［摘 要］ 深度學(xué)習(xí)視域下變式教學(xué)的高階設(shè)計(jì)是發(fā)展學(xué)生高階思維、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要路徑. 研究者從試題和提問(wèn)兩方面論述變式教學(xué)的高階設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，認(rèn)為教師在試題設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)重視教材開(kāi)發(fā)、注重循序漸進(jìn)、聚焦核心概念、滲透思想方法，在提問(wèn)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)做到講究適度、精簡(jiǎn)集中、能動(dòng)啟發(fā).

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；變式教學(xué)；高階設(shè)計(jì)

引言

核心素養(yǎng)是指學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力［1］，其不僅僅是個(gè)人素質(zhì)最重要的組成部分，更是學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力發(fā)展的基石［2］. 而學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終要落在學(xué)科核心素養(yǎng)的培育上［3］，其關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)過(guò)程的轉(zhuǎn)型［4］.

與淺層學(xué)習(xí)相比，深度學(xué)習(xí)的特征具體體現(xiàn)在：認(rèn)知深度，即高階思維的運(yùn)用；參與深度，即積極主動(dòng)地參與；目標(biāo)深度，即通過(guò)學(xué)習(xí)達(dá)到知識(shí)理解遷移及發(fā)展批判創(chuàng)造性思維［5］. 作為一種促進(jìn)學(xué)生深入理解并將所學(xué)知識(shí)加以應(yīng)用、實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造的教育理念，深度學(xué)習(xí)已成為優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)、提升教學(xué)質(zhì)量，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方式與有效途徑［6］［7］.

近年來(lái)，學(xué)者對(duì)深度學(xué)習(xí)的研究論述主要聚焦于學(xué)科單元教學(xué)設(shè)計(jì)［8］，而對(duì)深度學(xué)習(xí)落實(shí)于變式教學(xué)設(shè)計(jì)的研究較少. 此外，大部分一線教師對(duì)變式教學(xué)的理解和使用停留于一題多變、一題多解、一法多用、圖形多變上，將變式教學(xué)降格為變式訓(xùn)練，不利于學(xué)生高階思維尤其是創(chuàng)新思維的發(fā)展. 基于此，如何在深度學(xué)習(xí)視域下，合理高效地規(guī)劃教學(xué)活動(dòng)，對(duì)變式教學(xué)進(jìn)行高階設(shè)計(jì)，從而帶領(lǐng)學(xué)生探究問(wèn)題本質(zhì)，掌握解決問(wèn)題的通性通法，進(jìn)而在深度學(xué)習(xí)中培養(yǎng)高階思維和學(xué)科核心素養(yǎng)，是一線教師和數(shù)學(xué)教育研究者需要不斷探索的方向. 下面筆者結(jié)合實(shí)踐和反思，就深度學(xué)習(xí)視域下數(shù)學(xué)變式教學(xué)的高階設(shè)計(jì)，提出幾點(diǎn)思考，以期為教師提升變式教學(xué)能力，以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提供參考與借鑒.

優(yōu)質(zhì)的試題是變式教學(xué)高階設(shè)計(jì)的首要前提

優(yōu)質(zhì)問(wèn)題及其變式題，不僅能加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，以及對(duì)思想方法的領(lǐng)悟與應(yīng)用，還能提高學(xué)生的思維能力［9］，這是影響教學(xué)效果的關(guān)鍵因素，也是變式教學(xué)高階設(shè)計(jì)的首要前提. 為此，筆者從以下四個(gè)方面分享變式教學(xué)中試題設(shè)計(jì)的要點(diǎn).

1. 試題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)重視教材開(kāi)發(fā)

教材是課程的載體，而高考命題最具體、最方便的依據(jù)就是教材［10］. 教師在設(shè)計(jì)試題時(shí)應(yīng)當(dāng)回歸教材，注重新教材例題、課后習(xí)題的探究學(xué)習(xí)，以及數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系性與整體性，通過(guò)變式、拓展、綜合，窮盡解決同一類問(wèn)題的不同知識(shí)和思路，幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)體系.

例1 （2022年新高考Ⅰ卷第12題）（多選）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f

-2x

，g（2+x）均為偶函數(shù)，則

（ ）

A. f（0）=0 B. g

-

=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

回顧例1可以發(fā)現(xiàn)，該題主要考查的是偶函數(shù)的性質(zhì)、抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，以及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性等內(nèi)容，倘若學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)不熟悉，那么無(wú)疑是解決該題的困難. 或許有部分學(xué)生甚至教師認(rèn)為這些知識(shí)點(diǎn)并未在教材中出現(xiàn)過(guò)，但實(shí)際并非如此. 在人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材“3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)”中，習(xí)題“拓廣探索”欄目就正式介紹了對(duì)稱性的概念，并要求對(duì)其定義進(jìn)行探討（如圖1所示）. 這再一次告訴所有教師和學(xué)生：高考試題的命制并非無(wú)本之木、空中樓閣，而是源于教材，根植于教材，升華于高考［11］.

為了幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性等內(nèi)容，教師可將例1作為教學(xué)切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)如下變式題，帶領(lǐng)學(xué)生逐步“吃透”這類題型.

變式題1：（多選）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f

-2x

為奇函數(shù)，g（2+x）為偶函數(shù)，則（ ）

A. f（2）=0 B. g

=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

變式題2：（多選）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f

-2x

，g（2+x）均為奇函數(shù)，且f

=0，則（ ）

A. f（0）=0 B. g（2）=0

C. f（-1）=f（4） D. g（-1）=g（2）

變式題3：（多選）已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）. 若f（x）+f（x+1）=0，且g（x）為偶函數(shù)，則（ ）

A. f（0）=0 B. g（0）=0

C. f（-1）=f（1） D. g（-1）=g（2）

2. 試題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)注重循序漸進(jìn)

變式就是變更對(duì)象的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出事物的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)特征［12］，而這個(gè)發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的過(guò)程需要學(xué)生自己去體驗(yàn). 為此，教師在設(shè)計(jì)試題時(shí)要做到“低起點(diǎn)，高落點(diǎn)”，逐步激活學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性.

例2 如圖2所示，圓C與y軸相切于點(diǎn)D（0，2），與x軸的正半軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且AB=3，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式題1：如圖3所示，過(guò)點(diǎn)E（5，6）作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求線段MN所在的直線的方程.

變式題2：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)A，D的直線與圓O：x2+y2=4相交于點(diǎn)K，求的值.

變式題3：如圖5所示，過(guò)點(diǎn)A作任一條直線交圓O：x2+y2=4于點(diǎn)P，Q，連接PB，QB，求證：=.

上述變式，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷阿波羅尼斯圓的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. 盡管本次變式的核心知識(shí)從變式題2才開(kāi)始引入，但前兩題做鋪墊十分有意義. 分析例2可知，學(xué)生可以利用條件的幾何特征來(lái)確定圓C的圓心和半徑的大小，從而獲得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可以利用坐標(biāo)法確定圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程中的各個(gè)參數(shù). 而變式題1的求解方法則更加多種，蘊(yùn)含著點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)方法，不僅用于發(fā)散學(xué)生的思路，還擴(kuò)展學(xué)生的思維方式，保證不同水平層次的學(xué)生都有所感悟.

3. 試題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)聚焦核心概念

開(kāi)展變式教學(xué)，其主要目的是幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“做一題、會(huì)一類、通一片”. 教師在設(shè)計(jì)試題時(shí)應(yīng)把著力點(diǎn)聚焦在概念的核心上，通過(guò)試題解決，達(dá)到學(xué)生理解概念本質(zhì)的目的.

例3 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，已知acosB=bcosA，判斷△ABC的形狀.

變式題1：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，已知acosB=，bcosA=，求c的值.

變式題2：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，已知acosB=，bsinA=，若△ABC的面積S=，求其周長(zhǎng)L.

變式題3：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，已知acosB=bsinA，且a2-b2=bc，判斷△ABC的形狀.

變式題4：在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a2-b2=bc，則A=2B成立嗎？

上述變式旨在帶領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用正弦、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形中的度量問(wèn)題，以及理解三角形中有關(guān)角邊關(guān)系，如acosB=bsinA，a2-b2=bc的幾何意義，理解其數(shù)學(xué)本質(zhì). 此次變式，從例題到變式題，都緊扣問(wèn)題背景，聚焦核心概念. 通過(guò)不斷解決變式題，對(duì)學(xué)生的知識(shí)容量與思維容量的要求在逐漸遞增，有利于保證學(xué)生思維的連續(xù)性，增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性.

4. 試題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)滲透思想方法

所謂變式教學(xué)，“變”的是問(wèn)題的條件、結(jié)論以及呈現(xiàn)方式等，而“不變”的是問(wèn)題的本質(zhì)和通性通法，以及數(shù)學(xué)思想方法. 教師在設(shè)計(jì)試題時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.

例4 （2021年新高考Ⅰ卷第7題）若過(guò)點(diǎn)（a，b），可作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）

A. eb<a B. ea<b

C. 0<a<eb D.0<b<ea

變式題1：已知a>0，若過(guò)點(diǎn)P（a，b），可作曲線y=x3的三條切線，則（ ）

A. b<0 B. 0<b<a3

C. b>a3 D. b（b-a3）=0

變式題2：已知a>0，若過(guò)點(diǎn)P（a，b），可作曲線y=x3-3x的三條切線，則（ ）

A. b<-3a

B. -3a<b<a3-3a

C. b>a3-3a

D. b=3a或b=a3-3a

變式題3：（多選）若過(guò)點(diǎn)（1，a），可作曲線y=（x-1）ex的切線l，且l最多有n條，n∈N*，則（ ）

A. a≤0

B. 當(dāng)n=2時(shí)，a值唯一

C. 當(dāng)n=1時(shí)，a<-

D. na的值可以取到-4

先帶領(lǐng)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)維度分析切線問(wèn)題，而后鼓勵(lì)學(xué)生借助圖象直觀求解切線問(wèn)題，并通過(guò)探究問(wèn)題本質(zhì)，感悟這類切線問(wèn)題的通性通法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化（化歸）、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法. 在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生理解拐點(diǎn)的概念，掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用拐點(diǎn)處切線的特征解決一類函數(shù)問(wèn)題，正是通過(guò)數(shù)與形的巧妙結(jié)合，讓解題思路變得直觀.

巧妙的提問(wèn)是變式教學(xué)高階設(shè)計(jì)的點(diǎn)睛之筆

單有優(yōu)質(zhì)的試題還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，如何帶領(lǐng)學(xué)生在探究中將一道道試題串聯(lián)在一起，以及通過(guò)巧妙的提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵，同樣是變式教學(xué)高階設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)，更是點(diǎn)睛之筆. 為此，筆者從以下三方面分享如何設(shè)計(jì)提問(wèn)方式.

1. 提問(wèn)應(yīng)當(dāng)講究適度

課堂提問(wèn)要適合學(xué)生的認(rèn)知水平，既不能讓學(xué)生有望而生畏之感，又不能讓學(xué)生有不動(dòng)腦筋就能輕易答出的懈?。?3］. 為此，教師在提問(wèn)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生“跳一跳，就能夠得到”.

回顧“試題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)聚焦核心概念”中的問(wèn)題，大部分學(xué)生是這樣回答變式題1的：由acosB=，bcosA=以及余弦定理得a·==①，b·==②. 由①+②得=c=.

在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生注意到“在△ABC中，c=acosB+bcosA”（這便是射影定理，也稱第一余弦定理）. 接下來(lái)，筆者拋出問(wèn)題：還有其他方法可以證明射影定理嗎？

學(xué)生的回答令筆者驚喜，不僅有用正弦定理進(jìn)行證明的，還有用幾何直觀進(jìn)行證明的，如：

生1（正弦定理）：要證c=acosB+bcosA，只要證sinC=sinAcosB+sinB·cosA=sin（A+B）. 因?yàn)锳+B+C=π，故上式成立，證畢！

生2（幾何直觀）：如圖6所示，AD=bcosA，BD=acosB，故c=AD+BD=acosB+bcosA.

多角度的證明不僅豐富了變式題1的價(jià)值，拓寬了學(xué)生的解題思路，發(fā)散了學(xué)生的解題思維，還為變式題2的多維度求解做好了鋪墊. 例如，某一位學(xué)生非常自信地借助幾何直觀分析問(wèn)題，恰恰表明這位學(xué)生挖掘到了這類問(wèn)題的背景，找到了這類問(wèn)題的“源頭”.

生3：如圖6所示，BD=acosB，CD=bsinA，那么在Rt△BDC中，可求a=.又已知△ABC的高CD，面積S，則可求底c，從而求得周長(zhǎng)L.

試想，倘若利用變式題1僅僅加深學(xué)生對(duì)余弦定理的理解，而未借助適度提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其幾何背景，感受幾何直觀、正弦定理與余弦定理的內(nèi)在聯(lián)系，那么變式題1未免黯然失色.

2. 提問(wèn)應(yīng)當(dāng)精簡(jiǎn)集中

眾所周知，學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師是課堂教學(xué)的主導(dǎo)者. 在變式教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)循循善誘，根據(jù)學(xué)生的反饋情況，引導(dǎo)學(xué)生往預(yù)設(shè)的方向進(jìn)行思考，從而把握問(wèn)題關(guān)鍵.

回顧“試題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)滲透思想方法”中的例4和變式題1，不僅引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)借助圖象直觀解決切線問(wèn)題的巧妙之處，同時(shí)令學(xué)生注意到x軸的“分界”效果. 例如，在變式題1中，當(dāng)點(diǎn)P在曲線y=x3的“下方”，并且在x軸的“上方”時(shí)，可作曲線y=x3的三條切線，得0<b<a3（如圖7所示）；當(dāng)點(diǎn)P在曲線y=x3上或者在x軸上時(shí)，可作曲線y=x3的兩條切線（如圖8所示）；當(dāng)點(diǎn)P在曲線y=x3的“上方”或者在x軸的“下方”時(shí)，只能作曲線y=x3的一條切線（如圖9所示）.

這時(shí)，筆者根據(jù)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)提出以下問(wèn)題，進(jìn)而幫助學(xué)生得到特殊點(diǎn)的相關(guān)特征.

問(wèn)題1：點(diǎn)P與曲線y=x3有何位置關(guān)系？

問(wèn)題2：切點(diǎn)（0，0）在曲線y=x3上具有怎樣的特殊性？

追問(wèn)1：點(diǎn)（0，0）兩側(cè)函數(shù)y=x3的單調(diào)性一致嗎？

追問(wèn)2：點(diǎn)（0，0）兩側(cè)函數(shù)y=x3的單調(diào)遞增速度是如何變化的？

接下來(lái)借助變式題2，進(jìn)一步帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)特殊點(diǎn)就是拐點(diǎn)，以及掌握拐點(diǎn)位置的確定方法，以此揭示借助圖象直觀求解切線問(wèn)題的本質(zhì). 這也進(jìn)一步表明，提煉概念并非一蹴而就的事情，變式教學(xué)也不是一題接著一題的教學(xué)模式，中間倘若沒(méi)有教師的巧妙引導(dǎo)，再好的試題在學(xué)生眼里也只不過(guò)是一道普普通通的練習(xí)題.

3. 提問(wèn)應(yīng)當(dāng)能動(dòng)啟發(fā)

學(xué)生思維的積極性和主動(dòng)性依賴于教師的循循善誘和精心啟發(fā)［14］. 隨著變式題的難度不斷增加，學(xué)生會(huì)從一開(kāi)始的從容到后來(lái)的無(wú)所適從，這時(shí)課堂提問(wèn)就一定要注意引發(fā)學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生的積極主動(dòng)性，促使學(xué)生能夠在解決變式題的過(guò)程中，得到有效的啟發(fā)，從而逐步發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題［15］.

例5 （2016年高考全國(guó)Ⅱ卷第19題第1問(wèn)）如圖10所示，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=. 證明：D′H⊥平面ABCD.

變式題：如圖10所示，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置. 問(wèn)：在翻折過(guò)程中，直線BD′與平面ABCD夾角的正弦值的最大值為多少？

例5考查的是立體幾何中的翻折問(wèn)題，這類問(wèn)題往往可以細(xì)分為兩個(gè)本質(zhì)問(wèn)題，即變與不變的問(wèn)題和軌跡的問(wèn)題. 學(xué)生需要清楚圖形在翻折前后有哪些量發(fā)生了改變，又有哪些關(guān)系是不變的，唯有如此，才能更好地應(yīng)對(duì)這類問(wèn)題.

為了更好地啟發(fā)學(xué)生求解該變式題，筆者提出了下列問(wèn)題.

問(wèn)題1：在翻折過(guò)程中，點(diǎn)D′的軌跡是什么？

問(wèn)題2：在翻折過(guò)程中，點(diǎn)D′在底面ABCD上的投影點(diǎn)D″的軌跡是什么？

通過(guò)上述問(wèn)題的啟發(fā)，學(xué)生注意到點(diǎn)D′的軌跡是一個(gè)圓，而當(dāng)直線BD′是圓的切線時(shí)，與平面ABCD夾角的正弦值最大（如圖11所示）. 顯然，這樣的啟發(fā)無(wú)疑為學(xué)生打開(kāi)了“一扇窗”，有利于加深學(xué)生對(duì)翻折問(wèn)題的理解.

結(jié)束語(yǔ)

深度學(xué)習(xí)視域下的變式教學(xué)高階設(shè)計(jì)要求教師精心設(shè)計(jì)試題和提問(wèn)方式，其中試題設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)重視教材開(kāi)發(fā)、注重循序漸進(jìn)、聚焦核心概念、滲透思想方法，提問(wèn)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)講究適度、精簡(jiǎn)集中、能動(dòng)啟發(fā)，這不僅是變式教學(xué)高階設(shè)計(jì)的頂層追求，也是促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)以培養(yǎng)高階思維和核心素養(yǎng)的催化劑. 變式教學(xué)的高階設(shè)計(jì)還讓筆者認(rèn)識(shí)到，教什么比怎么教更重要，教師只有自己對(duì)數(shù)學(xué)的思想、方法和精神有較高水平的理解，才能在教學(xué)中自覺(jué)地把數(shù)學(xué)精神傳達(dá)給學(xué)生［16］，才能更好地帶領(lǐng)學(xué)生把握知識(shí)本質(zhì)和核心思想，才能幫助學(xué)生達(dá)到“做會(huì)一道題，會(huì)做一類題”，使學(xué)生從“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)”向“會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變.

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