楊洪莊 吳冬梅

一、問題提出

已知函數f（x）=x－lnx－2.

（1）求函數的最小值；

（2）若方程f（x）=a有兩個不同的實數根x1，x2，證明：x1+x2>2.

由（1）知，f′（x）=1－1x，故易知當x∈（0，1）時，f（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，f（x）單調遞增，所以x=1為函數f（x）的極小值點.

對于第（2）問，顯然是學生學過導數之后遇到的偏極值問題型，此類問題的處理，常常是通過構造函數F（x）=f（x）－f（2－x）（01，令F（x）=f（x）－f（2－x）（0F（1）=0，即f（x）>f（2－x），又x1∈（0，1），則f（x1）>f（2－x1），又f（x1）=f（x2），所以f（x2）>f（2－x1），因為x2>1，2－x1>1，當x∈（1，+∞）時，f（x）單調遞增，故x2>2－x1，即x1+x2>2.

對于上述教學解答思路，是怎么想到構造函數F（x）=f（x）－f（2－x）（0

二、問題解決

我們知道，當從題設條件去尋找解題思路達到目標有困難時，我們就要采用“分析法”入手，即從欲證的結論入手，去尋找求解目標成立的充分條件，這才是提升學生解決問題的思維之道.如本問題第（2）問，由題意條件f（x1）=f（x2）=a，去論證x1+x2>2成立，顯然思路不清晰，此時，我們只能從求解目標x1+x2>2上去分析其成因，故可以將欲證的不等式x1+x2>2施行變換，以得到一個我們熟悉的數學模型，從而就找到了解題目標的形成思路.針對此題，具體分析如下：欲證x1+x2>2成立，即證x1>2－x2，可考慮f（x1）>f（2－x2）或f（x1）f（2－x2）或f（x2）1，這樣就轉化為f（x2）>f（2－x2）或f（x2）1上是否成立的問題，即證f（x2）－f（2－x2）>0或f（x2）－f（2－x2）<0在x2>1上是否成立的問題，這樣一來構造函數F（x）=f（x）－f（2－x）（0

當然，構造函數的方式不唯一，此題也可通過構造函數F（x）=f（1+x）－f（1－x）（x>1）也可解答.

三、教學反思

平時，不少教師感嘆，講過幾遍的問題，學生還是掌握不住，出現這種現象，作為教師要反思自己的教學理念與行為，切勿將原因一味歸結于學生身上.實際上，有些問題不是學生的問題，而是我們的教學出了問題，主要表現在我們教師對欲求解的問題理解和把握沒有達到一定的深度，難以將問題解決的原理呈現在學生面前，僅停留在操作的層面，從而學生聽了之后也只能囫圇吞棗，這是培養(yǎng)“解題機器”的教學行為，而不是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教學，應該摒棄.

由于核心素養(yǎng)在教育教學目標結構中是一個“居中”層面的目標，它上接宏觀的教育方針和目標，下接微觀的教學目標，所以做好“核心素養(yǎng)”的培育工作至關重要，當然數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)并不是無源之水、無本之木，而是“接地氣”的，其中良好的學習基礎與具體教學過程目標是核心素養(yǎng)培育的兩大支柱.數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，其結構比過去的“雙基”更為科學、合理.其中，數學基礎知識、基本技能主要體現為結構性的知識、客觀性的事實，而數學思想、基本活動經驗則是在學習過程中學生學習主體獲得的主觀性體驗和感悟，這樣一個學習基礎結構，使數學學習的結果與過程、客觀與主觀、靜態(tài)與動態(tài)，外在與內化有機地結合起來，無疑為學生數學素養(yǎng)的發(fā)展奠定了堅實的數學學習基礎.

如，本案例中的問題第（2）題的求解，如果教師不幫助分析構造函數F（x）=f（x）－f（2－x）（0

當然，數學解題是有規(guī)律的，所以教學也需要講套路的，但解題套路的揭示不可少，如果只介紹解題“規(guī)律”，而不讓學生明晰解題規(guī)律的由來，則極易造成學生“機械刷題”的發(fā)生.但是教師在解題教學中，注重引導解題套路或規(guī)律的形成過程，讓學生看到、感受到解題套路來得自然、合理，明白解題思路從何來又去何方，這樣一來，學生就從打心眼里掌握了解題套路與規(guī)律，再遇到類似問題就能做到靈活運用了，則這樣的教學就不僅僅是套路的教學，更為重要的是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的教學.