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      HPM微課在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

      2024-07-05 00:00:00李文清

      [摘 要] 教育信息化是時(shí)代發(fā)展的必然趨勢(shì),將數(shù)學(xué)史滲透在教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節(jié)是滿足學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的重要舉措. HPM微課是將數(shù)學(xué)史融入微課中的一種教學(xué)方法,它能從真正意義上激發(fā)學(xué)生的求真精神,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 文章以“兩角和的正弦公式”教學(xué)為例,分別從概念界定、研究框架與教學(xué)實(shí)施三個(gè)方面展開分析.

      [關(guān)鍵詞] HPM;微課;應(yīng)用;兩角和的正弦公式

      隨著時(shí)代的發(fā)展,借助信息技術(shù)提高教學(xué)實(shí)效成了廣大教育工作者的教學(xué)手段之一. HPM微課是將數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教育、信息技術(shù)有機(jī)融合在一起的一種教學(xué)方式,它能讓學(xué)生更便捷地了解數(shù)學(xué)知識(shí)的本源與發(fā)展歷程,體會(huì)知識(shí)架構(gòu),彰顯出信息技術(shù)輔助教學(xué)的強(qiáng)大功能. 本文以“兩角和的正弦公式”教學(xué)為例,具體談?wù)勅绾卧谡n堂中應(yīng)用好HPM微課,以提高教學(xué)實(shí)效,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

      概念界定

      1. HPM

      HPM即History and Pedagogy of Mathematics,是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究統(tǒng)稱. 很早之前,數(shù)學(xué)是一門脫離社會(huì)文化的孤立學(xué)科,隨著人們認(rèn)知水平的發(fā)展,數(shù)學(xué)文化逐漸進(jìn)入了數(shù)學(xué)體系,并發(fā)揮著重要作用. 20世紀(jì),國(guó)際數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)關(guān)系小組的成立,使HPM登上了歷史舞臺(tái). 自2005年起,我國(guó)對(duì)HPM的研究越發(fā)重視,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(簡(jiǎn)稱新課標(biāo))著重強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用,感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值,提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)[1].

      2. 微課

      1960年,美國(guó)艾奧瓦大學(xué)附屬學(xué)校首先提出微型課程,鑒于這類課程具有可操作性強(qiáng)、時(shí)間短等優(yōu)點(diǎn),受到各國(guó)教育界的關(guān)注;1993年,McGrew等人提出“60秒課程”,便于在一些非正式場(chǎng)合普及相關(guān)知識(shí);2008年,David Pemose首創(chuàng)“一分鐘微視頻”,也就是今日的“微視頻”,即將教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系起來,讓學(xué)習(xí)者通過觀看短視頻獲得聚焦性學(xué)習(xí)體驗(yàn).

      如今的數(shù)學(xué)微課是指一種以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為中心的短視頻,時(shí)長(zhǎng)基本控制在6~10分鐘. 微課與微視頻最大的區(qū)別在于微視頻著重用來展示教學(xué)內(nèi)容,而微課則是結(jié)合教學(xué)需求開發(fā)的系列教育資源,如微教案、微視頻與微反思等[2].

      3. HPM微課

      HPM微課是指將一些重要的解題思想、數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)家小故事等制作成微視頻,作為輔助教學(xué)的手段之一. HPM本身就承載著傳播數(shù)學(xué)史、滲透數(shù)學(xué)文化、培養(yǎng)學(xué)科精神等作用,微課作為傳播HPM的一種方式,可更高效地利用課堂時(shí)間拓展數(shù)學(xué)文化. 實(shí)踐證明,如今的高中數(shù)學(xué)HPM微課主要以6~10分鐘的短視頻為主,著重圍繞某個(gè)知識(shí)重點(diǎn)或難點(diǎn)展開數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)教育資源的播放.

      研究框架

      結(jié)合新課標(biāo)要求與近期微課活動(dòng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),筆者根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)構(gòu)建了一個(gè)研究框架(如圖1所示),主要包括分析、設(shè)計(jì)、制作、應(yīng)用與評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié),每一個(gè)環(huán)節(jié)相對(duì)獨(dú)立又環(huán)環(huán)相扣、互相融合,形成了一個(gè)整體.

      HPM微課分析是課堂教學(xué)的首要環(huán)節(jié),需要理清微課教學(xué)的各項(xiàng)要素,如課標(biāo)、學(xué)情、教材、史料等. HPM微課設(shè)計(jì)屬于重要環(huán)節(jié),具有承上啟下的作用,教師要以分析出來的結(jié)果為設(shè)計(jì)依據(jù),根據(jù)實(shí)際情況將與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史融入微課中,形成HPM微課教案、腳本、學(xué)習(xí)單等. HPM微課制作是基于以上兩個(gè)環(huán)節(jié)的課程拍攝、錄制、剪輯、完善等,屬于技術(shù)層面,一般借助軟件Camtasia Studio錄屏,后期通過剪輯加工,完善成微課. HPM微課應(yīng)用有線上與線下兩類,教師可將制作好的微課發(fā)布到教育平臺(tái)供學(xué)生提取學(xué)習(xí). HPM微課評(píng)價(jià)主要關(guān)注學(xué)生“四基”與“四能”的掌握情況,“三會(huì)”能力的發(fā)展趨勢(shì),以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六大要素的提升情況等[3].

      教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)分析

      1. 教學(xué)目標(biāo)

      (1)引導(dǎo)學(xué)生在HPM微課中感知與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的歷史情境,經(jīng)歷兩角和的正弦公式的探究過程,掌握兩角和的正弦公式的推導(dǎo)方法,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

      (2)借助菱形、矩形等模型,通過面積計(jì)算推導(dǎo)兩角和的正弦公式,提煉數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等素養(yǎng).

      (3)借助微課激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生務(wù)實(shí)求真的理性精神.

      2. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

      理解并掌握兩角和的正弦公式及證明方法.

      3. 教學(xué)材料

      HPM微課;微學(xué)習(xí)單;兩對(duì)斜邊為1的直角三角形紙片(一對(duì)含銳角α,一對(duì)含銳角β,且α≥β).

      教學(xué)簡(jiǎn)錄

      1. 情境創(chuàng)設(shè),引入主題

      筆者用多媒體播放HPM微課,微課的主要內(nèi)容是2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo),要求學(xué)生觀看后思考會(huì)標(biāo)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)定理,并說一說其證明方法.

      學(xué)生一致回答的是“勾股定理”,并自主回顧勾股定理的證明方法. 在此基礎(chǔ)上,筆者播放趙爽證明勾股定理時(shí)應(yīng)用的面積出入相補(bǔ)法,以及畢達(dá)哥拉斯證明勾股定理的方法,以激活學(xué)生對(duì)勾股定理的探究興趣,為本節(jié)課的教學(xué)奠定基礎(chǔ).

      2. 活動(dòng)探究,深化理解

      筆者繼續(xù)播放HPM微課,內(nèi)容為古希臘數(shù)學(xué)家應(yīng)用幾何法推導(dǎo)和角公式. 學(xué)生通過微課的觀看,沿著數(shù)學(xué)家的腳步借助課前準(zhǔn)備好的直角三角形紙片,繼續(xù)探索兩角和的正弦公式與證明過程.

      師:請(qǐng)將課前準(zhǔn)備好的兩對(duì)直角三角形紙片(見圖2)拼成菱形或矩形.

      學(xué)生開始在微學(xué)習(xí)單上進(jìn)行模擬拼接(用筆勾勒模型示意圖,將已知的長(zhǎng)度與角度標(biāo)注出來),各小組通過分工合作,最終有幾個(gè)小組拼出了菱形,也有幾個(gè)小組拼出了矩形.

      師:如圖3①所示,你們拼出的這種矩形模型與趙爽所著的《勾股圓方圖注》中記載的大方圖類似,這是由兩對(duì)直角三角形拼接而成的矩形,其長(zhǎng)為cosα+cosβ,寬為sinα+sinβ. 已知該矩形的中間是一個(gè)“邊長(zhǎng)為1,內(nèi)角為α+β”的菱形,這個(gè)菱形的面積該怎樣計(jì)算呢?面積出入相補(bǔ)法能帶給我們一些解題啟示或思路嗎?

      生1:借助菱形的面積公式,可獲得其面積為sin(α+β).

      生2:借助面積出入相補(bǔ)法,移動(dòng)其中兩個(gè)直角三角形可拼成圖3②,即將菱形拆分成了兩個(gè)長(zhǎng)方形,可得其面積為sinαcosβ+cosαsinβ.

      師:非常好!出入相補(bǔ)前后,大長(zhǎng)方形的面積發(fā)生了改變嗎?由此可進(jìn)一步推導(dǎo)出什么?

      生3:大長(zhǎng)方形的面積未發(fā)生改變,由此可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

      師:不錯(cuò),這就是我們本節(jié)課著重探索的知識(shí)——兩角和的正弦公式.

      隨著問題的逐步引導(dǎo),學(xué)生的思維拾級(jí)而上,尤其是微課的應(yīng)用讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)面積出入相補(bǔ)法對(duì)推導(dǎo)兩角和的正弦公式具有重要意義. 在微學(xué)習(xí)單的輔助下,學(xué)生不僅自主計(jì)算出了矩形模型中各個(gè)部分的面積,還進(jìn)一步揭示了探究主題,從而充分認(rèn)識(shí)到了微課對(duì)教學(xué)的輔助價(jià)值.

      接下來,筆者依然借助多媒體播放HPM微課,與學(xué)生一起總結(jié)上述探索中矩形模型所蘊(yùn)含的兩角和的正弦公式.

      師:我看到大家拼出的菱形模型與趙爽所著的《勾股圓方圖注》中記載的弦圖也非常相似. 若由兩對(duì)直角三角形拼成的菱形的邊長(zhǎng)是1,一個(gè)內(nèi)角是α+β(見圖4①),則菱形的面積該怎樣計(jì)算呢?若利用面積出入相補(bǔ)法來探尋,能否獲得什么啟示?

      通過微學(xué)習(xí)單中模型示意圖的分析,以及菱形面積公式的應(yīng)用,可知菱形的面積是S=sin(α+β).

      如圖4②所示,學(xué)生展示小組討論結(jié)果:結(jié)合面積出入相補(bǔ)法,我們可將菱形模型中的左上方的直角三角形轉(zhuǎn)移到右下方的位置,右上方的直角三角形轉(zhuǎn)移到左下方的位置. 轉(zhuǎn)化而來的圖形成了三個(gè)長(zhǎng)方形,這三個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別是sinαcosα,sinβcosβ和(sinα-sinβ)(cosβ-cosα).

      筆者肯定了學(xué)生的轉(zhuǎn)移與運(yùn)算方式,并提出:“應(yīng)用面積出入相補(bǔ)法還能進(jìn)一步推導(dǎo)出一些什么結(jié)論?”學(xué)生指出兩角和的正弦公式,即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 至此,筆者繼續(xù)播放HPM微課,與學(xué)生共同小結(jié)菱形模型中所蘊(yùn)含的兩角和的正弦公式.

      3. 積極互動(dòng),構(gòu)建新知

      師:借助微課與探究,我們對(duì)兩角和的正弦公式有了初步認(rèn)識(shí),現(xiàn)在我們一起從HPM微課中了解這個(gè)公式的形成與發(fā)展史. (播放微課)

      待學(xué)生看完微課后,要求學(xué)生從自己的角度說一說對(duì)兩角和的正弦公式的理解,同時(shí)完成如下計(jì)算任務(wù),以鞏固新知:(1)sin105°;(2)sin25°·cos65°+cos25°sin65°.

      練習(xí)訓(xùn)練的應(yīng)用意在考查學(xué)生對(duì)公式的理解程度與應(yīng)用能力,學(xué)生通過微學(xué)習(xí)單的輔助,應(yīng)用新建構(gòu)的知識(shí)實(shí)施解題,取得了良好的效果.

      4. 課堂小結(jié),完善認(rèn)知

      要求學(xué)生在此環(huán)節(jié)回顧本節(jié)課的整個(gè)教學(xué)流程,說一說在HPM微課的幫助下獲得了哪些知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法等.

      本節(jié)課教學(xué)的核心知識(shí)為兩角和的正弦公式,通過課堂回顧與總結(jié)可幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理公式的形成過程,總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu),為建構(gòu)完整的認(rèn)知體系與高階思維奠定基礎(chǔ),也為后續(xù)靈活應(yīng)用服務(wù).

      課堂反饋情況

      本節(jié)課后,筆者利用問卷的方式對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,46份有效問卷中,約有95%的學(xué)生對(duì)HPM微課表現(xiàn)出了較強(qiáng)的興趣,認(rèn)為這種教學(xué)方式能激發(fā)自己對(duì)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化與教學(xué)內(nèi)容的探究興趣,拓寬自己的視野,進(jìn)一步幫助自己了解知識(shí)的來龍去脈,對(duì)提煉數(shù)學(xué)思想方法具有重要意義.

      通過問卷調(diào)查,收集到學(xué)生的主要觀點(diǎn)有如下幾種:①HPM微課比較有趣,可將數(shù)學(xué)史更直觀地展現(xiàn)出來;②這種教學(xué)方式能更好地幫助自己了解知識(shí)發(fā)展的來龍去脈;③用微課播放公式的推導(dǎo)過程,將數(shù)形結(jié)合思想方法淋漓盡致地展示了出來;④微課講授更風(fēng)趣,更容易接受微課講授的數(shù)學(xué)知識(shí).

      從學(xué)生的反饋情況來看,他們對(duì)HPM微課的應(yīng)用保持著積極、肯定的態(tài)度. HPM微課對(duì)幫助學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)能力,發(fā)展運(yùn)算能力、邏輯推理能力、直觀想象力、抽象能力等都具有重要意義,因此這是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的一種重要手段.

      教學(xué)思考

      1. HPM微課對(duì)學(xué)生的影響

      HPM微課將數(shù)學(xué)史內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的學(xué)生喜聞樂見的方式進(jìn)行展示,更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展需求. 本節(jié)課課堂伊始,筆者將2002年在北京召開的數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)作為微課內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生對(duì)勾股定理和面積出入相補(bǔ)法的探究興趣,為兩角和正弦公式的引出做鋪墊. 由此也能看出,HPM微課對(duì)學(xué)生而言,具有激興趣、啟回憶、促思維、引新知的作用.

      課堂上,筆者帶領(lǐng)學(xué)生利用HPM微課探究矩形與菱形模型,親歷兩角和的正弦公式的推理過程,不僅提升了學(xué)生的“四基”與“四能”,還引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)了“三會(huì)”能力. 同時(shí),HPM微課對(duì)發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理能力、高階思維能力等都具有重要意義,而這一切都是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

      2. HPM微課對(duì)教師的影響

      這種教學(xué)方式可規(guī)避教師本身對(duì)數(shù)學(xué)史了解不夠的現(xiàn)象,它能在有限的時(shí)間內(nèi),高效、準(zhǔn)確地展示與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史,避免科學(xué)性錯(cuò)誤的發(fā)生,同時(shí)也避免數(shù)學(xué)史闡述時(shí)間難以控制等問題的出現(xiàn). 因此,HPM微課固定的時(shí)間為教師更好地掌控課堂奠定了基礎(chǔ).

      本節(jié)課,筆者以HPM微課引導(dǎo)學(xué)生自主探究,并以啟發(fā)式的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)面積出入相補(bǔ)法的應(yīng)用來探索兩角和的正弦公式. 微課的介入,從很大程度上解放了筆者的手腦,避免因?yàn)槿唛L(zhǎng)的闡述而浪費(fèi)課堂時(shí)間.

      總之,HPM微課既有微課的精煉、靈活、適合自學(xué)等特征,還具備圖文結(jié)合、聲音與動(dòng)畫結(jié)合等特點(diǎn),更便于數(shù)學(xué)史的植入,課堂也因HPM微課的介入而更具活力. 事實(shí)證明,這是一種優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)文化的重要舉措,也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.

      參考文獻(xiàn):

      [1] 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[S]. 北京:人民教育出版社,2020.

      [2] 陳晏蓉,汪曉勤. 數(shù)學(xué)史料的選取原則與案例分析[J]. 教育研究與評(píng)論(中學(xué)教育教學(xué)),2017(12):37-43.

      [3] 侯小敏,汪曉勤. HPM微課在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2015(06):61-63.

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