對一道課后改編習(xí)題的深入思考
——不等量異種電荷連線上場強(qiáng)最弱位置的求法

張文杰 武 維 全水聰

(包頭市第九中學(xué) 內(nèi)蒙古 包頭 014010)

1 問題的提出

下面的習(xí)題是一道人教版新教材必修第三冊“9.3電場 電場強(qiáng)度”課后習(xí)題第7題的改編題目:

【題目】如圖1所示,真空中有兩個異種點(diǎn)電荷,Q1=4Q2,分別固定在x軸的坐標(biāo)為0和6cm的位置上.一帶正電粒子從1cm處靜止釋放,在僅受電場力作用下沿x軸運(yùn)動,現(xiàn)研究該粒子從1cm到5cm運(yùn)動過程,下列說法中正確的是( )

圖1 題圖

A.該粒子速度先增大后減小

B.該粒子加速度先增大后減小

C.該粒子電勢能先減少后增大

D.該粒子在1～2cm的動能變化量大于3～4cm的動能變化量

該題目的正確答案為選項(xiàng)D,要想正確分析求解1～2cm的動能變化量和3～4cm的動能變化量之間的關(guān)系,必須分析得出在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強(qiáng)度最弱的點(diǎn)所在位置,對于該問題的分析,學(xué)生在做題時出現(xiàn)了以下兩種典型的錯誤.

2 兩種錯誤解法及錯因分析

錯解一：

設(shè)在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強(qiáng)度最弱的點(diǎn)坐標(biāo)為xcm,根據(jù)點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的計算公式和電場強(qiáng)度的疊加原理

對上式通分得

令

f(x)=5x2-48x+144

對上式求導(dǎo)可得

f′(x)=10x-48

當(dāng)f′(x)=0時,解得x=4.8cm.

錯因分析:在求場強(qiáng)最小值的過程中,由于電場強(qiáng)度表達(dá)式的分母中x2(6-x)2并不是一個單調(diào)函數(shù),因此,對f(x)=5x2-48x+144求導(dǎo)數(shù)得到的最小值僅僅是分子的最小值,而不是電場強(qiáng)度E的最小值.

錯解二：

設(shè)在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強(qiáng)度最弱的點(diǎn)離Q1的距離為r1,離Q2的距離為r2.

由基本不等式可得

r1=4cmr2=2cm

因此,在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強(qiáng)度最弱的點(diǎn)坐標(biāo)為4cm.

但在式(1)的應(yīng)用中

3 正確解法

設(shè)在Q1、Q2連線上0～6cm之間電場強(qiáng)度最弱的點(diǎn)離Q1的距離為r.設(shè)a=r,b=6-r,則

a+b=6

令

求導(dǎo)可得

F′(a)=-8a-3+λ

F′(b)=-2b-3+λ

F′(λ)=a+b-6

分別令

F′(a)=0 F′(b)=0 F′(λ)=0

可解得

所以當(dāng)

時,場強(qiáng)有最小值.

圖2 函數(shù)圖像

4 總結(jié)

通過上述對不等量異種電荷連線上場強(qiáng)最弱位置的錯解分析及其正確解法可見,學(xué)生在學(xué)習(xí)物理時必須合理使用數(shù)學(xué)知識,并且不能死記硬背,要靈活掌握數(shù)學(xué)公式、定理的適用條件,同時希望本文給出的用拉格朗日乘數(shù)法求極值的方法可以對學(xué)生解決類似問題有所幫助.