［摘 要］ 文章以“數(shù)列”的概念為例，從APOS理論所提的四個(gè)階段（活動(dòng)階段、過(guò)程階段、對(duì)象階段與圖式階段）入手設(shè)計(jì)概念教學(xué)，并從“注重教學(xué)思想”“細(xì)化教學(xué)理論”“擇取教學(xué)方式”三個(gè)方面談一些思考.

［關(guān)鍵詞］ APOS理論；概念教學(xué)；數(shù)列

APOS理論是杜賓斯基等人在研究概念教學(xué)過(guò)程中提出的一種學(xué)習(xí)理論，該理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，“反省抽象”是促進(jìn)學(xué)生優(yōu)化學(xué)習(xí)方式，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). APOS理論認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷活動(dòng)、過(guò)程、對(duì)象與圖式四個(gè)階段，學(xué)生的思維在這四個(gè)階段中轉(zhuǎn)化與升華. 本文以“數(shù)列”的概念為例，探討如何在教學(xué)中踐行APOS理論.

APOS理論模式

杜賓斯基認(rèn)為個(gè)體在概念學(xué)習(xí)時(shí)需借助“心智結(jié)構(gòu)”賦予概念一定的意義，心智結(jié)構(gòu)的構(gòu)建一般經(jīng)歷如下四個(gè)階段.

1. 活動(dòng)（Action）階段

心智結(jié)構(gòu)的活動(dòng)階段是指?jìng)€(gè)體遵循一定的操作或記憶指令，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象形成初步認(rèn)識(shí)的過(guò)程. 此為學(xué)習(xí)的基本操作活動(dòng)，如將學(xué)生的行為變化外顯與意向變化作為記憶指令，即通過(guò)適當(dāng)?shù)耐獠炕顒?dòng)刺激，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念形成一定的認(rèn)識(shí)與體驗(yàn)，并發(fā)現(xiàn)背景環(huán)境與概念之間存在怎樣的聯(lián)系.

2. 過(guò)程（Process）階段

該階段是指在多次活動(dòng)之后，學(xué)生對(duì)活動(dòng)內(nèi)容進(jìn)行分析與反思，形成思維內(nèi)化與壓縮，這是將外部活動(dòng)內(nèi)化成“過(guò)程”的心理變化. 這里的“過(guò)程”無(wú)需外部刺激，學(xué)生就能在腦海中實(shí)施活動(dòng)，甚至可逆轉(zhuǎn)或組合整個(gè)活動(dòng).

例如橢圓的教學(xué)，教師借助GeoGebra軟件畫(huà)圖，學(xué)生在此基礎(chǔ)上對(duì)橢圓的形成獲得明確的認(rèn)識(shí)，這樣在后續(xù)學(xué)習(xí)中，在沒(méi)有工具輔助的情況下，學(xué)生通過(guò)自己的想象也能在腦海中構(gòu)建出完整的橢圓圖形.

3. 對(duì)象（Object）階段

隨著個(gè)體意識(shí)的進(jìn)一步深入，學(xué)生能從整體層面對(duì)“過(guò)程”進(jìn)行轉(zhuǎn)換與操作，那么“對(duì)象”則會(huì)自然而然地刻畫(huà)在學(xué)生的腦海中，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 需要應(yīng)用該知識(shí)時(shí)，大腦可以將這部分知識(shí)內(nèi)容解壓縮，再現(xiàn)對(duì)象形成過(guò)程，使概念能在學(xué)生腦海中形成一種靜態(tài)的結(jié)構(gòu)關(guān)系——實(shí)體.

4. 圖式（Schema）階段

當(dāng)學(xué)生對(duì)活動(dòng)、過(guò)程與對(duì)象進(jìn)行整合后，形成數(shù)學(xué)概念的綜合圖式，此階段需要投入較多的精力與時(shí)間才能完成. 數(shù)學(xué)概念的綜合圖式，隨著對(duì)知識(shí)認(rèn)識(shí)的逐步深入而完善，即將所學(xué)知識(shí)與其他相關(guān)內(nèi)容結(jié)合構(gòu)建綜合圖式，為建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系奠定基礎(chǔ).

綜上分析，APOS理論實(shí)則為一個(gè)循環(huán)反饋系統(tǒng)，學(xué)生在“活動(dòng)”中壓縮腦海中的“過(guò)程”，并將它轉(zhuǎn)化為“對(duì)象”，必要時(shí)又將“對(duì)象”解壓為“過(guò)程”，學(xué)生的思維經(jīng)歷多次反復(fù)循環(huán)，最終形成綜合“圖式”（如圖1所示）.

基于APOS理論的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

概念教學(xué)切忌灌輸，應(yīng)結(jié)合學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知水平，將概念形成過(guò)程循序漸進(jìn)地呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、辨別、猜想、驗(yàn)證等過(guò)程. 以“數(shù)列”的概念為例，基于APOS理論設(shè)計(jì)如下四個(gè)階段：①辨認(rèn)分化階段；②檢驗(yàn)概括階段；③推廣階段；④形式階段.

1. 活動(dòng)階段——辨認(rèn)分化階段

活動(dòng)1 探索數(shù)列的屬性.

（1）教師借助PPT展示花瓣圖（圖略），圖中顯示各朵花分別有3，5，8，13， 21，…片花瓣.

（2）呈現(xiàn)古印度國(guó)王與棋盤(pán)和麥粒的小故事.

（3）如圖2所示，每幅圖中的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)數(shù)字1，3，6，10，….

如圖3所示，每幅圖中的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)數(shù)字1，4，9，16，….

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)置經(jīng)典情境意在激發(fā)學(xué)生的探究興趣，滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生自主揭開(kāi)“數(shù)列”的面紗，感知數(shù)列源于生活的真諦，為更好地辨認(rèn)數(shù)列奠定基礎(chǔ).

此過(guò)程抽象的是研究對(duì)象在空間形式與數(shù)量關(guān)系方面的共同本質(zhì)屬性，而非物理屬性. 顯然，每一種物品或事物都有各自的特點(diǎn)，又有相似的地方. 每幅圖所表示的數(shù)與圖中的序列號(hào)均有關(guān)系，從中也能發(fā)現(xiàn)同一個(gè)數(shù)字具備不同的屬性特征.

2. 過(guò)程階段——檢驗(yàn)概括階段

活動(dòng)2 抽象數(shù)列的概念.

（1）數(shù)列3，2，1與數(shù)列1，2，3是否為同一數(shù)列？（不是，它們的順序不同.）

（2）說(shuō)說(shuō)數(shù)列與集合在記法上的異同點(diǎn)是什么. （數(shù)列中的數(shù)具有順序性且可以相同，而集合中的各個(gè)元素沒(méi)有順序性且有互異性.）

設(shè)計(jì)意圖 上述兩個(gè)問(wèn)題的提出，意在深化學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解，明晰數(shù)列的有序性與可重復(fù)性，同時(shí)與集合中的元素進(jìn)行辨析，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的認(rèn)識(shí).

隨著以上探究活動(dòng)的實(shí)施，學(xué)生自主獲得了數(shù)列概念的文字與符號(hào)表達(dá)式，其中要引起學(xué)生關(guān)注數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的區(qū)別，以及a與｛a｝的關(guān)系.

3. 對(duì)象階段——推廣階段

活動(dòng)3 甄別函數(shù)解析式與數(shù)列通項(xiàng)公式.

（1）說(shuō)說(shuō)函數(shù)解析式y(tǒng)=f（x）與數(shù)列通項(xiàng)公式a=f（n）的區(qū)別.

我們可將數(shù)列視為定義域是正整數(shù)集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）的函數(shù)a=f（n）. 也就是說(shuō)，自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值，可獲得對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值. 兩者最大的區(qū)別在于定義域上，函數(shù)的定義域可為任意的非空數(shù)集，而數(shù)列的定義域只能是正整數(shù)集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）.

（2）函數(shù)y=2x+1的圖象與通項(xiàng)公式為a=2n+1的數(shù)列的圖象相同嗎？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生通過(guò)兩者對(duì)比，自主發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式與數(shù)列通項(xiàng)公式的異同點(diǎn)，充分感知數(shù)列屬于一種特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上.

4. 圖式階段——形式階段

活動(dòng)4 判斷數(shù)列的單調(diào)性.

（1）通過(guò)以上探索，我們都知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，那么能否利用函數(shù)求最值的方法來(lái)獲得數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)呢？

（2）怎樣確定數(shù)列｛a｝的單調(diào)性？

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題（1）的提出意在引導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)的性質(zhì)獲得數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，值得注意的是這兩者之間有一定的差異，即數(shù)列｛a｝中的n∈N*. 問(wèn)題（2）意在引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)列的單調(diào)性出發(fā)，來(lái)比較a與a的大小，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具有重要意義.

幾點(diǎn)思考

1. 注重教學(xué)思想

知識(shí)的形成需要經(jīng)歷循序漸進(jìn)的過(guò)程，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念并非獨(dú)立的個(gè)體，課堂上有限的時(shí)間并不能完全闡述清楚各個(gè)概念的內(nèi)涵與外延. 因此，教師應(yīng)更新教學(xué)思想，從“大概念”的角度出發(fā)，將概念置于相應(yīng)的單元或?qū)W科體系中進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生從宏觀的角度認(rèn)識(shí)它的本質(zhì)，這對(duì)完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)具有重要意義.

2. 細(xì)化教學(xué)理論

APOS理論的應(yīng)用為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了方法指導(dǎo)與理論支撐. 教師應(yīng)用APOS理論時(shí)，可結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平適當(dāng)?shù)馗倪M(jìn)與細(xì)化教學(xué)流程，從真正意義上做到因材施教. 如活動(dòng)階段，教師就可以結(jié)合學(xué)情創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的了解，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的能力.

3. 擇取教學(xué)方式

在概念教學(xué)時(shí)，教師可根據(jù)概念特征基于APOS理論擇取合適的方式. 若學(xué)生對(duì)概念已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí)，可以“同化”為方向?qū)嵤┙虒W(xué)；若學(xué)生對(duì)概念毫無(wú)基礎(chǔ)，可擇取概念形成的方式實(shí)施教學(xué). 不論哪種教學(xué)方式的應(yīng)用，其目的都是讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)概念解決實(shí)際問(wèn)題，這是實(shí)施教學(xué)的宗旨，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本保障.

總之，時(shí)代的發(fā)展孕育著大量新的研究理論. APOS理論之所以能在眾多教育理論中脫穎而出，是因?yàn)樗粌H為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了指導(dǎo)，更重要的是為圖式水平的劃分提供了參考. 因此，APOS理論是一種關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展走向的教育教學(xué)理論，是值得探討與研究的理論.