［摘 要］ 讓知識(shí)在課堂中自然生成是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，教師的精心設(shè)計(jì)與細(xì)節(jié)處理則決定著知識(shí)是否能自然生成. “雙曲線(xiàn)的方程”是高中階段的重要內(nèi)容之一，對(duì)夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)力發(fā)展具有重要價(jià)值. 因此，研究者從“創(chuàng)設(shè)情境，提煉概念”“活動(dòng)探索，構(gòu)建結(jié)構(gòu)”“建立模型，深化應(yīng)用”“深度學(xué)習(xí)，感悟提升”等方面展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，并有針對(duì)性地談幾點(diǎn)思考.

［關(guān)鍵詞］ 知識(shí)生成；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；雙曲線(xiàn)

隨著新課改的深入推進(jìn)，以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)模式受到廣大教育工作者的認(rèn)可，不少教師也對(duì)此展開(kāi)了大量實(shí)踐與研究. 探索發(fā)現(xiàn)，關(guān)注知識(shí)形成的過(guò)程，不僅能讓學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容做到“知其然且知其所以然”，還能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 課堂是師生雙邊積極互動(dòng)與交流的場(chǎng)所，也是促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)的陣地. 教師作為課堂的組織者與引導(dǎo)者，需要充分了解學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生親歷知識(shí)生成的過(guò)程，從真正意義上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng). 本文以“雙曲線(xiàn)的方程”教學(xué)為例，談?wù)劸唧w如何操作.

教學(xué)分析

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

雙曲線(xiàn)是繼橢圓之后的又一曲線(xiàn)，學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)圓和橢圓的相關(guān)內(nèi)容. 雙曲線(xiàn)是在圓和橢圓基礎(chǔ)上建構(gòu)的又一新知，學(xué)生通過(guò)知識(shí)的類(lèi)比與學(xué)習(xí)方法的遷移，想要掌握本節(jié)課的內(nèi)容，難度并不大. 基于以上分析，可見(jiàn)本節(jié)課除了能夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能外，還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

2. 學(xué)生情況分析

從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平來(lái)看，處于該階段的學(xué)生已經(jīng)具備良好的學(xué)習(xí)能力，能在自身已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)上通過(guò)類(lèi)比遷移探索新知. 因此，教學(xué)本節(jié)課的關(guān)鍵在于由教師引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)規(guī)律特點(diǎn)，親歷知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程，以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等能力，這些都是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).

3. 教學(xué)目標(biāo)分析

從教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)與學(xué)生學(xué)情分析來(lái)看，本節(jié)課除了要教會(huì)學(xué)生掌握雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等核心知識(shí)外，還要引導(dǎo)學(xué)生親歷知識(shí)形成的過(guò)程，從雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中探索其他更多問(wèn)題，并不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審美觀(guān)，實(shí)現(xiàn)五育并舉.

教學(xué)實(shí)踐與分析

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提煉概念

情境1 用多媒體展示圖1，引導(dǎo)學(xué)生欣賞這些美圖，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課即將探索的幾何圖形——雙曲線(xiàn).

情境2 某市有三個(gè)監(jiān)測(cè)站分別為A，B，C，已知B處于A(yíng)的正西方向，AB=10 km，C處于B的北偏西30°方向，BC=6 km，監(jiān)測(cè)站的監(jiān)測(cè)對(duì)象為M站. 若A在某一時(shí)刻接收到M傳遞來(lái)的信號(hào)，過(guò)了6秒B與C同時(shí)接收到這一信號(hào)，這一信號(hào)的傳播速度為1 km/s，則M站的具體位置在哪里？

學(xué)生看到情境2，第一反應(yīng)就是畫(huà)圖探索，即以AB為橫軸，其中點(diǎn)為原點(diǎn)建系，根據(jù)題設(shè)條件探尋M站的具體位置，并思考當(dāng)MB-MA恒為一個(gè)數(shù)的情況下，M站的軌跡是怎樣的.

設(shè)計(jì)意圖 雖說(shuō)高中生具備一定的邏輯推理能力，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，依然會(huì)習(xí)慣性地結(jié)合形象思維去分析問(wèn)題. 因此，帶領(lǐng)學(xué)生從具體情境著手思考問(wèn)題，可成功驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探索欲，為教學(xué)奠定基礎(chǔ). 學(xué)生從具體情境中抽象問(wèn)題的本質(zhì)，并以數(shù)學(xué)語(yǔ)言去歸納總結(jié)問(wèn)題，能有效提升自身的邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

情境1不僅陶冶了學(xué)生的審美情操，還讓學(xué)生學(xué)會(huì)了從不同物品中提煉相同點(diǎn)，為揭露雙曲線(xiàn)這一數(shù)學(xué)內(nèi)容打下基礎(chǔ)，促使學(xué)生帶著興趣進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)；情境2則讓學(xué)生在虛擬的情境中充分發(fā)揮想象，將抽象的文字不斷形象化，為本節(jié)課的教學(xué)探索奠定了基礎(chǔ)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的空間想象與抽象素養(yǎng)具有重要意義.

2. 活動(dòng)探索，構(gòu)建結(jié)構(gòu)

教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展可增強(qiáng)學(xué)生的探索熱情，讓學(xué)生全身心地投身于新知的建構(gòu)中來(lái). 本節(jié)課，結(jié)合知識(shí)特點(diǎn)與學(xué)情需要，筆者設(shè)計(jì)了如下探究活動(dòng).

活動(dòng)1 折紙?zhí)剿?

課前為各學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備好A4紙. 如圖2所示，在紙張上隨意確定兩點(diǎn)F，F(xiàn)，以點(diǎn)F為圓心，小于FF的長(zhǎng)度為半徑作圓. 在作出的圓F上任取一點(diǎn)P，折疊紙張，使點(diǎn)P與F重疊，用鉛筆將折痕l畫(huà)出來(lái)，與PF相交于點(diǎn)M；再隨機(jī)選擇點(diǎn)P，P，…，折疊PF，PF，PF，…，將折痕l，l，l，…畫(huà)出來(lái)，與PF，PF，PF，…相交于點(diǎn)M，M，M，…. 重復(fù)上述操作，大量交點(diǎn)構(gòu)成了一條曲線(xiàn). 當(dāng)學(xué)生自主操作完成后，教師帶領(lǐng)學(xué)生在幾何畫(huà)板上演示上述操作，讓學(xué)生更直觀(guān)地看到曲線(xiàn)的形狀（如圖3所示）.

師：通過(guò)以上折疊操作，是否都能獲得一個(gè)雙曲線(xiàn)圖形？

在這個(gè)問(wèn)題的啟迪下，學(xué)生經(jīng)合作交流，發(fā)現(xiàn)：①若FF=

F

P-FP，交點(diǎn)M的軌跡為兩條射線(xiàn)；②若FF<

F

P-FP，不存在交點(diǎn)軌跡. 雙曲線(xiàn)的定義在活動(dòng)探索中自然生成.

設(shè)計(jì)意圖 折紙活動(dòng)的開(kāi)展，使學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)的定義有了具體形象的認(rèn)識(shí). 同時(shí)，幾何畫(huà)板的應(yīng)用，又深化了學(xué)生對(duì)折紙活動(dòng)和抽象的雙曲線(xiàn)的理解，促進(jìn)學(xué)生抽象素養(yǎng)的發(fā)展. 學(xué)生在此過(guò)程中化被動(dòng)為主動(dòng)，不斷增加探索熱情，提煉數(shù)學(xué)思想方法，獲得了良好的數(shù)學(xué)抽象能力與數(shù)學(xué)建模能力.

活動(dòng)2 問(wèn)題思考.

師：通過(guò)以上探索可見(jiàn)雙曲線(xiàn)和橢圓之間存在著相似性，大家能根據(jù)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，借助類(lèi)比遷移法自主獲得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？

在這個(gè)問(wèn)題的點(diǎn)撥下，學(xué)生主要從以下幾個(gè)環(huán)節(jié)著手分析：①將直線(xiàn)FF作為x軸，線(xiàn)段FF的中點(diǎn)作為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系；②假設(shè)點(diǎn)M（x，y）是位于雙曲線(xiàn)上的任意點(diǎn)；③列式

FM -

FM =2a；④將點(diǎn)M（x，y）代入

FM -

FM =2a，得

-

=2a；⑤化簡(jiǎn)式子. 簡(jiǎn)而言之，即經(jīng)歷建系、設(shè)點(diǎn)、列式與化簡(jiǎn)的過(guò)程，獲得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生基于自身原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來(lái)探索問(wèn)題，即將探索橢圓方程的思路遷移到雙曲線(xiàn)的探索中，有效提升學(xué)生的類(lèi)比分析能力，增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)與方法的正遷移能力，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與推理能力.

3. 建立模型，深化應(yīng)用

例1 化簡(jiǎn)方程：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

學(xué)生經(jīng)交流，認(rèn)為可從橢圓和雙曲線(xiàn)的定義出發(fā)去化簡(jiǎn)：因?yàn)?c>2a>0，所以c2-a2>0. 令b2=c2-a2（b>0），代入（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）得-=1（a>0，b>0）.

設(shè)計(jì)意圖 公式當(dāng)然是越簡(jiǎn)潔越好，標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，同樣需要遵循簡(jiǎn)潔的原則. 若學(xué)生得到的結(jié)論比較煩瑣，就需要想辦法去優(yōu)化它，此為推動(dòng)邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)據(jù)分析能力發(fā)展的重要途徑.

例2 下列各雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)及a，b，c的值分別是什么？

①-=1；②-=1；③4x2-9y2=-36；④4x2-9y2=36.

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生一致認(rèn)為只要將待求方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)論就能自然而然地生成了.

例3 怎樣從雙曲線(xiàn)的方程來(lái)分析其焦點(diǎn)位于哪根軸？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生同樣認(rèn)為需要將待求方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程后進(jìn)行判斷，即系數(shù)為正數(shù)的情況下，變量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸就是焦點(diǎn)所處的那根軸.

例4 若雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1，其焦點(diǎn)在x軸上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是什么？

求解這個(gè)問(wèn)題后，要求學(xué)生提出新問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)上述幾道例題，一方面考查學(xué)生對(duì)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與應(yīng)用情況，另一方面促使學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合思想的重要性，進(jìn)一步提煉數(shù)學(xué)思維，為提高解題效率做鋪墊. 在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要充分考慮自身的示范作用與導(dǎo)向性，根據(jù)學(xué)情與教情擇取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式以提升學(xué)生的解題能力. 例如，最后一個(gè)問(wèn)題就是基于學(xué)生獲得雙曲線(xiàn)的定義而設(shè)計(jì)的，此為豐富學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要舉措.

4. 深度學(xué)習(xí)，感悟提升

師：說(shuō)說(shuō)你在本節(jié)課中的收獲與感悟.

設(shè)計(jì)意圖 開(kāi)放性問(wèn)題促使學(xué)生從自身認(rèn)知習(xí)慣出發(fā)，基于課堂學(xué)習(xí)情況，通過(guò)總結(jié)與提煉，逐層深化對(duì)知識(shí)的理解，并在類(lèi)比分析過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想方法，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展核心素養(yǎng).

思考與感悟

1. 五育并舉，讓課堂充滿(mǎn)活力

良好的審美觀(guān)能帶給學(xué)生正能量，讓學(xué)生對(duì)自己、他人與社會(huì)時(shí)刻保持積極的態(tài)度，為創(chuàng)新意識(shí)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ). 本節(jié)課，筆者從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，借助豐富的情境啟發(fā)學(xué)生的智力，讓學(xué)生通過(guò)情境的探索獲得用數(shù)學(xué)眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界和用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界的能力. 探究活動(dòng)中的折紙環(huán)節(jié)，一方面提升學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的能力，另一方面讓學(xué)生在“做中學(xué)”中獲得良好的操作技能. 整個(gè)課堂因探索而充滿(mǎn)了生機(jī)與活力，學(xué)生的德育、智育、美育、勞育等也得到了有效發(fā)展，因此這是一節(jié)成功的課堂，從真正意義上實(shí)現(xiàn)了五育并舉.

2. 問(wèn)題引領(lǐng)，讓知識(shí)自然生成

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)課堂就是由一個(gè)個(gè)問(wèn)題堆砌而來(lái)的. 學(xué)生在由淺入深的問(wèn)題的引領(lǐng)下不斷深化思維，深刻理解所學(xué)內(nèi)容，并隨著對(duì)問(wèn)題探索的深入而提升各項(xiàng)學(xué)力. 正如張奠宙教授所言：知識(shí)有科學(xué)與教育兩種形態(tài)，即發(fā)生與呈現(xiàn)形式. 問(wèn)題的應(yīng)用可將知識(shí)的發(fā)生形式展示在學(xué)生面前，學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探索，獲得用數(shù)學(xué)眼光觀(guān)察事物與用數(shù)學(xué)思維思考事物的能力. 想要讓學(xué)生親歷知識(shí)形成的過(guò)程，就要想辦法將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為一系列具有探究?jī)r(jià)值的問(wèn)題，以啟發(fā)學(xué)生的思維，讓問(wèn)題推動(dòng)課堂的發(fā)展. 如本節(jié)課，筆者結(jié)合學(xué)情與知識(shí)特點(diǎn)設(shè)計(jì)了一系列處于學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的問(wèn)題，成功激活了學(xué)生的探索欲，使學(xué)生在主動(dòng)觀(guān)察、總結(jié)提煉中明確什么是雙曲線(xiàn)，為后續(xù)的靈活應(yīng)用夯實(shí)了基礎(chǔ).

3. 教育信息化，促進(jìn)學(xué)力發(fā)展

雖說(shuō)實(shí)操活動(dòng)能增強(qiáng)學(xué)生的切身體驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的來(lái)龍去脈產(chǎn)生明確認(rèn)識(shí)，但手工操作的局限性比較大，如折紙操作的次數(shù)就受到很大限制，這給學(xué)生觀(guān)察一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象帶來(lái)了弊端. 信息技術(shù)的介入則能化解這一矛盾. 在教育信息化飛速發(fā)展的當(dāng)下，有很多實(shí)操活動(dòng)都可以結(jié)合信息技術(shù)進(jìn)行. 實(shí)操與信息技術(shù)的融合，將數(shù)學(xué)現(xiàn)象刻畫(huà)得更加清晰，給學(xué)生的深刻理解帶來(lái)了便利. 如本節(jié)課的折紙活動(dòng)，在幾何畫(huà)板的加持下，雙曲線(xiàn)的形成過(guò)程非常直觀(guān)、清晰. 學(xué)生通過(guò)實(shí)操與幾何畫(huà)板的應(yīng)用，對(duì)雙曲線(xiàn)的理解更加深刻. 因此，實(shí)際操作與信息技術(shù)的深度融合是提升學(xué)生學(xué)力的重要舉措，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方法.

總之，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生成的過(guò)程，首先要做好教學(xué)分析，在對(duì)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)情與教學(xué)目標(biāo)有明確認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)方案，并在各個(gè)環(huán)節(jié)中精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，以逐層推進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，讓學(xué)生在自主觀(guān)察與主動(dòng)分析中學(xué)會(huì)“三會(huì)”，提升“四能”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).