文章編號(hào)? 1000-5269（2024）01-0037-06

DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2024.01.05

收稿日期：2022-07-07

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11965007）；貴州省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目（ZK2022148）

作者簡(jiǎn)介：張興剛（1980—），男，副教授，研究方向：統(tǒng)計(jì)物理和復(fù)雜系統(tǒng)的研究，E-mail：xgzhang@gzu.edu.cn.

*通訊作者：張興剛，E-mail： xgzhang@gzu.edu.cn.

摘? 要：提出一種簡(jiǎn)潔有效的基于外積的方法，對(duì)無摩擦的二維圓盤、二維凸顆粒以及三維球體的力學(xué)平衡方程進(jìn)行求解和分析。理論結(jié)果表明，圓盤與球體上輸出力的大小與輸入力的大小成正比，因此引入了力傳遞的概念，并且導(dǎo)出力傳遞系數(shù)與接觸結(jié)構(gòu)的關(guān)系。對(duì)于凸顆粒，導(dǎo)出了輸出力大小與輸入力以及力矩的關(guān)系式。在已知圓盤上的平均正壓力時(shí)，導(dǎo)出了各個(gè)接觸力大小的公式并給出其幾何意義。文中提出的方法以及計(jì)算的結(jié)果，對(duì)于求解其他物理問題中的向量方程有意義，對(duì)于進(jìn)一步研究力學(xué)網(wǎng)絡(luò)上的平衡方程有重要價(jià)值。

關(guān)鍵詞：顆粒物質(zhì)；力學(xué)平衡；張量代數(shù)；外積；力傳遞系數(shù)

中圖分類號(hào)：O183.2；O312

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

靜態(tài)顆粒體系是顆粒物理學(xué)中基礎(chǔ)而重要的部分，其研究與許多實(shí)際的問題密切相關(guān)，如糧倉的設(shè)計(jì)、地基的承載能力、顆粒材料的力學(xué)性質(zhì)……由于顆粒體系的復(fù)雜性，目前還沒有一套完整的理論對(duì)其各方面的問題進(jìn)行統(tǒng)一描述［1-2］。早期，研究者主要運(yùn)用各種簡(jiǎn)化的理論模型解釋有關(guān)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，例如糧倉效應(yīng)的Janssen模型［3］和OSL模型［4］、力的幾率分布的q模型［5］、應(yīng)力凹陷的FPA模型 ［6］、……。為了從微觀上通過顆粒間的接觸結(jié)構(gòu)和相互作用理解顆粒體系的宏觀性質(zhì)，一些研究者提出基于力網(wǎng)的方法和理論研究顆粒物質(zhì)的靜力學(xué)問題。Edwards等［7-8］提出了力系綜理論，由接觸網(wǎng)上顆粒的力學(xué)平衡方程推導(dǎo)應(yīng)力張量的平衡方程以及應(yīng)力幾何本構(gòu)方程。Snoeijer等［9］提出力網(wǎng)系綜理論用于研究力的幾率分布。自旋玻璃中的復(fù)本對(duì)稱空腔（replica-symmetric cavity）理論也被用于研究無序顆粒體系中的力傳遞以及力的幾率分布問題［8，10］。近年來，顆粒體系中矩陣形式的力學(xué)平衡方程［11］，無序顆粒體系中的力鏈 ［12］，晶格顆粒體系中應(yīng)力的傳遞［13］等這些問題的研究加深了我們對(duì)于顆粒物質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)和規(guī)律的理解。

在基于力網(wǎng)的理論研究中，一個(gè)重要的問題是求解和分析網(wǎng)絡(luò)上的力學(xué)平衡方程組。方程組的復(fù)雜性來源于多個(gè)方面。一個(gè)重要的方面來源于方程組的具體形式與顆粒堆積的接觸網(wǎng)絡(luò)密切相關(guān)，而接觸網(wǎng)絡(luò)往往非常復(fù)雜，這就使得方程組的求解分析在一般情況下非常困難。另一個(gè)原因是力學(xué)平衡方程組往往是由多個(gè)向量方程而不是標(biāo)量方程構(gòu)成的方程組。前人在具體的計(jì)算中，經(jīng)常把向量方程在具體坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)化為標(biāo)量方程進(jìn)行求解和分析。但在很多時(shí)候，我們希望直接對(duì)向量方程進(jìn)行處理，因?yàn)檫@樣不僅能保證方程中物理量的整體性，還使得解的形式有容易理解的幾何或物理意義。為了簡(jiǎn)單起見，本文主要考慮單個(gè)顆粒的力學(xué)平衡問題。提出基于外積的方法對(duì)多種典型情況下向量形式的力學(xué)平衡方程進(jìn)行求解，并且對(duì)解的幾何和物理意義進(jìn)行討論。

1? 外積的基本性質(zhì)

在物理學(xué)中，向量空間這一數(shù)學(xué)概念具有基礎(chǔ)性的地位和非常重要的意義。比如我們熟悉的二維、三維空間可以用二維向量空間R2與三維向量空間R3描述，分析力學(xué)中往往涉及n維向量空間Rn，量子力學(xué)與無窮維向量空間密切相關(guān)。而張量代數(shù)是描述和研究向量空間的數(shù)學(xué)語言，因此張量對(duì)于物理學(xué)十分重要［14］?？梢酝ㄟ^在多重向量空間上定義線性函數(shù)從而定義張量的概念，并引入加法、張量積（又稱直積）、縮并、置換這些基本的運(yùn)算。于是，標(biāo)量（零階張量）、向量（一階張量）、二階張量等都可以在張量空間的框架下進(jìn)行理解；點(diǎn)乘、外積、叉乘（適用于三維）等運(yùn)算也都可以基于上述基本運(yùn)算進(jìn)行定義和研究。用張量的語言進(jìn)行描述有保持幾何或物理對(duì)象的整體性、便于理解其幾何或物理意義、使得關(guān)系式與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)等優(yōu)點(diǎn)。

為方便起見，以二維向量空間R2為例簡(jiǎn)要說明外積的定義和基本性質(zhì)，為顆粒平衡問題的數(shù)學(xué)推導(dǎo)奠定一些基礎(chǔ)。設(shè)向量a，b∈R2，則a與b的外積定義為

a∧b=ab－ba（1）

在本文中直積符號(hào)‘可以省略。由外積得到的結(jié)果是一個(gè)二階完全反對(duì)稱張量，或稱為2-形式。類似地，r-形式就是r階完全反對(duì)稱張量；R2上的所有r-形式構(gòu)成r-形式空間Λr（R2）。外積滿足線性性、結(jié)合律、分配律等良好的性質(zhì)，特別值得說明的是它滿足反交換律

a∧b=－b∧a（2）

如圖1所示，{e1，e2}是R2上的一組單位正交基底，規(guī)定逆時(shí)針繞向?yàn)檎?。在R2上取兩個(gè)單位向量

n（θ1）=cosθ1e1+sinθ1e2

n（θ2）=cosθ2e1+sinθ2e2 （3）

通過計(jì)算容易得

n（θ1）∧n（θ2）=sin（θ12）τ0（4）

其中，θ12表示由從n（θ1）轉(zhuǎn)向n（θ2）的角度，τ0=e1∧e2叫做容積元，表示面積大小為1的有向正方形。在式（4）令θ12=π/2，可以看出容積元在轉(zhuǎn)動(dòng)操作下是不變的，因此可以把τ0理解為單位面積張量。顯然a∧b=absin（θ）τ0，其中θ是從a到b夾角；因此a∧b表達(dá)了向量a與b所形成的平行四邊形的面積張量。上述關(guān)于外積的基本性質(zhì)，對(duì)于n維向量空間也一般是適用的。

2? 顆粒力學(xué)平衡的求解

2.1? 二維光滑圓盤

在光彈性顆粒、泡沫等體系的研究中，我們經(jīng)常運(yùn)用二維光滑圓盤組成的顆粒體系作為物理模型研究這些體系的力學(xué)性質(zhì)。當(dāng)體系在一定加載條件下達(dá)到力學(xué)平衡態(tài)后，可從中取出任意一個(gè)圓盤進(jìn)行受力分析和求解。對(duì)于重力作用下的糧倉效應(yīng)、力的幾率分布等這類問題的求解，按力的傳遞這種方式討論問題會(huì)帶來很大的方便［5，15］。

如圖2中的左圖所示，在圓盤上選擇兩個(gè)接觸點(diǎn)C1和C2；把作用在C1、C2上的接觸力f1和f2的負(fù)值定義為輸出力。這兩個(gè)輸出力可分別表示為－f1=f1n1，－f2=f2n2；其中n1和n2是單位向量，是已知的；f1和f2是輸出力的大小，是未知的。除了f1和f2之外，圓盤一般還受到其他接觸力或重力的作用，把這些力統(tǒng)稱為輸入力。設(shè)輸入力的合力是f=fn，可等效地將它作用于圓盤中心，一般是已知的。為了由輸入力獲得輸出力的大小f1和f2，由于光滑圓盤上的力矩平衡自動(dòng)滿足，因此只需考慮力平衡方程

f1n1+f2n2=fn（5）

即可。這是一個(gè)向量方程，在二維情況下等價(jià)于兩個(gè)標(biāo)量方程；當(dāng)n1∧n2=sin（θ12）τ0≠0時(shí)它有唯一解。利用a∧a=0，以及R2上的各個(gè)2-形式之間只相差一個(gè)系數(shù)，將n2從左邊外積上方程（5）兩端，再進(jìn)行整理得

f1=fn∧n2n1∧n2=fsinθf，2sinθ12（6）

類似地，將n1從左邊外積上方程（5）兩端，可導(dǎo)出

f2=fn1∧nn1∧n2=fsinθ1，fsinθ12（7）

力平衡方程（5）的含義是總的輸入力等于總的輸出力，因此可以用力傳遞的觀點(diǎn)理解輸入力與輸出力的關(guān)系，不過這種傳遞是矢量傳遞而不是標(biāo)量傳遞。由（6）、（7）兩式，可以分別定義力傳遞系數(shù)

λf，2=sinθf，2sinθ12

λ1，f=sinθ1，fsinθ12 （8）

顯然，力傳遞系數(shù)只由力向量間的夾角（或接觸結(jié)構(gòu)）確定，表征了某個(gè)輸入力對(duì)某個(gè)輸出力的傳遞能力。

對(duì)于堵塞態(tài)［8］顆粒體系的力學(xué)性質(zhì)等問題，可按圖2中的右圖分析顆粒上的受力和平衡，這時(shí)一般不考慮重力。在有3個(gè)接觸點(diǎn)的情況下，設(shè)接觸力分別為f1=－f1n1，f2=－f2n2，f3=－f3n3，則由力學(xué)平衡條件有

f1n1+f2n2+f3n3=0（9）

我們一般還知道所加載的平均應(yīng)力，這在典型情況下表現(xiàn)為已知平均正壓力f，也就是說

f1+f2+f3=3f（10）

聯(lián)立方程（9）與（10），在通常情況下應(yīng)該可以確定唯一的f1、f2以及f3。利用（10）將f3代入（9）可得

f1（n1－n3）+f2（n2－n3）=－3fn3（11）

再利用（6）和（7）以及外積的性質(zhì)可解出

f1=3fsinθ23sinθ12+sinθ23+sinθ31（12）

f2=3fsinθ31sinθ12+sinθ23+sinθ31（13）

將它們代入（10）可解得

f3=3fsinθ12sinθ12+sinθ23+sinθ31（14）

設(shè)圓盤的半徑為r，三角形C1C2C3的面積張量為

S△C1C2C3τ0=12r2（n1∧n2+n2∧n3+n3∧n1）=

12r2（sinθ12+sinθ23+sinθ31）τ0 （15）

類似地，再考慮3個(gè)三角形的面積S△OC1C2、S△OC2C3、S△OC3C1，由上述結(jié)果容易得到

f1=3fS△OC2C3S△C1C2C3

f2=3fS△OC3C1S△C1C2C3

f3=3fS△OC1C2S△C1C2C3 （16）

這個(gè)公式以具有明顯幾何意義的方式給出了圓盤上3個(gè)接觸力大小的解；顯然，接觸力的大小按照三角形面積的百分比進(jìn)行分配。對(duì)于圖2中右圖所示的圓盤，如果接觸點(diǎn)超過3個(gè)，各個(gè)接觸點(diǎn)處力的大小將不能唯一確定，就會(huì)出現(xiàn)力的不確定性。

2.2? 二維光滑凸顆粒

在圖3中，給出了一個(gè)處于力學(xué)平衡狀態(tài)的二維光滑凸顆粒，其中O點(diǎn)是該顆粒的質(zhì)心。

類似于光滑圓盤的情形，為了考慮力的傳遞問題，在凸顆粒上選擇3個(gè)接觸點(diǎn)C1、C2和C3。以接觸力f1、f2和f3的負(fù)值作為輸出力，它們分別表示為－f1=f1n1、－f2=f2n2、－f3=f3n3，其中n1、n2和n3分別是凸顆粒在這3個(gè)接觸點(diǎn)處的法向單位向量。設(shè)輸入力的合力是f=fn，它等效地作用于質(zhì)心O。與光滑圓盤不同的是，接觸力還可能對(duì)質(zhì)心產(chǎn)生力矩；為方便起見，這里采用反對(duì)稱的力矩張量表達(dá)力矩，并且設(shè)輸入力的總力矩張量為M=Mτ0。由顆粒的力平衡與力矩平衡得方程組

f1n1+f2n2+f3n3=f

f1r1∧n1+f2r2∧n2+f3r3∧n3=M? （17）

它等價(jià)于3個(gè)標(biāo)量方程，因而由它一般可確定唯一的f1、f2以及f3。由（17）中的第2個(gè)方程可得

f3=M－f1r1∧n1+f2r2∧n2r3∧n3（18）

將其代入（17）中的第1個(gè)方程可得到類似于（5）的向量方程，利用（6）和（7）對(duì)其進(jìn)行求解并且對(duì)結(jié)果進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得

f1=（f∧n2）（r3∧n3）+M（n2∧n3）+（n3∧f）（r2∧n2）（n1∧n2）（r3∧n3）+（n2∧n3）（r1∧n1）+（n3∧n1）（r2∧n2）

f2=（n1∧f）（r3∧n3）+（f∧n3）（r1∧n1）+M（n3∧n1）（n1∧n2）（r3∧n3）+（n2∧n3）（r1∧n1）+（n3∧n1）（r2∧n2）

f3=M（n1∧n2）+（n2∧f）（r1∧n1）+（f∧n1）（r2∧n2）（n1∧n2）（r3∧n3）+（n2∧n3）（r1∧n1）+（n3∧n1）（r2∧n2） （19）

可以看到，力的平衡與力矩平衡方程耦合在一起，使得解的結(jié)果要復(fù)雜很多。這時(shí)輸出力的大小不只由輸入力的大小及接觸結(jié)構(gòu)決定，還與輸入力對(duì)質(zhì)心產(chǎn)生的力矩有關(guān)，因此不能像光滑圓盤那樣獲得簡(jiǎn)單的力傳遞系數(shù)的定義。

2.3? 三維光滑球體

外積的概念可用于任意n維向量，因此可以將上述二維情況下顆粒平衡的討論推廣到三維。一種簡(jiǎn)單且重要的情形是考慮若干光滑球體組成的靜態(tài)顆粒體系。如圖4所示，從中選取一個(gè)處于力學(xué)平衡狀態(tài)的球體。

在球體上選擇3個(gè)接觸點(diǎn)C1、C2和C3，以它們的接觸力的負(fù)值－f1=f1n1、－f2=f2n2、－f3=f3n3為輸出力。設(shè)輸入力的合力為f=fn，力矩平衡自動(dòng)滿足，所以只需考慮力平衡方程

f1n1+f2n2+f3n3=fn（20）

它相當(dāng)于3個(gè)標(biāo)量方程。為了求f1，將n2∧n3從右端乘以方程（20）的兩端，利用外積的運(yùn)算性質(zhì)以及R3上各個(gè)3-形式之間只相差一個(gè)系數(shù)，容易導(dǎo)出

f1=fn∧n2∧n3n1∧n2∧n3（21）

用類似的方法，可以導(dǎo)出

f2=fn1∧n∧n3n1∧n2∧n3

f3=fn1∧n2∧nn1∧n2∧n3 （22）

類似于光滑圓盤的情形，利用（21）與（22）的結(jié)果，我們可以定義與f1、f2、f3相對(duì)應(yīng)的力傳遞系數(shù)λf，2，3、λ1，f，3、λ1，2，f。于是有

f1=λf，2，3f，f2=λ1，f，3f，f3=λ1，2，ff（23）

為了求出力傳遞系數(shù)與單位向量n、n1、n2、n3之間的夾角的關(guān)系，我們以n1∧n2∧n3為例計(jì)算這種三階完全反對(duì)稱張量。設(shè)Ω0是R3上的容積元，那么3-形式n1∧n2∧n3=VΩ0，其中V是一個(gè)實(shí)數(shù)，其絕對(duì)值代表由n1、n2、n3構(gòu)成的平行六面體的體積。為討論方便起見，假設(shè)n1∧n2∧n3與Ω0的定向是一致的，且n1、n2、n3線性無關(guān)，也就是說V>0。由（4）式易知

n1∧n2=sin（θ12）τ12（24）

其中，τ12代表由n1、n2確定的有向平面P（n1，n2）的容積元。設(shè)n3在平面P（n1，n2）上的投影向量可表示為l//n//，其中n//是單位投影向量；那么n3可表示為

n3=l//n//+l⊥n⊥（25）

其中，n⊥是垂直于P（n1，n2）的單位向量。設(shè)t//是P（n1，n2）上的與n//相垂直的單位向量，那么容積元Ω0可表示為Ω0=n//∧n//∧n⊥。另外，我們有τ12=n//∧t//，于是

n1∧n2∧n3=sin（θ12）l⊥Ω0（26）

這樣，只需求出l⊥，就可以得出n1∧n2∧n3的結(jié)果。通過計(jì)算容易得到

τ12·n3=－l//t//（27）

因此，τ12作用于n3的效果是把n3投影到平面P（n1，n2）上，然后逆向旋轉(zhuǎn)90度。利用這一幾何意義，可以構(gòu)造二階對(duì)稱張量

E12=－τ12·τ12（28）

顯然，E12·n3=l//n//；因此，E12就是與平面P（n1，n2）相對(duì)應(yīng)的投影張量，而且我們有E12·E12=E12。有了E12之后，可以得到

l2//=（n3-E12·n3）·（n3-E12·n3）=

1+n3·τ12·τ12·n3（29）

由（24）式可得

τ12·τ12=cosθ12（n1n2+n2n1）－（n1n1+n2n2）sin2θ12（30）

綜合（26）、（29）和（30），可以算出

n1∧n2∧n3=

1+2cosθ12cosθ23cosθ31－cos2θ12－cos2θ23－cos2θ31Ω0 （31）

將這個(gè)公式中角度的指標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)替換，便可寫出n∧n2∧n3的結(jié)果。于是力傳遞系數(shù)λf，2，3與n、n1、n2、n3之間的夾角的關(guān)系式為

λf，2，3=

1+2cosθf，2cosθ23cosθ3，f－cos2θf，2－cos2θ23－cos2θ3，f1+2cosθ12cosθ23cosθ31－cos2θ12－cos2θ23－cos2θ31（32）

類似地，可以寫出λ1，f，3、λ1，2，f的公式。由此可見，三維情況下的力傳遞系數(shù)比二維情況要復(fù)雜很多。

3? 總結(jié)

本文提出基于張量代數(shù)中的外積的方法對(duì)幾種典型情況下顆粒的力學(xué)平衡方程進(jìn)行求解和分析?？梢钥吹?，利用外積的方法可以以簡(jiǎn)潔明了的方式對(duì)一些向量方程進(jìn)行求解，而且解的形式只由已知量之間的內(nèi)在關(guān)系確定，與坐標(biāo)系無關(guān)；這使得解的結(jié)果往往有良好的幾何或物理含義，便于理解和分析。具體的求解表明，只有對(duì)于光滑圓盤和光滑球體這樣簡(jiǎn)單的情形，才能嚴(yán)格地引入力傳遞的概念以及力的傳遞系數(shù)。對(duì)于其他形狀的顆粒以及有摩擦的情形，這時(shí)力平衡方程與力矩平衡方程往往耦合在一起，使得輸出力不只與輸入力有關(guān)，還與輸入力的力矩有關(guān)。不過在討論顆粒的力學(xué)平衡時(shí)，如果可以忽略力矩平衡條件帶來的約束，也可以近似地使用力傳遞系數(shù)簡(jiǎn)化問題的研究。論文中提出的方法以及計(jì)算的結(jié)果，對(duì)于求解其他物理問題中的向量方程有意義，對(duì)于進(jìn)一步研究網(wǎng)絡(luò)上的力學(xué)平衡方程組有價(jià)值。

感謝貴州大學(xué)實(shí)驗(yàn)室開放項(xiàng)目資助。

參考文獻(xiàn)：

[1]陸坤權(quán)， 劉寄星. 顆粒物質(zhì)（上）［J］. 物理， 2004， 33（9）： 629-635.

［2］ 孫其誠， 厚美瑛， 金峰， 等. 顆粒物質(zhì)物理與力學(xué)［M］. 北京： 科學(xué)技術(shù)出版社， 2011.

［3］ DE GENNES P G. Granular matter： a tentative view［J］. Reviews of Modern Physics， 1999， 71（2）： 374-382.

［4］ VANEL L， CLAUDIN P， BOUCHAUD J P， et al. Stresses in silos： comparison between theoretical models and new experiments［J］. Physical Review B： Condensed Matter & Materials Physics， 2000， 84（7）： 1439-1442.

［5］ COPPERSMITH S N， LIU C， MAJUMDAR S， et al. Model for force fluctuations in bead packs［J］. Physical Review， 1996， 53（5）： 4673-4685.

［6］ WITTMER J P， CLAUDIN P， CATES M E， et al. An explanation for the contral stress minimum in sand piles［J］. Nature， 1996， 382（25）： 336-338.

［7］ EDWARDS S F， OAKESHOTT R B S. Theory of powders［J］. Physica A， 1989， 157（3）： 1080-1090.

［8］ BAULE A， MORONE F， HERRMANN H J， et al. Edwards statistical mechanics for jammed granular matter［J］. Reviews of Modern Physics， 2018， 90（1）： 15001-15006.

［9］ SNOEIJER J H， VLUGT T J H， VAN HECKE M， et al. Force network ensemble： a new approach to static granular matter［J］. Physical Review Letters， 2004， 92（5）： 054302.

［10］BO L， MARI R， SONG C M， et al. Cavity method for force transmission in jammed disordered packings of hard particles［J］. Soft Matter， 2014， 10（37）： 7379-7392.

［11］GENDELMAN O， POLLACK Y G， PROCACCIA I， et al. What determines force chains in granular media？［J］. Physical Review Letters， 2016， 116（2）： 078001.

［12］KRISHNARAJ K P， NOTT P R. Coherent force chains in disordered granular materials emerge from a percolation of quasilinear clusters［J］. Physical Review Letters， 2020， 124（19）： 198002.

［13］ZHANG X G， DAI D. Exact solutions for stress distribution in rhombic disk packings［J］. Granular Matter， 2021， 23（2）： 51.

［14］郭仲衡. 張量（理論和應(yīng)用）［M］. 北京： 科學(xué)技術(shù)出版社，1988.

［15］張興剛， 胡林， 隆正文. 糧倉效應(yīng)的圓盤堆積模型［J］. 計(jì)算物理， 2006， 23（6）： 642-646.

（責(zé)任編輯：曾? 晶）

Solving Particle Equilibrium Problem Based on Wedge Product

ZHANG Xinggang*

（College of Physics， Guizhou University， Guiyang 550025， China）

Abstract：

A simple and effective method based on exterior product is proposed to solve and analyze the mechanical equilibrium equations for frictionless particles with different shapes such as two-dimensional disk， two-dimensional convex particle and three-dimensional sphere. The theoretical results show that the output force on a disk or a sphere is proportional to the input force. Therefore， the concept of force transmission is introduced， and the relationship between the coefficient of force transmission and the contact structure is derived. For case of convex particle， the relationship between the output force and the input force and torque is derived. When the average normal pressure on a disk is known， the formulas of the contact forces are derived and their geometric significances are given. The method and results presented in this paper are also significant for solving vector equations in other physical problems and for further studying the equilibrium equations on mechanical networks.

Key words：

granular matter; mechanical equilibrium; tensor algebra; wedge product; coefficient of force transmission