(duì)A、B兩球在切向上列方程,有

FA-mgcosθ=maA

mgcosθ-FB=maB

解得

方向均垂直于桿向上.

4.2 桿對(duì)兩球做功情況

WA+WB=0

桿對(duì)A、B兩球組成的質(zhì)點(diǎn)系不做功,這就是我們?cè)谑?1)中僅考慮重力做功的原因.

4.3 桿對(duì)兩球的質(zhì)心做功情況

這就是我們?cè)谑?6)中需要考慮除重力之外的力做功的原因.

有些學(xué)生會(huì)好奇,為什么我們只考慮切向分力,而不考慮法向分力,是因?yàn)闊o論對(duì)小球,還是對(duì)質(zhì)心,法向分力均不做功.

在應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí),要把研究對(duì)象區(qū)分為質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系,要考慮到動(dòng)能定理分為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理、質(zhì)心動(dòng)能定理和相對(duì)動(dòng)能定理,其關(guān)系如表1所示.對(duì)質(zhì)點(diǎn)系列動(dòng)能定理方程的時(shí)候,不僅要考慮到內(nèi)力做功的問題,還要全面考慮到所有外力做功.如果進(jìn)一步擴(kuò)展的話,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),牛頓定律、動(dòng)量定理也要做類似區(qū)分.

表1 各動(dòng)能定理與對(duì)應(yīng)的功