付崇 李余文

摘要：研討學教法是高中數(shù)學教學中十分重要的方法之一，研討學教法不僅能培養(yǎng)學生善于研究的思維，提升學生的創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識，還能營造濃厚的研討學氛圍.本文中基于研討學教法的指導思想，以“求橢圓上的點到定點的距離的最值問題”為例，在解題教學過程中抓住特征，通過問題串的形式，循序漸進，從多個方面加以剖析，以期對學生解題思維的培養(yǎng)產(chǎn)生較好的效果，提高解題能力.

關(guān)鍵詞：研討學教法；解題教學；距離;最值

羅增儒教授認為：“對典型例題進行分析是提高解題能力的有效途徑.”解題教學是數(shù)學教學必不可少的，特別是在高中數(shù)學教學階段.研討學教法在解題教學中是以實際問題為導向，教師引領(lǐng)學生研討，讓學生參與分析問題和解決問題，得到一般性的解題方法，提高學生解決問題的能力［1］.

本文中在研討學教法的基礎(chǔ)上還穿插了一題多解，從多角度、多途徑看待問題，有助于培養(yǎng)和提高學生的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學學科核心素養(yǎng).

1 例題呈現(xiàn)與解析

求點P（0，3）到橢圓C：x22＋y2＝1上的動點的距離的最值.

解析：在橢圓C上任取一點Q（x0，y0），且x0∈［－2，2］，y0∈［－1，1］.由兩點間的距離公式，可得|PQ|＝x20＋（y0－3）2.因為點Q在橢圓C上，所以有x202＋y20＝1，則x20＝2－2y20.

故|PQ|＝－y20－6y0＋11＝－（y0＋3）2＋20.

因為y0∈［－1，1］，所以當y0＝1時，|PQ|有最小值2，此時點Q的坐標為（0，1）；當y0＝－1時，|PQ|有最大值4，此時點Q的坐標為（0，－1）.

2 提出問題及探討

可以發(fā)現(xiàn)，點Q為橢圓C的上下頂點時，|PQ|取得最值.

問題1? 那么對于y軸上的任意一定點P，是否都是點Q在橢圓的上下頂點處取到最值呢？如果不是，有什么聯(lián)系？

解析：設(shè)點P（0，t），橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.在橢圓C上任取一點Q（x0，y0），則|PQ|＝x20＋（y0－t）2.

令x0＝acos θ，y0＝bsin θ，則

|PQ|＝a2cos2θ＋b2sin2θ－2btsin θ＋t2

＝－（a2－b2）sin θ＋bta2－b22＋t2＋a2＋b2t2a2－b2.

因為sin θ∈［－1，1］，所以有如下幾種情況：

①若bta2－b2＞1，即t＞a2－b2b時，當sin θ＝1，|PQ|有最小值|t－b|，此時點Q的坐標為（0，b），位于橢圓的上頂點處；當sin θ＝－1，|PQ|有最大值t＋b，此時點Q的坐標為（0，－b），位于橢圓的下頂點處.

②若0≤bta2－b2≤1，即0≤t≤a2－b2b時，當sin θ＝1，|PQ|有最小值|t－b|，此時點Q的坐標為（0，b），位于橢圓的上頂點處；當sin θ＝－bta2－b2，|PQ|有最大值b2t2a2－b2＋t2＋a2，此時可以求得點Q的坐標為±a（a2－b2）2－b2t2a2－b2，

－b2ta2－b2.

③若－1≤bta2－b2＜0，即－a2－b2b≤t＜0時，當

sin θ＝－1，|PQ|有最小值|t＋b|，此時點Q的坐標為（0，－b），位于橢圓的下頂點處；當sin θ＝－bta2－b2，|PQ|有最大值b2t2a2－b2＋t2＋a2，此時可求得點Q的坐標為±a（a2－b2）2－b2t2a2－b2，－b2ta2－b2.

④若bta2－b2＜－1，即t＜－a2－b2b時，當sin θ＝1，

|PQ|有最大值b－t，此時點Q的坐標為（0，b），位于橢圓的上頂點處；當sin θ＝－1，|PQ|有最小值|t＋b|，此時點Q的坐標為（0，－b），位于橢圓的下頂點處.

通過以上4種討論結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，只有當點P的縱坐標滿足t＞a2－b2b，或者t＜－a2－b2b時，點Q在橢圓的上下頂點處取到最值.

問題2? 若點P不在y軸上，而在x軸上，又應(yīng)滿足什么情況？

解析：設(shè)點P（t，0），橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.在橢圓C上任取一點Q（x0，y0），則|PQ|＝（x0－t）2＋y20.

令x0＝acos θ，y0＝bsin θ，則

|PQ|＝a2cos2θ＋b2sin2θ－2atcos θ＋t2

＝（a2－b2）cos2θ－2atcos θ＋t2＋b2

＝（a2－b2）cos θ－ata2－b22＋t2＋b2－a2t2a2－b2.

因為cos θ∈［－1，1］，所以有如下幾種情況：

①若ata2－b2＞1，即t＞a2－b2a時，當cos θ＝－1，

|PQ|有最大值t＋a，此時點Q的坐標為（－a，0），位于橢圓的左頂點處；當cos θ＝1，|PQ|有最小值|t－a|，此時點Q的坐標為（a，0），位于橢圓的右頂點處.

②若0≤ata2－b2≤1，即0≤t≤a2－b2a時，當cos θ＝－1，|PQ|有最大值t＋a，此時點Q為（－a，0），位于橢圓的左頂點處；當cos θ＝ata2－b2，|PQ|有最小值

t2+b2-a2t2a2-b2，點Q為a2ta2－b2，±b（a2－b2）2－a2t2a2－b2.

③若－1≤ata2－b2＜0，即－a2－b2a≤t＜0時，當cos θ＝1，|PQ|有最大值a－t，此時Q為（a，0），位于橢圓的右頂點處；當cos θ＝ata2－b2，|PQ|有最小值t2+b2-a2t2a2-b2，點Q為a2ta2－b2，±b（a2－b2）2－a2t2a2－b2.

④若ata2－b2＜－1，即t＜－a2－b2a，當cos θ＝1，|PQ|有最大值a－t，此時Q的坐標為（a，0），位于橢圓的右頂點處；當cos θ＝－1，|PQ|有最小值|t＋a|，此時點Q的坐標為（－a，0），位于橢圓的左頂點處.

通過以上4種討論結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，與問題1有相似的結(jié)論.

問題3? 若點P不是坐標軸上的點，而是象限內(nèi)的點，那如何求其最值呢？

對求這個問題，下面提供三種解法.

解法1：導數(shù)法.

設(shè)點P的坐標為（m，n），在橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）

上任意取一點Q（x0，y0），由兩點間的距離公式，可得到

|PQ|＝（m－x0）2＋（n－y0）2

＝m2＋n2－2mx0－2ny0＋x20＋y20，又點Q在橢圓上，故有x20a2＋y20b2＝1，即y20＝b2－b2x20a2，所以|PQ|＝m2＋n2－2mx0±2nb2－b2x20a2＋x20＋b2－b2x20a2.

于是構(gòu)造函數(shù)f（x）＝m2＋n2－2mx±2nb2－b2x2a2＋

x2＋b2－b2x2a2，則f′（x）＝－2m＋21－b2a2x±2nb2a2＼5xxb2－b2x2a2.令f′（x）＝0，得

41－b2a22x2－8m1－b2a2x＋4m2＝4n2b4a4x2b2－b2x2a2.

上式等號兩邊同時乘以b2－b2x2a2，變形為

b2a21－b2a22x4-2mb2a2b2a2－1x3＋m2b2a2＋n2b4a4－b21－b2a22x2＋2mb21－b2a2x－4m2b2＝0.

可知這是一個關(guān)于x的一元四次方程.

評注：結(jié)合兩點之間的距離公式，利用橢圓的方程用含x的關(guān)系式來表示y，代入所求的距離公式，通過等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)f（x），通過求導處理，并確定導數(shù)的零點，進而得以確定其最值.導數(shù)法是破解一些代數(shù)關(guān)系式最值時常用的方法之一.

解法2：切線方程法.

設(shè)P（m，n），在橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）

上任意取一點Q（x0，y0），過Q點作橢圓C的切線l，則切線l的方程為x0xa2＋y0yb2＝1，易知在取到最值時應(yīng)滿足l⊥lPQ，即斜率乘積為－1.

易知kl＝－b2x0a2y0，又lPQ的斜率kPQ＝n－y0m－x0，故kPQkl＝－b2x0a2y0＼5n－y0m－x0＝－1，于是可得y0＝－nb2x0（a2－b2）x0－ma2.又點Q在橢圓上，所以有y20＝b2－b2x20a2，與前式聯(lián)立，得nb2x0（a2－b2）x0－ma22＝b2－b2x20a2，變形為b2（a2－b2）2x40＋2ma2b2（b2－a2）＼5x30＋［n2a2b4＋

m2b2a4－b2a2（a2－b2）2］x20＋2ma4b2＼5（a2－b2）x0－m2b2a6＝0.

可知這是一個關(guān)于x0的一元四次方程.

解法3：拉格朗日乘數(shù)法.

在解法1中，我們知道橢圓上任意一點Q到定點P的距離|PQ|＝m2＋n2－2mx0－2ny0＋x20＋y20，又x20a2＋y20b2＝1，則可以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）＝m2＋n2－2mx－2ny＋x2＋y2＋λx2a2＋y2b2－1，將L（x，y，λ）分別對x，y，λ求一階偏導數(shù)，即

L′x（x，y，λ）＝2x＋2λxa2－2m＝0，L′y（x，y，λ）＝2y＋2λyb2－2n＝0，L′λ（x，y，λ）＝x2a2＋y2b2－1＝0.

聯(lián)立方程，得（a2＋λ）2（b2＋λ）2＝a2m2（b2＋λ）2＋b2n2（a2＋λ）2，變形整理為

λ4＋（2a2＋2b2）λ3＋（a4＋4a2b2＋b4－a2m2－b2n2）λ2＋（2a4b2＋2a2b4－2a2b2m2－2a2b2n2）λ＋a4b4－a2b4m2－a4n2b2＝0.

可知，這是一個關(guān)于λ的一元四次方程.

評注：拉格朗日乘數(shù)法是高等數(shù)學的內(nèi)容，

其定義是——給定二元函數(shù)z＝f（x，y）和附加條件Φ（x，y）＝0，為尋找z＝f（x，y）在Φ（x，y）＝0條件下的極值點，則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）＝f（x，y）＋λΦ（x，y），其中λ為參數(shù).求L（x，y，λ）對x，y，λ的一階偏導數(shù)，令它們分別等于零，并與Φ（x，y）＝0聯(lián)立，解出x，y和λ，解得的點（x，y）就是函數(shù)z＝f（x，y）在附加條件Φ（x，y）＝0下的可能極值點.本題中的二元函數(shù)z＝f（x，y）＝m2＋n2－2mx－2ny＋x2＋y2，附加條件Φ（x，y）＝x2a2＋y2b2－1.

這三種解法求到最后都是得到一個形如ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0的一元四次方程，由于一元四次方程的求根公式過于繁瑣，本文中就不再陳述.在平常學生做題時，若利用求根公式解一元四次方程，那是難以完成的事情.但是對于這個問題，是否有別的解法？當然有，例如函數(shù)極值分析方法、數(shù)值迭代的最優(yōu)化方法［2］，這些方法都屬于大學數(shù)學分析中的方法，這些方法因為不是本文闡述的重點，因此不再討論.有興趣的讀者可以閱讀文獻［2］.

對于橢圓上的點到象限內(nèi)的定點的距離的最值問題，作為中學一線數(shù)學教師，還是需要繼續(xù)研究探索出高中學生能接受的破解方法.

3 鏈接高考

橢圓上的點到坐標軸上的定點的距離的最值問題一直是高考的熱點問題.

高考真題? （2022年浙江省高考數(shù)學試題第21題）已知橢圓x212＋y2＝1，設(shè)A，B是橢圓上異于P（0，1）的兩點，且點Q0，12在線段AB上，直線PA，PB分別交直線l：y＝－12x＋3于C，D兩點.

（1）求點P到橢圓上的點的距離的最大值；

（2）略.

本題中第（1）問求點P到橢圓上的點的距離的最大值，通過兩點間的距離公式和消元的思想即可求出，其最小值很顯然是0，故沒有涉及求最小值.請讀者可結(jié)合本文所述內(nèi)容自行完成.

參考答案：121111.

4 總結(jié)與感悟

4.1 總結(jié)

橢圓上的點到定點距離的最值問題，可分為兩種，第一種為橢圓上的點到坐標軸上定點距離的最值問題，第二種為橢圓上的點到象限內(nèi)定點距離的最值問題.因為第二種中的問題通過文中的導數(shù)法、切線方程法、拉格郎日乘數(shù)法等方法解決，最后得到的都是一個一般的一元四次方程，而一般的一元四次方程對于高中生來說是很難求解的.目前對于這個問題高中生能掌握的解法，還需進一步探索.故第一種問題是常考題型，也是近年高考考查的熱點問題.

4.2 感悟

新課改提倡教師角色應(yīng)由“教書匠”轉(zhuǎn)化為“研究者”，由“教導者”轉(zhuǎn)化為“促進者”.通過對以上問題的探討，我們知道數(shù)學因問題而生，探究因問題而明，課堂因問題而精彩.作為一名數(shù)學教師，我們要帶著問題精備、精講、精練，將研討學教法貫穿教學始終，有效地穿插一題多解、一題多問等，這樣學生的數(shù)學思維能力，以及教師的專業(yè)素養(yǎng)均會有所提高，從而穩(wěn)步提高教學效果.

參考文獻：

［1］李紅慶.中學數(shù)學研討學教法課堂教學模式研究［J］.新教育，2022（10）：17-20.

［2］潘漢軍，劉婭.橢圓上距離任意已知點最遠或最近的點分析［J］.數(shù)學的實踐與認識，2004（8）：167-173.