［摘 要］ 文章以“用向量法解決三角形問題”為例，探究大單元背景下的問題系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)施，啟發(fā)學(xué)生探索與尋求問題解決路徑，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

［關(guān)鍵詞］ 單元教學(xué)；問題系統(tǒng)；深度學(xué)習(xí)

單元教學(xué)是指從單元整體出發(fā)，把相關(guān)知識(shí)與應(yīng)用方式關(guān)聯(lián)成一條教與學(xué)的線索，形成一個(gè)不可分離的教學(xué)整體. 對(duì)單元教學(xué)的實(shí)施，需要教師進(jìn)一步轉(zhuǎn)變教育方式，確立新的教育理念.

單元教學(xué)意識(shí)的形成需求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)：為促進(jìn)核心素養(yǎng)的階段性、持續(xù)性發(fā)展，應(yīng)把握教學(xué)內(nèi)容的整體性［1］. 這要求教師以整體研讀教材為基礎(chǔ)，領(lǐng)會(huì)單元教學(xué)的主題知識(shí)與方法，按照系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題的思路，以實(shí)現(xiàn)單元教學(xué)目標(biāo)為前提，開展單元下每一個(gè)課時(shí)的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生通過單元學(xué)習(xí)，有效提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

課例研究

以“用向量法解決三角形問題”為例，教學(xué)目標(biāo)為：用向量法證明已學(xué)的三角形的性質(zhì)，以及解決三角形問題，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)向量的工具性作用.

本課例以三角形為探究對(duì)象，大致包括以下探究要點(diǎn)：①目標(biāo)的定義；②幾何要素之間的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化；③相關(guān)性質(zhì)的延伸. 探究起點(diǎn)是：用向量法將三角形的重心與三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確地表達(dá)出來. 具體課時(shí)安排如圖1所示.

本課例承接“正弦、余弦定理及其應(yīng)用”課程. 在“正弦、余弦定理及其應(yīng)用”課程中，學(xué)生已對(duì)三角形的基本要素以及正弦、余弦定理有了較為深刻的印象和使用經(jīng)驗(yàn)，但是思考正弦、余弦定理形成的過程，是應(yīng)用向量法的結(jié)果，因此“用向量法解決三角形問題”是一個(gè)切實(shí)可行的探究方向.

三角形的四“心”（重心、內(nèi)心、外心、垂心）是三角形很重要的基本量，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而向量是“數(shù)”與“形”結(jié)合的橋梁，它與數(shù)學(xué)各個(gè)方面有著緊密聯(lián)系，是解決三角形問題的有力工具［2］，因此本課例將重點(diǎn)介紹用向量法解決三角形重心問題，并以其為探究起點(diǎn)，為學(xué)生繼續(xù)用向量法解決三角形外心、內(nèi)心等問題提供可行的探究路徑與思考方式，讓學(xué)生在完成必修二的學(xué)習(xí)后能夠更有效地運(yùn)用向量法解決更多有關(guān)三角形的問題. 在此過程中，本課例通過設(shè)計(jì)三角形特性問題，引導(dǎo)學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)用向量法解決三角形問題具有運(yùn)算與推理兼顧的優(yōu)勢(shì)，并通過向量的數(shù)形結(jié)合的展現(xiàn)，促使學(xué)生學(xué)會(huì)文字語言、符號(hào)語言和圖形語言之間的相互轉(zhuǎn)化，加深學(xué)生對(duì)向量法的認(rèn)識(shí).

本課例的首要任務(wù)是通過三角形幾何要素與平面向量運(yùn)算法則的關(guān)聯(lián)探究，對(duì)比幾何法與向量法的研究路徑，架構(gòu)更合理的研究方式.

1. 問題系統(tǒng)設(shè)計(jì)

問題系統(tǒng)是指建立在學(xué)科素養(yǎng)分析基礎(chǔ)上，指向目標(biāo)、提升學(xué)習(xí)有效性的問題集合，并且表現(xiàn)為動(dòng)態(tài)的、邏輯化的問題結(jié)構(gòu). 問題系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目的是尊重學(xué)習(xí)主體的普適性，結(jié)合學(xué)習(xí)主體已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步驅(qū)動(dòng)其主觀能動(dòng)性，明確其探索意向.

在教學(xué)過程中，以問題為導(dǎo)向，使教學(xué)目標(biāo)更加明確，任務(wù)更加具體，教學(xué)過程更加清晰，有利于學(xué)生抓住要旨、教師駕馭課堂［3］. 這里教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系和思維故障點(diǎn)，從教材出發(fā)，依據(jù)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)設(shè)計(jì)單元問題系統(tǒng)，保證問題環(huán)環(huán)緊扣、層層遞進(jìn)、步步深入，確保知識(shí)的整體性與連貫性，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供有力抓手. 以“用向量法解決三角形問題”為例，問題系統(tǒng)設(shè)計(jì)思路如表1、表2所示（分別為單元問題系統(tǒng)設(shè)計(jì)和課時(shí)問題系統(tǒng)設(shè)計(jì)）.

以“四何”問題為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)課時(shí)問題矩陣，可有效規(guī)避所提問題的離散與低效；將問題層次進(jìn)行劃分，可幫助學(xué)生完善用向量法解決三角形問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系；通過師生互動(dòng)與生生互動(dòng)的方式化解認(rèn)知沖突，可使學(xué)生整體把握用向量法解決問題的基本策略.

新課程采用“主線引導(dǎo)主題，指向核心內(nèi)容”結(jié)構(gòu)展現(xiàn)課程實(shí)施內(nèi)容，故問題鏈設(shè)計(jì)的本源在于使學(xué)生在單元知識(shí)領(lǐng)域下把握主題核心內(nèi)容，通過探究活動(dòng)掌握向量這一工具的基本應(yīng)用方式，在經(jīng)歷抽象、概括、遷移等探究過程后，將用向量法解決三角形問題的基本結(jié)構(gòu)模式納入已有的知識(shí)體系中.

2. 單元思維導(dǎo)圖引領(lǐng)與策略總結(jié)

單元教學(xué)設(shè)計(jì)追求：知識(shí)的完備性、邏輯的連貫性、思想的統(tǒng)一性、方法的普適性以及思維的系統(tǒng)性. 本節(jié)課作為初始探究課程，可以通過思維導(dǎo)圖的形式，引導(dǎo)學(xué)生整理探究過程，引發(fā)學(xué)生多角度思考問題. 以本節(jié)課為例，探究過程的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

經(jīng)歷上述探究過程，學(xué)生對(duì)向量和幾何之間的關(guān)系有了較深刻的認(rèn)識(shí)，也體驗(yàn)到了多維度探索幾何問題的方式，提煉了向量法在其他幾何問題中的基本應(yīng)用策略. 例如將平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P轉(zhuǎn)化成空間中的任意一點(diǎn)，引發(fā)對(duì)空間向量基底的探索與思考，甚至引發(fā)對(duì)用向量法解決空間立體幾何問題的探究，等等. 開放式的主題探究也充分體現(xiàn)了單元教學(xué)對(duì)培養(yǎng)系統(tǒng)性思維、連貫性邏輯等的要求，為提升學(xué)生的思維能力奠定了基石.

另外，經(jīng)歷“探究—綜合—整理—提煉”的過程，深入學(xué)習(xí)“用向量法研究三角形重心問題”的內(nèi)容之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角形其他性質(zhì)進(jìn)行探究，即在總結(jié)主要探究路徑的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生更加深層次地思考如何用向量法解決三角形的其他性質(zhì)問題，也就是將“重心”的研究方式進(jìn)行遷移，為課時(shí)2的教學(xué)做好鋪墊，協(xié)助學(xué)生架構(gòu)更完整的思維體系. 本單元教學(xué)范例如圖3所示.

單元主題內(nèi)容一般以單元課程內(nèi)容為基礎(chǔ)，讓學(xué)生把握本單元思想、知識(shí)、方法，再到素養(yǎng)的一次深層次提升，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo). 通過單元主題內(nèi)容的深度研究，讓課堂得到延伸，是培養(yǎng)學(xué)生探究精神和創(chuàng)新意識(shí)的有效路徑. 本節(jié)課的總結(jié)環(huán)節(jié)對(duì)后續(xù)探究方向提出了展望，鼓勵(lì)學(xué)生合情推理、大膽猜想，通過類比與化歸等方式進(jìn)行邏輯推理，體驗(yàn)“再創(chuàng)造”的過程，為單元學(xué)習(xí)拓展提供新契機(jī).

課例實(shí)踐后反思

從學(xué)科的角度來說，單元主題教學(xué)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生有效地進(jìn)行學(xué)科深度學(xué)習(xí)，而深度學(xué)習(xí)是教學(xué)中的學(xué)生學(xué)習(xí)而不是一般的學(xué)習(xí)者的自學(xué)，必有教師的引導(dǎo)和幫助［4］，這就要求教師在教學(xué)過程中改變教學(xué)理念，通過教學(xué)過程中問題的系統(tǒng)設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生積極探尋解決問題的有效策略，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí). 讓學(xué)生在關(guān)注知識(shí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，超越知識(shí)表象學(xué)習(xí)而進(jìn)入深層次的構(gòu)造式學(xué)習(xí)，積累并把握學(xué)科知識(shí)與研究方法，從而提升學(xué)生的基本素養(yǎng)；讓學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的前提下，思維得到充分的訓(xùn)練，智慧得到有效的啟迪，從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與智慧的轉(zhuǎn)化與升華.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 趙光輝. 向量與三角形“談心”［J］. 考試：高考數(shù)學(xué)版，2011（Z3）：93-94.

［3］ 李志敏. “問題化”數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問題設(shè)計(jì)”［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（05）：18.

［4］ 郭華. 深度學(xué)習(xí)及其意義［J］. 課程·教材·教法，2016，32（11）：23-32.