賈小宇 劉春艷

摘? 要：單位圓在三角函數內容中占有非常重要的地位. 從歷史發(fā)展角度來看，由關注具體角的弦值轉向任意角的三角函數，三角函數與圓的弧長、弦長的關系逐漸清晰化，三角學的發(fā)展也經歷了算術、代數、幾何、解析四個研究階段；三角函數是周期運動代數化的代表，在微積分、幾何等領域具有重要作用. 三角函數的產生與發(fā)展始終與圓有關，三角函數的基本性質，是圓的對稱性的解析表現(xiàn)，教學中要充分發(fā)揮單位圓的作用. 借助單位圓，從模型角度理解三角函數概念的數學化過程，從幾何直觀上理解三角函數的性質和誘導公式，從整體上理解三角恒等變換與三角函數的關系.

關鍵詞：三角函數；單位圓；幾何直觀

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0008-06

引用格式：賈小宇，劉春艷. 借助單位圓理解三角函數，發(fā)展數學核心素養(yǎng)［J］. 中國數學教育（高中版），2024（3）：8-13.

三角函數是一類典型的周期函數，是高中數學函數主題的重要內容.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對于三角函數概念和性質的內容要求中提出：“借助單位圓理解三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，能畫出這些三角函數的圖象，了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大（?。┲? 借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式.” 教學提示中再次強調：“應發(fā)揮單位圓的作用，引導學生結合實際情境，借助單位圓的直觀，探索三角函數的有關性質.” 雖然各版本教材對于此要求的具體呈現(xiàn)不同，但是單位圓在“三角函數”一章中始終處于非常重要的位置.

在三角函數的學習中，為什么要借助單位圓？如何借助單位圓？本文從歷史發(fā)展和學科知識體系建構的角度梳理單位圓與三角函數的關系，并從學科教學的角度探討如何發(fā)揮單位圓的作用.

一、從歷史發(fā)展角度來看，三角函數的產生、發(fā)展與圓緊密聯(lián)系

1. 從研究對象來看，由關注具體角的弦值轉向任意角的三角函數

三角函數的起源與天文學聯(lián)系緊密，而圓是天文學中常用的模型. 古希臘時期，天文學家描述天體運行理論，如同心球、周轉圓或偏心圓模型均利用圓來刻畫天體運行軌道. 這一時期的代表人物希帕霍斯（Hipparchus，約190BC—125BC）不僅利用周轉圓和偏心圓模型解釋了日月運動，還制作了弦表以完成許多精確測量. 例如，天體之間距離的計算依據天體運行軌道形狀、天體相對地球位移對應的時長和角度. 因此，只需要考慮固定角的正弦值便可以完成天體距離的推演. 16世紀，哥白尼的學生印度數學家利提克斯（G.J.Rhaeticus，1514—1576）將正弦函數重新定義成直角三角形邊長的比，從而使平面直角三角學從球面三角學中獨立出來. 在這之后，銳角三角函數進入系統(tǒng)研究階段. 直至三角學脫離天文學，數學從運動的研究中引出了一個基本概念，在之后的二百年里，這個概念在幾乎所有工作中占中心位置，這就是函數——或變量間的關系——的概念. 正弦函數和余弦函數是一對源于圓周運動、密切配合的周期函數. 因此，銳角三角函數是通過研究三角形各種幾何量之間的關系而發(fā)展起來的，任意角的三角函數是通過研究現(xiàn)實中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的. 1748年，歐拉（Euler，1707—1783）在《無窮分析引論》中引入角的弧度制，使單位圓上用弧度制表示的角成為三角函數的自變量.

2. 從研究過程來看，三角函數與圓的弧長和弦長的關系逐漸清晰化

三角函數的概念經歷了漫長的演化過程，也經歷了與圓從合到分又到合的過程. 三角函數首次出現(xiàn)在希帕霍斯的弦表中，表示為在半徑固定的圓中不同弧長對應的弦長值. 古印度人發(fā)展了希帕霍斯的思想. 阿耶波多（Aryabhata，約476—550）在《阿耶波多歷數書》中給出一個類似的半弦表，說明了圓心角的一半與“半弦”的關系，取半弦（jya或jiva，印度梵文中“弓弦”的意思）定義正弦，現(xiàn)在我們使用正弦函數“sine”的詞源正是“半弦”. 近十個世紀之后，利提克斯發(fā)現(xiàn)了圓心角與弧長的一一對應關系，突破傳統(tǒng)正弦函數弧與弦的對應關系，將正弦改進為角的三角函數值. 至此，三角函數在經歷了漫長的依托于圓而存在的時期后最終脫離了圓. 一個世紀之后，歐拉提出三角函數是對應的函數線與圓的半徑的比值，從而使三角函數回歸了圓. 例如，正弦函數的定義——單位圓上任意弧度角對應的正弦線，在弧度制意義下依然體現(xiàn)的是半弧與半弦的對應關系.

3. 從研究方法來看，三角學經歷了算術、代數、幾何、解析四個研究階段

在三角學萌芽期，三角學用于報時、歷法推算、航海、地理研究等人類實踐活動. 它作為一種對天體運行路線和位置觀察推算的方法，慢慢演化為球面三角學知識. 門內勞斯（Menelaus，約70—140）的《球面幾何學》給出球面三角形的定義及相關基本概念，比較球面三角形與平面三角形的異同. 例如，球面幾何學中的大圓相當于平面幾何中的直線，小于半圓的大圓圓弧就是其兩端點之間球面上所有路徑中的最短路徑. 又如，三角形是平面幾何研究的核心問題，同樣地，球面三角形的研究也是球面幾何學研究的核心問題. 門內勞斯借鑒希帕霍斯的成果，用弦長表示球面三角形邊長的關系，進行平面三角形定理在球面上的推廣，首次使三角學脫離天文學. 另外，除了正弦和余弦的計算，阿拉伯學者引入正切和余切、正割和余割的概念，從算術和代數性質上發(fā)展了球面三角學體系. 在三角學確立期，三角函數定義在直角三角形中，目的在于解三角形和進行三角計算，體現(xiàn)在平面三角學的使用上. 在三角學成熟期，三角函數呈現(xiàn)真正意義上的函數解析性. 牛頓（Isaac Newton，1643—1727）和萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）給出三角函數的級數展開式. 約翰[?]伯努利（John Bernoulli，1667—1748）和托馬斯·范泰德·拉尼（Thomas Fantet de Lagny，1660—1734）等給出三角函數的和差公式. 德國數學家邁爾（Frederic-Christian Mayer，1697—1729）在此基礎上推導了解析三角的一般恒等式. 歐拉在《無窮分析引論》中對三角學進行了解析的敘述，從基本公式推導出全部公式，并發(fā)現(xiàn)了三角函數的周期性.

二、從學科知識體系來看，三角函數的地位和作用也與圓有關

1. 三角函數是周期運動代數化的代表

由于任意角的三角函數具有周期性，可以刻畫具有周期變化規(guī)律的運動，在天文和物理中有大量應用. 例如，物理中的單擺是一種簡諧振動，具有固定的頻率、周期和振幅，可以由三角函數近似計算單擺運動的周期. 單擺的問題還密切聯(lián)系著地球形狀和萬有引力定律的驗證，同時推動著牛頓對二體問題和三體問題的研究. 又如，歐拉在將三角函數應用于天體運動的研究中，驗證了牛頓在《自然哲學的數學原理》中提出的月球運動理論，從而引發(fā)了數學家們對三角級數的深入研究. 另外，1822年，傅里葉（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）在《熱分析理論》中提出任何函數不論連續(xù)與否，均可以展開為一系列正弦函數. 這一思想為泛函分析、偏微分方程、計算數學等數學領域的發(fā)展提供了數學基礎.

在物理領域，傅里葉級數被廣泛應用. 自然界中的大多數運動或振動表現(xiàn)為周期運動的疊加，如可見光、琴的和弦等，它們都可以用形如[fx=a0+][n=1∞ancosnπxL+bnsinnπxL]的傅里葉級數來刻畫，其中[L]表示周期.

由此可見，三角函數在自然科學和數學中的廣泛應用使其成為反映現(xiàn)實世界運動的一種具有周期變化過程的重要函數，也使其成為周期運動代數化的代表.

2. 三角函數在微積分、幾何等領域中的作用

三角函數是解析幾何學和周期函數的分析學中最為基本和重要的函數.

在微積分中，三角函數與指數函數、對數函數這兩個基本初等函數之間存在密切的聯(lián)系. 例如，圓弧下的面積[a2-x2dx]和雙曲線下的積分[x2-a2dx]，兩者相差一個符號，前者可以用三角函數表示，后者與對數函數有關，由此引發(fā)了三角函數與對數函數兩者之間關系的研究，以及對復數的對數的討論和歐拉公式特殊形式[eiπ=-1]的發(fā)現(xiàn).

在解析幾何和微分幾何中，借助三角函數將笛卡兒坐標系轉換為極坐標系，推動了平面、空間曲線和曲面的研究工作. 例如，歐拉在《無窮分析引論》中利用坐標變換將一般的三個變量的二次方程轉化成標準型，得到六種曲面. 歐拉在《固體或剛體的運動理論》中，推導出通常所用的沿一條平面曲線運動的質點的加速度的徑向和法向分量的極坐標公式.

在微分方程中，三角函數可以刻畫特定微分方程的解，從而研究方程所反映的周期現(xiàn)象.

另外，常微分方程理論中的一個基本問題是解的性態(tài)，其中一個重要問題是確定微分方程是否存在周期解. 例如，Massera周期解定理，給出了一維非自制周期系統(tǒng)的周期解存在的條件，建立了解的有界性和周期性之間的聯(lián)系.

借助李群和李代數的表示，也可以對微分方程進行對稱性、穩(wěn)定性、周期解等性質的分析. 例如，由微分關系式[xt+][xt=0]控制的簡諧運動，通過定義新的坐標[yt=][xt]，將這個二階方程轉化為由兩個一階方程構成的方程組[xy=01-10xy]. 我們可以借助矩陣[01-10]的指數函數得到方程組的一個通解，從而得出結論[xtyt]是[x0y0]的一個旋轉. 由此可知，簡諧運動系統(tǒng)的相空間軌道圖是一系列圓心在原點的圓周. 其中，該通解中表示旋轉的變換矩陣[costsint-sintcost]是李群SO（2）的群元，相應李代數元為[01-10]，它們反映了相空間軌道的對稱結構.

三、教學建議

基于前面的分析，我們得出如下結論.

一是三角函數產生與發(fā)展的過程始終與圓有關. 三角函數的定義是在研究圓的半徑、半弦長、半弧長、弦長、弧長等量之間對應關系的基礎上建立起來的. 之后，三角函數在微積分、微分幾何、微分方程等數學領域中的應用也與圓緊密相連，即使是在球面三角學中，球面的“直線”就是圓，球面三角形由連接球面上三個頂點的大圓圓弧構成，球面三角函數研究的對象也與圓有關.

二是與其他基本初等函數相比，三角函數最重要的性質就是周期性，而圓周運動是最簡單也最具代表性的周期運動模型. 三角函數逐步發(fā)展為反映現(xiàn)實世界中具有周期變化過程的重要函數，也成為周期運動現(xiàn)象代數化的代表.

三是三角函數與圓都具有很好的對稱性. 對稱在數學中非常重要. 圓是對稱性最強的平面圖形，大圓與小圓有相同的對稱性. 正如畢達哥拉斯所言：“一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓……正弦、余弦函數是一對用來描述單位圓的函數. 而圓的本質則在于其完美的對稱性，即其旋轉對稱性和對于每一個直徑的反射對稱性. 所以正弦、余弦函數的基本性質，其實也就是圓的對稱性的解析表現(xiàn).”

另外，學生在初中階段“圖形與幾何”領域已經系統(tǒng)地學習了圓的相關內容，了解了圓的對稱性. 因此，在研究三角函數的概念、性質，以及誘導公式、三角恒等變換等內容的過程中，要充分發(fā)揮單位圓的模型作用，借助幾何直觀整體把握三角函數的內容，提升數學抽象、數學建模等素養(yǎng).

1. 借助單位圓，從模型角度理解三角函數概念的數學化過程

對于三角函數的定義，大體有兩種方式：一種是直接借助單位圓，用角的終邊與單位圓交點的坐標下定義，稱為單位圓定義法；另一種是沿用銳角三角函數的定義方法，利用比值下定義，稱為終邊定義法. 兩種方法本質上是一致的. 在實際教學中，常常從生活中的具體實例入手. 例如，摩天輪問題. 摩天輪勻速旋轉過程中某位游客離地面的高度呈周期性變化，將實際問題抽象成單位圓上點P做勻速圓周運動，如何刻畫點P的周期性呢？在實際問題中，學生感受到點P的位置隨時間[t]的變化而變化，是關于時間[t]的函數. 當我們把單位圓放在平面直角坐標系中研究（如圖1），自然會想到利用點P的坐標刻畫點P的位置，但是選擇哪個量作為自變量呢？時間[t]在單位圓的模型中是如何體現(xiàn)的呢？如何建立時間[t]與點P的坐標之間的關系呢？

前面學習其他函數時，具體實例中的自變量和對應關系是比較容易理解的. 例如，在研究指數函數時，典型的實例是碳14衰減，此問題以時間作為自變量，能明確寫出兩個變量之間的解析式. 而對于三角函數的概念，需要借助幾何模型，以角作為自變量，建立點的坐標與角之間的對應關系，學生不具備相關的學習經驗. 因此，對于三角函數的概念，如何選擇自變量，以及如何構建變量之間的對應關系是教學的難點.

結合實際情境，借助單位圓，我們以時間[t]作為關鍵量，研究周期運動變化. 首先，當點P運動變化時，觀察單位圓中哪些量也發(fā)生了變化. 當點P在單位圓上從點A開始運動時，點P旋轉的角度與點P經過的弧、弦AP等都發(fā)生了變化. 其次，分析這些變量有什么變化規(guī)律，如何表示. 由于點P做勻速圓周運動，設角速度為[ω]，隨著時間[t]的變化，點P旋轉的角度[α=ωt]，點P經過的弧長l =[αr]. 特別地，在單位圓中，當[ω]為單位速度時，l =[α]= t. 此時，將問題歸結為對點P的坐標與旋轉角[α]之間對應關系的探索. 接下來，利用已有的研究函數的經驗，借助幾何模型（即單位圓），對于“幾何元素之間的對應”給出三角函數的形式化定義.

為此，我們以時間[t]作為研究的切入點，通過分析在單位圓上的點的變化過程中相關量的變化規(guī)律，借助角速度和線速度的關系，構建旋轉角和對應點坐標之間的對應關系，抽象出三角函數的概念. 通過上述數學化的過程，達成以下效果.

（1）幫助學生進一步理解函數是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數學語言和工具. 在現(xiàn)實情境中，時間[t]是常見的變量，通過經歷三角函數定義的數學化過程，進一步體會如何分析與建構其他變量與時間[t]之間的對應關系.

（2）幫助學生理解獲得三角函數定義與其他基本初等函數定義的抽象過程的不同. 前面提到，指數函數的定義是通過對具體實例進行歸納、概括得到的，實例中兩個變量之間具有明確的運算關系，而三角函數的定義主要是借助幾何模型，通過分析幾何元素之間的對應關系得到的.

（3）幫助學生進一步體會引入弧度制的必要性. 通過上述過程，讓學生直觀感受用弧度制來度量角，使得三角函數的研究明顯簡化.

（4）激活學生已有的認知基礎，幫助他們進一步體會圓的作用，也為后續(xù)利用單位圓研究三角函數的其他內容作好鋪墊.

2. 借助單位圓，從幾何直觀上理解三角函數的性質和誘導公式

性質是變化中的不變性和規(guī)律性. 相對指數函數和對數函數，三角函數的性質更加豐富，包括周期性、單調性、對稱性、最值等. 三角函數是借助單位圓，利用幾何要素之間的對應關系來定義的，而幾何中圓的對稱性是學生的認知基礎. 因此，借助單位圓的直觀，從運動變化的角度，利用數形結合，更能從整體上理解三角函數的性質.

例如，在平面直角坐標系xOy中，角[x]的頂點與原點重合，始邊與[x]軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P. 當角[x]的終邊繞原點從[x]軸正半軸開始，按照逆時針方向旋轉，觀察運動變化過程，并思考以下問題.

（1）點P的坐標有什么變化規(guī)律？如何用代數符號表示？

（2）在角[x]的終邊旋轉一周的過程中，隨著角[x]的變化，點P的坐標是如何變化的？利用（1）的結論，能否給出正弦函數、余弦函數的單調區(qū)間和最值？

（3）圓具有很好的對稱性，原點O是圓的對稱中心. 角x和角-x的終邊與單位圓交點的坐標有什么關系？如何用代數符號表示？

（4）圓不僅是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，[y]軸是單位圓的對稱軸. 在運動變化過程中，存在角[x]的終邊關于[y]軸對稱的兩個位置. 此時，兩個位置對應的角的大小有什么關系？分別對應的正弦值有什么關系？余弦值呢？如何用代數符號表示？

（5）[x]軸也是單位圓的對稱軸，類比（4）的研究過程，能得到什么結論？如何用代數符號表示？

（6）直線[y=x]也是單位圓的對稱軸，能得到什么結論？

（7）利用圓的對稱性，還可以研究什么？

每個基本初等函數都具有獨特的性質，三角函數是一類典型的周期函數，既具有單調性、奇偶性，又具有非常好的對稱性. 借助單位圓，通過觀察圖形，分析運動變化中的不變性和規(guī)律，用符號語言表達，能夠從直觀上理解三角函數性質和誘導公式的本源，體會數形結合方法的作用.

3. 借助單位圓，從整體上理解三角恒等變換與三角函數的關系

三角恒等變換是對三角函數式進行恒等變形. 很多學生感覺此內容距離三角函數的概念與性質比較遠，相對獨立，又因為公式多記不住，感覺難. 對于公式的理解，同樣可以發(fā)揮單位圓的作用，幫助學生建立三角恒等變換與三角函數的概念、性質之間的聯(lián)系，體現(xiàn)三角函數研究內容和研究方法的一致性.

借助單位圓的中心對稱性，關于x軸、y軸、直線y = x的軸對稱得到誘導公式. 對于圓的任意一條對稱軸，可以得到什么結論？不妨以任意角[α]的終邊所在的直線[l]為對稱軸，在單位圓上任意取一點P. 設點P關于直線[l]的對稱點為點[P′]，角[α]的終邊交單位圓于點A. 連接[PP′]，交直線[l]于點B. 當點B在角[α]的終邊OA上時，如圖2所示；當點B在角[α]的終邊OA的反向延長線上時，如圖3所示. 如圖2，設[∠AOP]=[β]，利用三角函數的定義和對稱性，得到點[Acosα，sinα]，點[Pcosα+β，sinα+β]，點[P′cosα-β，sinα-β]，點B[cosα+β+cosα-β2， sinα+β+sinα-β2]. 因為[OB=OP ? cosβ=cosβ]，由三角函數的定義得到點[Bcosβcosα，cosβsinα]，所以[cosα+β+cosα-β2=][cosαcosβ]，[sinα+β+sinα-β2=sinαcosβ]. 變形即可以得到和差化積公式和積化和差公式.

另外，圓還具有旋轉對稱性. 以單位圓的圓心為頂點、x軸的非負半軸為始邊畫出角[α，β，α-β]，根據三角函數的定義寫出這三個角的終邊與單位圓交點的坐標，然后利用圓的旋轉對稱性建立等量關系，再利用兩點間的距離公式得到兩角差的余弦公式. 這樣，以單位圓的幾何直觀為紐帶，將三角恒等變換與整個三角函數內容融為了一體.

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