［摘 要］ 新形勢下，國與國之間的競爭是創(chuàng)新人才的競爭，如今的數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著更多元、更多變?nèi)瞬诺呐囵B(yǎng). 如何立足我國基礎(chǔ)教育國情，改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，致力于單元大概念視域下發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維呢？對此，研究者進(jìn)行了大量探索與實(shí)踐，從核心概念的界定出發(fā)，以“復(fù)數(shù)的乘法”教學(xué)為例，具體談?wù)剢卧蟾拍钜曈蛳屡囵B(yǎng)創(chuàng)新思維的具體措施.

［關(guān)鍵詞］ 大概念；創(chuàng)新思維；復(fù)數(shù)

隨著時(shí)代的發(fā)展，“大概念”一詞在數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的頻率越來越高. 為了滿足時(shí)代進(jìn)步的需要，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維刻不容緩. 將單元大概念與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)有機(jī)地融合于一體是實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)的重要方式，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要舉措.

核心概念的界定

1. 大概念

大概念（Big Idea）源于美國，屬于一種統(tǒng)整性概念，即歸納與整合一些特定的概念，融合生活現(xiàn)象、學(xué)科知識(shí)與基礎(chǔ)技能，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的概念網(wǎng)絡(luò). 單元大概念，顧名思義是指某個(gè)單元的概念體系.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)教師需重視學(xué)科大概念，在精選學(xué)科內(nèi)容的基礎(chǔ)上實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)，以促使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地. 至此，大概念被提到了重要的位置，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)卻困難重重，究其主要原因在于它的整合性比較強(qiáng)，不少教師尚未適應(yīng)從宏觀的角度設(shè)計(jì)教學(xué)，尤其在單元大概念視域下培養(yǎng)創(chuàng)新思維，仍需進(jìn)一步探索.

2. 創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維是指突破常規(guī)思維的界限，用獨(dú)特、新穎的方式解決實(shí)際問題的過程. 該過程主要從反常規(guī)的視角去提出問題、分析問題，并從新視角提出與眾不同的解決問題的方案. 因此，創(chuàng)新思維是一種具有社會(huì)意義的成果. 實(shí)踐證明，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步與發(fā)展的原動(dòng)力.

具體措施

1. 教學(xué)現(xiàn)狀分析

高考背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生在知識(shí)的學(xué)習(xí)上缺乏一個(gè)連續(xù)的整體性，對知識(shí)的掌握存在“低、淺、散”等現(xiàn)象，無法從宏觀的視角認(rèn)識(shí)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系與思想方法，尤其在創(chuàng)新思維的發(fā)展上普遍存在不足. 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)需及時(shí)更新并優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在知識(shí)的“再創(chuàng)造”與“再發(fā)現(xiàn)”中發(fā)展創(chuàng)新思維.

復(fù)數(shù)應(yīng)用較為廣泛，它從實(shí)數(shù)擴(kuò)充而來，因此依然延續(xù)了實(shí)數(shù)所具備的特點(diǎn)與運(yùn)算律等. 但不少教師認(rèn)為這部分內(nèi)容比較簡單，于是直接帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入復(fù)數(shù)計(jì)算應(yīng)用環(huán)節(jié)，而忽略了復(fù)數(shù)計(jì)算理解教學(xué). 殊不知，缺乏理解的應(yīng)用，只是機(jī)械式模仿. 以單元大概念為核心設(shè)計(jì)教學(xué)，不僅能幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)體系，還能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2. 教學(xué)簡錄

單元大概念視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以教材為依托，利用系統(tǒng)論分析“具有某種內(nèi)在聯(lián)系”的內(nèi)容，經(jīng)整合與重組形成結(jié)構(gòu)完整的單元教學(xué)體系. 如圖1所示，筆者以學(xué)科大概念為節(jié)點(diǎn)，從“分析教學(xué)要素”“明確教學(xué)目標(biāo)”“設(shè)計(jì)核心問題”與“多元評價(jià)與反思”四個(gè)環(huán)節(jié)著手設(shè)計(jì)教學(xué)流程.

（1）分析教學(xué)要素，提取大概念誘發(fā)創(chuàng)新思維

教學(xué)要素主要包括課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容與學(xué)情等. 關(guān)于復(fù)數(shù)章節(jié)的教學(xué)，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生理解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充，掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義；教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容主要包括復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的三角表示等，著重強(qiáng)調(diào)要凸顯代數(shù)運(yùn)算和幾何直觀的融合性，讓學(xué)生從中感悟知識(shí)間的關(guān)聯(lián)特征，并從整體的角度理解復(fù)數(shù)章節(jié)，以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng).

鑒于高中生具備一定的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象與創(chuàng)新意識(shí)，復(fù)數(shù)的引入又是一次數(shù)系擴(kuò)充，因此教學(xué)時(shí)可帶領(lǐng)學(xué)生站在整體的角度，類比之前幾次數(shù)的學(xué)習(xí)過程，將數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則作為大概念實(shí)施單元學(xué)習(xí)，其中將復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與幾何意義整合成一個(gè)小單元實(shí)施學(xué)習(xí). 這種整合設(shè)計(jì)是基于發(fā)展的角度而來的，是促使學(xué)生萌生創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ).

（2）確定教學(xué)目標(biāo)，以大概念引領(lǐng)創(chuàng)新思維

教學(xué)目標(biāo)是制定教學(xué)計(jì)劃與實(shí)施教學(xué)活動(dòng)的方向標(biāo). 維金斯認(rèn)為教學(xué)設(shè)計(jì)首先要明確預(yù)期的教學(xué)成效，整個(gè)課堂教學(xué)活動(dòng)圍繞這個(gè)預(yù)期成效而展開. 新課標(biāo)已為大家初步制定了單元教學(xué)目標(biāo)，教師可以此為出發(fā)點(diǎn)，借助大概念的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)逐步細(xì)化教學(xué)任務(wù)，為幫助學(xué)生建構(gòu)完整的概念體系奠定基礎(chǔ).

如圖2所示，結(jié)合數(shù)系擴(kuò)充規(guī)則、課程標(biāo)準(zhǔn)和核心素養(yǎng)要求制定復(fù)數(shù)單元大概念教學(xué)目標(biāo).

（3）設(shè)計(jì)基本問題，以大概念培養(yǎng)創(chuàng)新思維

理解大概念的本質(zhì)并不是一蹴而就的事情，而要通過概念圖的繪制幫助學(xué)生逐層理解概念群，明晰概念間存在的層級關(guān)系. 本節(jié)課，數(shù)系擴(kuò)充規(guī)則涉及的子概念有復(fù)數(shù)的加法、幾何意義、多項(xiàng)式乘法、代數(shù)表示、三角表示、三角函數(shù)等. 想要逐個(gè)突破這一個(gè)個(gè)的子概念，離不開基本問題的驅(qū)動(dòng).

單元大概念視域下的問題設(shè)計(jì)需關(guān)注具體的方向，每個(gè)問題都指向于大概念的理解，學(xué)生通過對問題的思考與探索不僅能掌握基本知識(shí)與技能，還能促進(jìn)“四能”的發(fā)展. 問題驅(qū)動(dòng)下對已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思，可鍛煉學(xué)生遷移知識(shí)的能力，為創(chuàng)新能力的發(fā)展創(chuàng)造機(jī)會(huì).

問題1 回顧并說一說復(fù)數(shù)加法的定義與幾何意義.

追問1：眾所周知，實(shí)數(shù)存在乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)是否也存在乘法運(yùn)算呢？

追問2：自主猜想并說一說復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則與幾何意義是什么.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)系從實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，必然會(huì)涉及運(yùn)算問題，類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則猜想復(fù)數(shù)的運(yùn)算是學(xué)習(xí)能力遷移的表現(xiàn). 復(fù)數(shù)既然是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充，那么復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)必然有所聯(lián)系和區(qū)別. 聯(lián)系和區(qū)別在哪兒呢？這是需要學(xué)生思考的問題.

問題2 你對復(fù)數(shù)乘法的“規(guī)定”是怎樣理解的？

追問1：之前在什么情況下遇到過類似的“規(guī)定”？

追問2：這些“規(guī)定”存在共性特征嗎？

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)生從小到大認(rèn)識(shí)了不少數(shù)學(xué)“規(guī)定”，如0和任何數(shù)相乘都為0，分母不能為0等. 這些“規(guī)定”具有確定性與辯證統(tǒng)一性.

問題3 思考復(fù)數(shù)乘法是不是也滿足結(jié)合律、交換律與乘法對加法的分配律呢？

追問1：實(shí)數(shù)乘法是否滿足以上規(guī)律？

追問2：說說證明復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的過程.

追問3：根據(jù)實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算律來分析以上所提到的“規(guī)律”具有什么優(yōu)勢.

設(shè)計(jì)意圖 復(fù)數(shù)運(yùn)算律的探索是研究復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)生通過探究題的分析與思考獲得結(jié)論. 親歷探究，一方面可讓學(xué)生切身感受復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算所遵循的一般規(guī)律，另一方面還能感知復(fù)數(shù)乘法與實(shí)數(shù)乘法的共性特征，因而從代數(shù)形式上將實(shí)數(shù)乘法有機(jī)地融入復(fù)數(shù)乘法. 此過程，教師除了設(shè)計(jì)基本問題與追問外，還要站在學(xué)生的角度做好引導(dǎo)與點(diǎn)撥工作. 如乘法交換律的證明，教師首先要思考學(xué)生需要做些什么，該如何操作. 此環(huán)節(jié)，需帶領(lǐng)學(xué)生分析：對任意z，z，z∈C，z·z=z·z成立嗎？而后引導(dǎo)學(xué)生嘗試證明，必要時(shí)給予規(guī)范的示范性指導(dǎo).

學(xué)生在自主證明中，不僅能體會(huì)復(fù)數(shù)乘法的本源為實(shí)數(shù)乘法，還能訓(xùn)練思維的縝密性與創(chuàng)造性，這是促進(jìn)創(chuàng)新能力發(fā)展的過程.

復(fù)數(shù)的乘法與兩個(gè)多項(xiàng)式相乘高度相似，其滿足乘法結(jié)合律、交換律以及乘法對加法的分配律也就能理解了. 如此分析，復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算具有高度一致性就理所當(dāng)然了.

關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)體系的進(jìn)一步擴(kuò)充，想要確保其內(nèi)部和諧、統(tǒng)一，就需對一些法則做出明確規(guī)定.

問題4 說一說復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.

追問1：復(fù)數(shù)相乘和向量相乘存在聯(lián)系嗎？說明理由.

追問2：關(guān)于數(shù)列1，x，-1，有沒有哪種運(yùn)算能將1轉(zhuǎn)化為x，而后將x轉(zhuǎn)化成-1？

設(shè)計(jì)意圖 鑒于向量的點(diǎn)乘結(jié)論僅為數(shù)量，不滿足乘法運(yùn)算的封閉性特征，因此無法用向量相乘來分析復(fù)數(shù)相乘. 關(guān)于數(shù)列1，x，-1的問題的提出，意在引出復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，此問難度相對較大，是瑞士數(shù)學(xué)家阿甘達(dá)在1806年所解釋的復(fù)數(shù)幾何意義.

問題5 是否可用一個(gè)新的量來表達(dá)復(fù)數(shù)相乘？

追問1：假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=r，∠ZOx=θ，則復(fù)數(shù)z是多少？（以a+bi的形式呈現(xiàn)）

追問2：若r（cosθ+isinθ）=z，r·（cosθ+isinθ）=z，則z·z的值是多少？

追問3：嘗試用圖形來描述上一個(gè)問題中z·z的值.

追問4：說一說復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.

追問5：若復(fù)數(shù)z滿足（i+1）z=2i，則z的值是多少？

設(shè)計(jì)意圖 既然無法用向量來描述復(fù)數(shù)相乘，就需要用其他量來表示. 事實(shí)證明，用輻角與復(fù)數(shù)的模來表示復(fù)數(shù)效果不錯(cuò)，也就是常說的復(fù)數(shù)的三角表示法. 假設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi，那么（a，b）就是與復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的坐標(biāo)，分別用r，θ來表示坐標(biāo)（a，b），則a=rcosθ，b=rsinθ，rcosθ+irsinθ=z=r（cosθ+isinθ），此為復(fù)數(shù)z的三角表示式.

在三角表示的基礎(chǔ)上分析兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘可將其結(jié)果表示成三角形式：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.

由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知，

z·

z=

z·

z. 關(guān)于追問5，學(xué)生容易得到如下兩種解題方法：①假設(shè)z=a+bi，代進(jìn)（i+1）z=2i，獲得a=b=1，因此z=；②用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義解題，由于

z·

z=

z·

z，因此i+1·z=2i，所以z=.

通過問題的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生在單元大概念的背景下逐層深入地理解了復(fù)數(shù)的定義、運(yùn)算規(guī)則等. 每個(gè)核心問題配上相應(yīng)的追問，為學(xué)生的思維搭建了“腳手架”，讓學(xué)生能順應(yīng)問題探尋研究方向，完成教學(xué)目標(biāo). 整個(gè)過程，都以學(xué)生的主動(dòng)探索為主，教師只起到引導(dǎo)的作用，這種“以生為本”的模式成功訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

（4）多元評價(jià)反思，從真正意義上落實(shí)大概念

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教學(xué)設(shè)計(jì)需注重“教、學(xué)、評”一體化，單元大概念視域下的教學(xué)評價(jià)需重點(diǎn)關(guān)注過程性與形成性評價(jià)，對于學(xué)生的思考過程、行為表現(xiàn)、創(chuàng)新意識(shí)等，從多維度進(jìn)行分析、評價(jià)與反思. 教學(xué)完畢后，教師還應(yīng)結(jié)合評價(jià)結(jié)論對教學(xué)進(jìn)行反思與調(diào)整，借助團(tuán)隊(duì)的力量完善教學(xué)方案，以進(jìn)一步提高教學(xué)成效，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力.

總之，單元大概念視域下的教學(xué)設(shè)計(jì)需重點(diǎn)關(guān)注知識(shí)的整體性與關(guān)聯(lián)性. 鑒于知識(shí)間存在嚴(yán)密的邏輯關(guān)系，教師可引導(dǎo)學(xué)生以概念為節(jié)點(diǎn)，建構(gòu)層次清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，使得教學(xué)目標(biāo)更加明確，提高教學(xué)效益的同時(shí)還能促進(jìn)創(chuàng)新思維的發(fā)展.