陳曉茵

【摘?? 要】“正方形拼擺問題”是探討“周長與面積”關系的基礎。以“正方形拼擺問題”為研究對象，設計相關測評工具，在此基礎上制訂相應的評估量表，劃分學生數(shù)學建模力的水平層次，并通過實證分析，提出了“經歷情境數(shù)學化”“感悟建模一般化”的相關教學改進對策。

【關鍵詞】數(shù)學建模力；正方形拼擺問題；周長與面積

作為探討“周長與面積”關系的基礎，“正方形拼擺問題”被安排在人教版教材三年級上冊“長方形和正方形”單元中。教材以純數(shù)學問題為載體，引導學生嘗試用16個小正方形進行拼組，結合計算、對比和說理等活動，得出“4×4”拼出的圖形周長最短，并初步歸納出“所拼圖形最接近正方形（長與寬最接近）時周長最短”的模型。這一學習過程為學生后續(xù)學習周長與面積的意義聯(lián)結、關系聯(lián)結奠定了基礎。在學生掌握面積概念、學習圓之后，再引導學生探討“如何拼組周長最短”的模型，進而轉向“面積與周長關系”的相關模型，如“等面積圖形，形狀越接近正方形，周長越短”“等周長圍成的正多邊形，邊數(shù)越多，面積越大”等，甚至可以拓展到“面積與體積關系”的模型。

可見，“正方形拼擺問題”是后續(xù)模型學習的基礎，對于模型的建立、理解和應用具有重要意義，具體可以體現(xiàn)為數(shù)學建模力的表現(xiàn)。那么，三年級學生在解決此類問題時，表現(xiàn)出的建模力水平究竟如何呢？筆者以“正方形拼擺問題”為研究背景，進行了相應的測評分析與教學思考。

一、測評工具設計

本研究從“識別、簡化、求解、應用”四個維度出發(fā)來設計“正方形拼擺問題”的測評工具，以實現(xiàn)對學生數(shù)學建模力的準確測評。

（一）問題情境

從下列繪畫作品中選出12幅，制作成一個“繪畫園地”，并在其四周貼上花邊。怎樣設計“繪畫園地”，才能使貼的花邊最短？

（1）你獲取了哪些數(shù)學信息？需要解決什么數(shù)學問題？

（2）你打算怎樣選擇作品？如何設計？（畫一畫、算一算、寫一寫）

（3）如果12幅作品都換成圓形作品，你又會怎樣設計？（畫一畫、寫一寫）

（4）木材加工廠接到一批訂單，要訂制一種由5張相片（尺寸：10厘米×15厘米）組合的木制相框，設計師給出了兩個設計方案（如圖1）。如果你是木材加工廠的老板，你會選擇哪個設計方案？（想一想、寫一寫）

圖1

（二）模型分析

要解決“用12幅作品設計‘繪畫園地，并在其四周貼上花邊，如何設計才能使貼的花邊最短”這一實際問題，學生需識別與關聯(lián)“作品形狀”和“作品組合”兩個關鍵要素，將實際問題簡化為“如何拼組周長最短”的數(shù)學問題。在解決問題的過程中，學生會經歷以下數(shù)學模型的構建過程。

模型1：僅能將12幅正方形作品拼成1×12或2×6的非周長最短的組合，只意識到圖形組合后周長會縮短，但并不清楚“如何拼組周長最短”。

模型2：能將12幅正方形作品拼成包含周長最短情況在內的多種組合，并通過計算比較，得出3×4的組合周長最短。

模型3：能將12幅正方形作品直接拼成3×4的組合，或包含3×4在內的多種組合，并基于經驗直接得出3×4的組合周長最短，具有初步的“所拼圖形最接近正方形時周長最短”的模型意識。

模型4：能將12幅長方形作品拼成周長最短（2×6）的組合，并根據“12個正方形組合為3×4時周長最短”的結論，從圖形替換的角度對“12個長方形如何拼組周長最短”進行解釋說明，如用2個長方形縱向拼擺代替2個正方形橫向拼擺等。

模型5：能將12幅長方形作品拼成周長最短（2×6）的組合，并能應用“所拼圖形最接近正方形時周長最短”進行解釋，具備初步的模型遷移應用意識。

模型6：能將模型遷移應用到圓形拼組的情境中，如將12幅圓形作品鋪成周長最短（3×4）的組合，并能應用“所拼圖形最接近正方形時周長最短”進行解釋；同時，能將模型遷移應用到復雜情境中，如將包含長方形和正方形的12幅作品混合在一起，拼出周長最短的組合，并發(fā)現(xiàn)只要拼組后長是8分米、寬是6分米，即為周長最短的情況。

從模型1至模型6，代表在解決“正方形拼擺問題”的過程中，學生數(shù)學建模力層次從低到高逐漸上升。

二、評估量表及分析

（一）量表制訂及總體數(shù)據統(tǒng)計

基于以上分析，本研究制訂了相應的評估量表，從杭州市富陽區(qū)的三所小學中各選取一個三年級班級的學生，對他們進行建模力測評。本次測評共有119名學生參與，具體測評結果如表1所示。

綜合分析可知，大部分學生具備一定的將實際問題識別和簡化為數(shù)學問題的能力，并能應用所學知識進行求解，但在更高階的“解釋應用”層次中表現(xiàn)不佳。

（二）水平層次分析

為了使對建模力的評估更為精準，本研究對各水平層次進行了細化，并通過賦分對學生的建模力進行量化，具體分析如下。

1.識別能力整體水平較高，花邊問題簡化基礎好

從統(tǒng)計數(shù)據可知，119名參加測評的學生在“識別理解”層次中的整體表現(xiàn)較好，賦分均值達到了2.29分。其中，能準確識別“作品形狀”和“作品組合”兩個關鍵要素，并基于此提出有關“周長最短”問題的學生占總人數(shù)的83.19%。這說明在面對周長問題這一現(xiàn)實情境時，絕大部分學生具備一定的識別能力。

2.同類問題簡化水平較高，相近問題表征聯(lián)結弱

“表征聯(lián)結”層次的均值為1.46分，其中近54%的學生能基于“正方形”對問題進行簡化，僅有30.25%的學生能基于不同形狀簡化問題情境。大部分學生難以提出不同形狀組合“如何拼組周長最短”的數(shù)學問題。數(shù)據分析表明，學生對同類問題的簡化水平較高，但對相近問題的表征聯(lián)結較弱，高水平簡化能力明顯不足，這也將限制學生水平層級的提升。

3.求解能力峰值層級后移，最短周長模型類比難

“解答反思”層次的整體水平明顯下降，均值降至1.12分。該數(shù)據再次凸顯上一個水平層次所反映出的問題：高水平能力不足。結合統(tǒng)計數(shù)據可以發(fā)現(xiàn)，更多的學生只能基于教材中的“正方形拼組”進行求解，能將求解方法類比遷移到新形狀的僅占總人數(shù)的10.08%。這說明學生較難將周長最短模型進行類比遷移，也很難為后續(xù)的高階遷移應用提供動力。

4.應用能力高階遷移無力，模型本質結構認識淺

“解釋應用”層次的整體水平較低，均值僅為0.70分。其中，學生占比最高（30.25%）的能力水平，也只能實現(xiàn)對其他單一圖形同類情境的簡單遷移。當面臨更高水平的遷移應用時，學生無法把握模型中“拼成形狀”與“周長長短”之間的基本關系，難以在其他同類情境中進行正確的遷移應用。這表明學生對模型結構的本質理解不夠深入，無法支持更高水平的遷移應用。此外，在應用模型解決現(xiàn)實問題“選擇相框設計方案”時，大部分學生無法將“周長最短”與“木材最省”“成本最低”建立關聯(lián)，說明學生的應用意識還有待提高。

三、教學啟示

“正方形拼擺問題”建模力測評結果表明，學生對相關模型的識別能力、簡化能力較強，但較高水平的遷移應用能力明顯較弱，這為后續(xù)將該模型遷移應用到“圖形周長與面積關系”的模型埋下了隱患。那么，如何提高數(shù)學建模力呢？主要可以從以下兩方面入手。

（一）強調理解，經歷情境數(shù)學化

在解決“正方形拼擺問題”的過程中，模型的構建最初是通過發(fā)現(xiàn)“邊的重合”與“周長”的關系得到的。要讓學生的認知從“一般拼組”進階到“盡量拼組成正方形”，教學時就可以引導學生經歷計算對比、說理反思和歸納總結的過程（如圖2），從而關注模型的本質。

此外，人教版教材采用純數(shù)學問題作為教學引入，而數(shù)學建模則更側重從現(xiàn)實世界中識別數(shù)學要素和問題，通過解答進行說理，最終實現(xiàn)解釋應用的過程。因此，在實際教學過程中，應關注從“現(xiàn)實情境”到“數(shù)學情境”的數(shù)學化過程。測評分析中所使用的“如何設計花邊最短”情境便是適宜的載體。這一情境源于教材的課后練習，教學過程中可以將該情境簡化為“如何拼組周長最短”，進而得出“所拼圖形越接近正方形，周長越短”。然后回歸現(xiàn)實情境，討論“為什么要研究花邊最短的問題”，引導學生意識到“花邊長短（即周長長短）”與“材料用量”“成本花銷”等之間的關聯(lián)。最后，引導學生進行遷移應用，如“你覺得正方形拼組問題還能用來解決哪些問題？找找身邊的例子”等。

像這樣放大并引導學生經歷完整的數(shù)學化過程，有助于學生在現(xiàn)實情境中感悟“周長”與“面積”的區(qū)別，同時讓學生完整地經歷“為什么學”和“學以致用”的過程，為提升學生建模力奠定基礎。

（二）多維呈現(xiàn)，感悟建模一般化

測評結果顯示，學生在面對與教材教學背景相似的題目時，大多能較好地完成初步模型的構建，但在處理其他同類情境的遷移應用時，則有較大困難。這可能是教學過程中所采用的素材呈現(xiàn)方式過于單一造成的。選用的組合圖形無論是形狀還是數(shù)量，基本都是固定的，這導致學生僅停留在“機械套用結論”的層面，無法實現(xiàn)“遷移應用模型”的目標。因此，在教學時要注重多維表征的呈現(xiàn)。

例如，在學生通過正方形拼組得到初步結論后，教師需進一步提問：“如果將正方形變成長方形，這個結論還成立嗎？”引導學生提出猜想，然后運用多種方式進行驗證、嘗試說理，最終完善建模過程（可參考模型4至模型6的進階過程）。這是一個“先立再破而后立”的循環(huán)過程。唯有如此，解決問題的一般化模型才算真正構建起來，而在此之前所得到的僅屬于階段性數(shù)學結論。此外，練習中也應呈現(xiàn)多維度的其他同類情境，為學生提供充足的機會以感悟一般化模型的應用。

具備較高數(shù)學建模水平的學生能夠有效地搭建“數(shù)學世界”與“現(xiàn)實世界”的雙向通道，構建兩者之間的可逆關聯(lián)。加強小學數(shù)學建模力的培養(yǎng)，有助于在課堂教學中真正落實“三會”核心素養(yǎng)。那么，在實際教學中，哪些“純數(shù)學問題”更適合轉化為“數(shù)學建模問題”？何種情境更有助于學生感悟“數(shù)學模型的普適性”？這些問題仍需一線教師在實踐中持續(xù)探索與思考。

參考文獻：

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（浙江省杭州市富陽區(qū)銀湖街道受降小學）