［摘 要］ 跨章節(jié)一題多解，相較于章節(jié)內(nèi)的一題多解，在提升解題能力的同時(shí)，借助思維導(dǎo)圖又能更好地實(shí)現(xiàn)知識(shí)互聯(lián)，以及在一定程度上實(shí)現(xiàn)各章節(jié)知識(shí)融合，從而建立立體化的知識(shí)體系.

［關(guān)鍵詞］ 一題多解；章節(jié)融合；思維導(dǎo)圖；知識(shí)互聯(lián)；知識(shí)立體化

跨章節(jié)一題多解問(wèn)題的提出

一題多解，顧名思義是指一個(gè)問(wèn)題可以有多種思路和方法來(lái)解決. 一題多解的意義在于：培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維；提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力；滿足不同學(xué)生的需求；幫助教師更好地了解學(xué)生的思考方式和學(xué)習(xí)情況，從而更好地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

但是在日常教學(xué)過(guò)程中，我們所接觸的一題多解大多是在同一章節(jié)知識(shí)體系內(nèi)展開的不同思路或運(yùn)算細(xì)節(jié)的處理，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，各個(gè)章節(jié)各個(gè)方法相對(duì)孤立，缺乏比較和連接，于是不容易建立良好的數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)，也就不容易培養(yǎng)數(shù)學(xué)理解能力. 相較之下，如果能夠提升跨章節(jié)一題多解的能力，利用不同章節(jié)里的知識(shí)從不同角度解決同一個(gè)問(wèn)題，那么這將有利于學(xué)生綜合能力的提高，從而促進(jìn)學(xué)生再認(rèn)識(shí)已有知識(shí)和方法，改進(jìn)和優(yōu)化思維過(guò)程，使得方法理解向深度和廣度拓展，實(shí)現(xiàn)知識(shí)立體化，獲得更深刻、更有廣度的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，最終有效提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1. 跨章節(jié)一題多解的難點(diǎn)

跨章節(jié)一題多解的難點(diǎn)如下：

第一，知識(shí)面覆蓋廣. 跨章節(jié)一題多解通常需要運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這要求學(xué)生掌握廣泛的知識(shí)，而不僅僅是某一章節(jié)的知識(shí).

第二，抽象度較高. 一些跨章節(jié)一題多解的問(wèn)題可能涉及抽象度較高的概念或原理，需要學(xué)生有一定的抽象思維能力.

第三，思維更發(fā)散. 這需要學(xué)生具有創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維，能夠從不同角度出發(fā)尋找解決方法.

第四，綜合應(yīng)用難度高. 跨章節(jié)一題多解的問(wèn)題通常需要學(xué)生綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)和技能來(lái)解決，這要求學(xué)生具有良好的綜合應(yīng)用能力和分析問(wèn)題的能力.

第五，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的獨(dú)立思考和探索能力，這對(duì)于一些學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難.

因此，要讓學(xué)生真正掌握跨章節(jié)一題多解的能力，需要在教學(xué)中注重知識(shí)面的廣度、抽象思維能力的培養(yǎng)、發(fā)散思維和綜合應(yīng)用能力的訓(xùn)練，并且善于鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、探索和創(chuàng)造.

2. 思維導(dǎo)圖對(duì)跨章節(jié)一題多解的幫助

思維導(dǎo)圖是提高跨章節(jié)一題多解能力的有效工具之一，具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

（1）思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)，將知識(shí)點(diǎn)按照邏輯關(guān)系進(jìn)行組織，使得學(xué)生能夠清晰了解知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系. 這有助于學(xué)生對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，并提高學(xué)生跨章節(jié)一題多解的能力.

（2）思維導(dǎo)圖通過(guò)分支和節(jié)點(diǎn)的形式，展示問(wèn)題的多個(gè)方面和不同的求解思路，可以促進(jìn)學(xué)生發(fā)散性思維的發(fā)展. 學(xué)生可以通過(guò)思維導(dǎo)圖自由發(fā)揮思維能力，提出多種可能的解決方案和思路，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.

（3）思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力. 學(xué)生可以將不同的知識(shí)點(diǎn)在思維導(dǎo)圖上進(jìn)行組合和搭配，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

（4）思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生回顧、總結(jié)和反思學(xué)習(xí)過(guò)程，自我檢查和評(píng)估所掌握的知識(shí)和技能，發(fā)現(xiàn)自己的不足之處，并不斷補(bǔ)充和改進(jìn).

案例探究

下面以一個(gè)例題為出發(fā)點(diǎn)，充分挖掘題設(shè)條件中所能提供的信息，借助思維導(dǎo)圖，嘗試建立每一種可能的解題思路與相應(yīng)章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系，舉行一場(chǎng)思維盛宴. 例題如下：“如圖1所示，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2DC，∠BAC=90°，AD=1，則線段CD長(zhǎng)度的范圍是______.”

1. 解題指導(dǎo)

羅增儒教授的《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中有這樣一個(gè)解題坐標(biāo)系［1］：如圖2所示，條件中能想到的信息組成一個(gè)“同心圓”，目標(biāo)結(jié)論所需要的條件信息組成另一個(gè)“同心圓”，尋找解題思路的過(guò)程就是通過(guò)分析思考擴(kuò)大兩個(gè)圓的范圍直至找到“交點(diǎn)”，最終的路徑可以是很多個(gè)，這就形成了一題多解. 一方面，每一種方法都可以再進(jìn)一步思考是否可以優(yōu)化；另一方面，不同方法之間并不一定有“優(yōu)劣”之分，只是用到了不同分支甚至是不同章節(jié)的知識(shí). 我們要珍惜這種思維碰撞，這對(duì)促進(jìn)知識(shí)融合和提高綜合解題能力有極大的幫助.

2. 嘗試發(fā)散思維

我們?cè)囍运季S導(dǎo)圖的形式分析本題條件所關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，請(qǐng)看圖3和圖4.

通過(guò)思維發(fā)散，圖3和圖4充分列舉了題目條件所關(guān)聯(lián)的在整個(gè)高中數(shù)學(xué)章節(jié)范圍內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)，以及到達(dá)目標(biāo)有可能通過(guò)的路徑，其中包含解析幾何、向量、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等章節(jié)的知識(shí)點(diǎn). 這樣一來(lái)，圖2所示的兩個(gè)“同心圓”就準(zhǔn)備到位了，接下來(lái)要做的就是尋找兩個(gè)同心圓的“交點(diǎn)”，即充分挖掘圖3和圖4所述的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系——捕捉有用的信息，通過(guò)觀察和分析發(fā)現(xiàn)隱蔽關(guān)系，建立條件和結(jié)論之間的有機(jī)聯(lián)系，進(jìn)而從不同角度尋找解決問(wèn)題的方法，形成不同的解題路徑.

3. 整合思路，形成解題過(guò)程

方法1（J-e） 極限作圖，觀察CD長(zhǎng)度的上界和下界.

如圖5、圖6所示，以A為起點(diǎn)作兩條夾角為90°的射線. 因?yàn)锳D=1，所以D在以A為圓心，1為半徑的圓上，且D在兩條射線之間的劣弧上運(yùn)動(dòng). 當(dāng)D確定時(shí)，B和C也隨之確定. 當(dāng)D靠左時(shí)，CD的最大值接近1；當(dāng)D靠右時(shí)，CD的最小值接近. 當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)在于直觀，缺點(diǎn)“形難入微”也比較明顯，在使用過(guò)程中有觀察出錯(cuò)的可能. 盡管如此，數(shù)形結(jié)合仍然是我們快速解題的一個(gè)重要工具.

方法2（D-g） 利用直角三角形中三角函數(shù)的定義建立CD與θ的函數(shù)關(guān)系式.

如圖7所示，設(shè)∠EAD=θ，θ∈

0，

，則AF=sinθ，AE=cosθ，AC=sinθ，AB=3cosθ，CD=BC=·=.因?yàn)?lt;+cos2θ<9，所以<CD<1. 需要強(qiáng)調(diào)的是，在建立函數(shù)關(guān)系式的時(shí)候，一定要控制好自變量的范圍.

方法3（C-cg） 建立平面直角坐標(biāo)系，用兩點(diǎn)間的距離公式表示CD.

如圖8所示，以A為原點(diǎn)，AB，AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，記B（a，0），C（0，b），則D

，

. 因?yàn)锳D=1，所以+=1，即a2+4b2=9，所以CD==. 由a2>0，

b2>0得0<b2<，所以<CD<1. 需要強(qiáng)調(diào)的是，在代入消元時(shí)，被消的元的取值范圍要傳遞給新元.

方法4（A-f） 利用余弦定理建立CD與某直觀變量之間的等量關(guān)系.

如圖9所示，設(shè)CD=x，則cosC=，cosC=. 根據(jù)數(shù)學(xué)中“算兩次”的思想，可得=，整理得3-3x2=AC2. 又0<AC<3x，所以0<3-3x2<9x2，解得<x<1. 需要強(qiáng)調(diào)的是，利用等式存在性求其中一個(gè)變量的取值范圍時(shí)，要控制好其他變量的取值范圍.

方法5（G-g） 以，為基底表示，從而求模長(zhǎng)范圍.

如圖10所示，記=a，=b，因?yàn)锽D=2DC，所以=a+b. 因?yàn)?/p>

=1，所以a2+4b2=9，所以

=（b-a）==. 下同方法3.

方法6（F-f） 借助·=0，建立與已知長(zhǎng)度的的等量關(guān)系.

如圖11所示，記=a，=b，a，b的夾角為θ，CD=

b

=t. 因?yàn)椤?0，所以（a-2b）（a+b）=0，化簡(jiǎn)得1-tcosθ-2t2=0，即cosθ=. 注意到θ∈（0，π），則cosθ∈（-1，1），所以-1<<1，解得<t<1.

方法6與方法4類似，利用等式存在性求某個(gè)變量的取值范圍，需要一定的知識(shí)儲(chǔ)備，這里匯集了解不等式、求值域和函數(shù)零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn). 學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中要注重知識(shí)的積累和總結(jié)，以及對(duì)方法的優(yōu)化和反思. 相關(guān)拓展可參考文［2］.

方法7（B-a） 構(gòu)造三角形，利用兩邊之和大于第三邊的基本關(guān)系列不等式.

如圖12所示，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，設(shè)DE=x，則AE==3x. 又AD=1，在三角形ADE中，有x+1>3x，

x+3x>1，

3x+1>x，解得<x<，CD=2x，所以<CD<1.

方法8（EI-h） 點(diǎn)A同時(shí)位于兩個(gè)隱藏的圓上，利用兩圓相交的充要條件列不等式.

如圖13所示，一方面，點(diǎn)A在以D為圓心，1為半徑的圓上；另一方面，點(diǎn)A在以BC為直徑的圓上. 借助兩圓相交的充要條件可得

1-CD<CD<1+CD，解得<CD<1.

方法9（E-d） 挖掘出一個(gè)深度隱藏的圓，在該圓內(nèi)觀察CD長(zhǎng)度的范圍.

如圖14所示，過(guò)C作AC的垂線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，取AE的中點(diǎn)O，則∠ACE=90°. 根據(jù)三角形相似可知==，所以DE=. 所以，點(diǎn)C在以AE為直徑的圓O上，從而DE<CD<AD，即<CD<1.

在方法8和方法9中，都用到了“隱藏圓”，這需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中多思考、多發(fā)現(xiàn)、多總結(jié)、多概括，這些都是思維的基礎(chǔ)，豐富的知識(shí)模塊會(huì)帶來(lái)正向的思維定式，思維的敏捷性和發(fā)散性都能得到極大的提高. 與“隱藏圓”相關(guān)的拓展可參考文［3］.

結(jié)語(yǔ)

要培養(yǎng)學(xué)生跨章節(jié)一題多解的能力，就要注重培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、綜合應(yīng)用能力和自主學(xué)習(xí)能力等. 通過(guò)提供多種不同類型的問(wèn)題、組織跨學(xué)科知識(shí)梳理、增加可供聯(lián)想的解題過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題本質(zhì)，從而幫助學(xué)生掌握跨章節(jié)一題多解的能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和解題能力.

跨章節(jié)一題多解可以幫助實(shí)現(xiàn)整個(gè)學(xué)科知識(shí)的互聯(lián)，再進(jìn)一步，就是跨學(xué)科知識(shí)融合，教師可以嘗試將不同章節(jié)甚至不同學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)組織起來(lái)，設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題，從而建立立體化的知識(shí)體系.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 羅增儒. 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］. 西安：陜西師范大學(xué)出版社，2016.

［2］ 李忠良. 從一類含參等式存在性問(wèn)題看“范圍的傳遞”［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（04）：39-40 .

［3］ 李忠良. 尋找一些隱藏著的圓［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（28）：36-38.