［摘 要］ 縱觀近年來的高考試題，壓軸小題看似形式簡單，知識(shí)面卻很廣，且具有立意深刻等特點(diǎn)，往往能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng). 文章以一道壓軸小題為例，具體從教學(xué)分析、狀況展示、教學(xué)實(shí)錄與教學(xué)思考等方面來展現(xiàn)壓軸小題的教學(xué)價(jià)值.

［關(guān)鍵詞］ 思維；智慧；方法；壓軸小題

出現(xiàn)在考卷中的一道題往往蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)、思維與方法等. 在教學(xué)中，借助一道題的探索來夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生自主提煉數(shù)學(xué)思想、解題思路與方法等，是提高學(xué)生解題能力的前提，尤其是解題反思能有效拔高學(xué)生的思維，幫助學(xué)生形成觸類旁通的解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］. 本文借助一道學(xué)校周練中的壓軸填空題，從以下幾方面展開教學(xué)與思考.

呈現(xiàn)試題

已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)恰巧都處于函數(shù)f（x）=log的圖象上，若點(diǎn)A（2，1），B

，2

，則平行四邊形ABCD的面積是______.

教學(xué)分析

本題為一道綜合性填空題，問題以函數(shù)為載體，立足平面幾何圖形，把四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何的深度融合. 就本題而言，它將數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等有機(jī)地融入其中，意在考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與解題方法的掌握程度. 通過解題狀況，可看出學(xué)生真實(shí)的思維水平與數(shù)學(xué)素養(yǎng). 因此，這一道看似簡單、平淡無奇的小題，蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容與思想，具有探討與研究的價(jià)值和意義.

學(xué)生解題狀況

本班47人，僅有3人在測試時(shí)做對(duì)了本題. 在與學(xué)生溝通交流后，總結(jié)出學(xué)生出錯(cuò)的根源有：①測試時(shí)，因?yàn)樽霰绢}之前的試題花費(fèi)了不少時(shí)間，本題作為填空題的最后一題，認(rèn)為肯定很難，所以想都沒想就直接放棄了；②對(duì)于題干中出現(xiàn)的平行四邊形這個(gè)條件，不知道該怎么使用；③少數(shù)學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤.

教學(xué)過程

1. 展示問題，揭露解法

教師用PPT展示本題，邀請(qǐng)一名做對(duì)的學(xué)生具體講解自己的解題思路，并強(qiáng)調(diào)本題待解決的是“特定條件下平行四邊形的面積”，讓學(xué)生明確本節(jié)課研究的主題與大方向.

生1：先設(shè)兩個(gè)頂點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D）位于曲線上的坐標(biāo)，再結(jié)合平行四邊形所具備的條件來建立方程組，由此獲得點(diǎn)C的坐標(biāo)，最終求出平行四邊形ABCD的面積.

教師肯定了這種解題思路，并借助投影儀將該生的解題步驟展示出來，供所有學(xué)生分析與思考.

投影：設(shè)點(diǎn)C（x，f（x）），D（x，f（x）），鑒于ABCD是一個(gè)平行四邊形，那么==

，-1

. 根據(jù)已知條件構(gòu)建方程組

x

-x

=，

f（

x）-f（

x）=-1，

·

=，解得C（-2，-1），則點(diǎn)C到直線AB：y=-x+的距離d等于. 由此獲得結(jié)論：S=AB·d=.

師：觀察生1的解題過程，可見他將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題后，借助方程組實(shí)施解題，此為最常用的解題方法，值得贊揚(yáng). 但這種解題方法存在的弊端就是運(yùn)算繁雜，耗費(fèi)時(shí)間較長. 生1解本題花費(fèi)了多少時(shí)間？

生1：大約6分鐘.

設(shè)計(jì)意圖 用多媒體展示問題，以及做對(duì)學(xué)生的解題過程，可節(jié)約板書時(shí)間. 投影正確的解題方法，意在讓學(xué)生明白本題的難度系數(shù)并不是特別大（班上確實(shí)有同學(xué)能夠做對(duì)），無形中為做錯(cuò)的學(xué)生建立解題信心，而時(shí)間花費(fèi)問題的提出為優(yōu)化解題方法奠定了基礎(chǔ).

2. 分析問題，探尋思路

師：大家一起觀察這個(gè)解題過程，說說你們的新發(fā)現(xiàn).

生2：從平行四邊形的角度來看，其中蘊(yùn)含的兩個(gè)條件可協(xié)助我們用向量相等列出兩個(gè)等式.

生3：本題還有“點(diǎn)A，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這個(gè)隱性條件.

生4：根據(jù)條件可知，f（x）是奇函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 利用問題引導(dǎo)學(xué)生自主通過對(duì)基本解題方法的觀察、分析與總結(jié)，獲得“發(fā)現(xiàn)”的能力. 師生、生生之間積極的互動(dòng)與交流，可提升學(xué)生思維的活躍度，為接下來的探究服務(wù).

3. 積極引導(dǎo)，優(yōu)化解法

師：大家都擁有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，若想利用好“f（x）是奇函數(shù)”這個(gè)條件實(shí)施解題，該怎么處理呢？

生5：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以其圖象必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)不難獲得坐標(biāo)原點(diǎn)即平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，以及點(diǎn)C（-2，-1），D

-，-2

，則平行四邊形ABCD的面積就唾手可得了.

師：很好，請(qǐng)大家沿著這條解題思路，將解題過程寫在本子上，并注意需要花費(fèi)多少時(shí)間.

教師擇取生5規(guī)范的解題過程投影展示：如圖1所示，因?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）為函數(shù)f（x）的定義域，f（-x）=log=log

=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù). 鑒于ABCD是一個(gè)平行四邊形，根據(jù)其對(duì)角線的對(duì)稱性，易求得點(diǎn)C（-2，-1），D

-，-2

，則點(diǎn)C到直線AB：y=-x+的距離d等于. 因此，S=AB·d=. （耗時(shí)3分鐘）

教師贊揚(yáng)了生5的解題過程，并要求大家比較生1和生5的解題方法，說說自己的看法. 當(dāng)大部分學(xué)生都表示生5的解題方法條理清晰、運(yùn)算量小且耗時(shí)少時(shí)，一位學(xué)生舉手提出自己還有更簡便的解題方法.

生6：既然確定平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么它的面積就是△AOB的面積的4倍，因此求出△AOB的面積即可獲得結(jié)論.因?yàn)镾=·AB·d′=××=，所以S=4S=.

竟然有如此簡單的解法，這令所有學(xué)生耳目一新，大家都向生6投去了欽佩的目光. 教師也充分肯定了生6的解法，并著重強(qiáng)調(diào)計(jì)算原點(diǎn)O到直線AB的距離，比計(jì)算點(diǎn)C到直線AB的距離更簡便.

設(shè)計(jì)意圖 從構(gòu)建主義理論出發(fā)，在已有知識(shí)或方法上構(gòu)建新知識(shí)或新方法更容易一些. 此處，引導(dǎo)學(xué)生觀察其他學(xué)生的解題方法，并從中找到靈感發(fā)現(xiàn)新的解題思路，不僅進(jìn)一步夯實(shí)了知識(shí)基礎(chǔ)，還優(yōu)化了解題思維，提高了解題能力.

此時(shí)課堂進(jìn)入了高潮階段，學(xué)生的思維異?；钴S，對(duì)于△OAB的面積，又提出了新的解法.

生7：對(duì)于△AOB的面積，還可以通過割補(bǔ)法來獲得，即延長AB分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)M，N，則S=S-S-S.

師：原來本題的難度并沒有想象中那么大，咱們在解題時(shí)只要對(duì)函數(shù)f（x）的性質(zhì)進(jìn)行深入分析就能發(fā)現(xiàn)端倪. 由此可見，解題需要思考與表述同行.

4. 鞏固練習(xí)，提升能力

如圖2所示，已知點(diǎn)A，B分別是橢圓C：+y2=1的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)，若過原點(diǎn)O的直線與橢圓C相交于點(diǎn)E，D，與線段AB相交于點(diǎn)M，且點(diǎn)E位于第一象限，則四邊形DBEA面積的最大值是多少？

學(xué)生經(jīng)思考與分析，提出如下兩種解法.

解法1 設(shè)DE：y=kx（k>0），與橢圓C聯(lián)立方程組，獲得點(diǎn)E

，

，D

，

. 假設(shè)點(diǎn)E，D到直線AB：y=-x+1的距離分別是d，d，則S=AB（d+d）. 代入點(diǎn)E，D的坐標(biāo)，經(jīng)化簡得S=··=2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)，等號(hào)成立.

解法2 假設(shè)點(diǎn)E（x，y），D（-x，-y），點(diǎn)E，D到直線AB的距離分別是d=，d=，則S=AB（d+d）=x+2y. 又+y=1，所以S=≤=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，等號(hào)成立.

當(dāng)大部分學(xué)生認(rèn)同上述兩種解法時(shí)，一名學(xué)生提出了新的看法.

生8：根據(jù)以上解法中的“等號(hào)成立”的條件，我認(rèn)為點(diǎn)E，D是與AB平行的直線和橢圓相切的切點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)E，D位于與AB平行的直線上，且位于橢圓上，同時(shí)到AB的距離之和最大，也就是點(diǎn)E，D是與AB平行的直線和橢圓相切的切點(diǎn). 從橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)E，D所在的直線必然經(jīng)過原點(diǎn). 利用上述條件，可輕松解決問題.

學(xué)生一致認(rèn)為生8提出的解法與前面兩種解法相比，思路更加清晰，運(yùn)算量更小. 這或許就是數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的魅力，大思維隱藏在問題背后，等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖 一題多解可進(jìn)一步鞏固學(xué)生的解題思維，讓學(xué)生在常規(guī)解題方法中探尋更多信息，獲取新思路，感知數(shù)學(xué)學(xué)科的解題樂趣，有效提高學(xué)習(xí)積極性.

教學(xué)思考

1. 立足基礎(chǔ)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的“四基”與“四能”，是數(shù)學(xué)教學(xué)的首要目標(biāo). 尤其在以能力立意與素養(yǎng)立意為考查目標(biāo)的大背景下，“四基”作為最基本的內(nèi)容，處于最關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn). 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)著重關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)形成的過程，讓學(xué)生從本質(zhì)上掌握知識(shí)與技能，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，從而積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在不知不覺中得以有效發(fā)展.

在本節(jié)課教學(xué)中，教師對(duì)原題和學(xué)生的正確解法的展示，不僅啟發(fā)了所有學(xué)生的思維，讓學(xué)生明確了最基本的解題方法，還成功幫助學(xué)生建立了解題信心. 因此，立足基礎(chǔ)是解題教學(xué)的關(guān)鍵.

2. 優(yōu)化思維

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為大方向. 尤其是解題教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生獲得分析問題與解決問題的能力是“授人以漁”的體現(xiàn). 值得注意的是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷進(jìn)行知識(shí)構(gòu)建的過程，教師可在學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，擇取恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)將問題展示給學(xué)生，激起學(xué)生認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生自主產(chǎn)生知識(shí)遷移的想法，從而自主發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建新知.

學(xué)生所接觸的模擬題或高考真題都具有較強(qiáng)的靈活性，存在多種解法，教師在進(jìn)行解題指導(dǎo)時(shí)，可結(jié)合學(xué)生實(shí)際認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生不斷優(yōu)化思維，選擇最便捷的方式實(shí)施解題，以節(jié)約考試時(shí)間，提高解題效率［2］. 事實(shí)證明，在方法得當(dāng)、思維清晰的狀態(tài)下，一些綜合性很強(qiáng)的小題往往擁有思維容量大，但過程簡明的解題方法. 因此，解題思維不僅反映學(xué)生的解題能力，也體現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解程度.

3. 反思提升

新課標(biāo)認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)就是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的一種綜合性實(shí)踐活動(dòng)，開展數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就在于培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作交流與反思提升的能力［3］. 想讓學(xué)生從一個(gè)具體問題中掌握基本的解題方法，獲得舉一反三的能力，就需要帶領(lǐng)學(xué)生從不同的維度去思考與分析問題，引導(dǎo)學(xué)生在變式訓(xùn)練中感知知識(shí)間的聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

在本節(jié)課教學(xué)中，教師通過一道經(jīng)典練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生不斷優(yōu)化解題思維，讓學(xué)生通過一題多解認(rèn)識(shí)知識(shí)本質(zhì)；通過對(duì)解題思維的切入點(diǎn)、障礙點(diǎn)，以及解題方法的總結(jié)，從真正意義上幫助學(xué)生夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，帶來解題成就感，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

總之，當(dāng)學(xué)生進(jìn)入考場，審?fù)暝囶}后能快速回憶與之相關(guān)的知識(shí)、解題方法或解題思路確實(shí)存在一定難度. 想要快速解題，關(guān)鍵在于日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考應(yīng)用哪種解題策略能在最短時(shí)間內(nèi)高效、精準(zhǔn)地分析問題并解決問題，從而使學(xué)生從容面對(duì)考試.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.