摘 要： 為了提升星地鏈路通信系統(tǒng)頻譜效率，針對毫米波（ｍｉｌｌｉｍｅｔｅｒ Ｗａｖｅ，ｍｍＷａｖｅ） 大規(guī)模多輸入多輸出（Ｍａｓｓｉｖｅ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｉｎｐｕｔ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｕｔｐｕｔ，Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ） 系統(tǒng)，在正交匹配追蹤（Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ Ｍａｔｃｈｉｎｇ Ｐｕｒｓｕｉｔ，ＯＭＰ） 算法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進的ＯＭＰ （Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ） 混合預(yù)編碼算法。針對星地鏈路間通信的特定場景，引入了基于擴展的Ｓａｌｅｈ-Ｖａｌｅｎｚｕｅｌａ （Ｓ-Ｖ） 信道模型；針對ＯＭＰ 算法中求解模擬預(yù)編碼矩陣時存在迭代次數(shù)過多的問題，在結(jié)合多步長思想的基礎(chǔ)上，從天線陣列響應(yīng)集合中選取與射頻鏈路（Ｒａｄｉｏ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｃｈａｉｎｓ，ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ） 相等的前多列作為模擬預(yù)編碼矩陣；為了克服ＯＭＰ 算法中的偽逆運算復(fù)雜度較高的問題，結(jié)合矩陣分解和Ｈ-ｌｄｅｒ 不等式簡化了數(shù)字預(yù)編碼的求解。仿真結(jié)果表明，在理想的信道狀態(tài)信道條件下，當ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 的數(shù)量和數(shù)據(jù)流的數(shù)量之間的差距較小時，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法可以獲得更優(yōu)的性能。Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 方案有效地降低了計算復(fù)雜度。

關(guān)鍵詞：星地鏈路；大規(guī)模多輸入多輸出；毫米波；混合預(yù)編碼；ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 算法

中圖分類號：ＴＮ９２９． ５ 文獻標志碼：Ａ 開放科學（資源服務(wù)）標識碼（ＯＳＩＤ）：

文章編號：１００３－３１０６（２０２４）０５－１０６３－１１

０ 引言

衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)具有覆蓋面廣、基礎(chǔ)設(shè)施獨立和抗破壞能力強等突出優(yōu)勢，與地面網(wǎng)絡(luò)具有極強的互補關(guān)系，近年來受到學術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注［１］。衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)能夠為偏遠地區(qū)和非陸地地區(qū)等區(qū)域提供冗余覆蓋［２］，實現(xiàn)全球無縫通信覆蓋。衛(wèi)星覆蓋范圍大，但單星容量受限，單位面積能夠提供的通信容收稿量較低。因此，如何提升頻譜效率、實現(xiàn)更大的通信容量是當前衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)的熱點研究問題。

提高系統(tǒng)容量的一種方法是通過物理層技術(shù)提高頻譜效率，如以大規(guī)模多輸入多輸出（ＭａｓｓｉｖｅＭｕｌｔｉｐｌｅ Ｉｎｐｕｔ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｕｔｐｕｔ，Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ）［３］為代表的空分復(fù)用技術(shù)［４］。預(yù)編碼作為一種基于Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 天線陣列的信號預(yù)處理技術(shù)，通過調(diào)整天線陣列中陣元的加權(quán)系數(shù)，可以產(chǎn)生具有指向性的波束，能夠補償無線信號的衰落和失真，有效地提升通信系統(tǒng)的質(zhì)量，對于提高信道增益和保障通信質(zhì)量具有十分重要的意義，已經(jīng)在地面移動通信系統(tǒng)中得到廣泛的研究和應(yīng)用［５］。

文獻［５］提出了混合預(yù)編碼架構(gòu)，只需要較少的射頻鏈路（Ｒａｄｉｏ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｃｈａｉｎｓ，ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ）和移相器，就能夠有效降低系統(tǒng)功耗和硬件成本，并能達到接近全數(shù)字預(yù)編碼的性能［６－７］。此外，根據(jù)ＲＦＣｈａｉｎｓ 到天線的映射方式不同，混合預(yù)編碼架構(gòu)可分為全連接和部分連接結(jié)構(gòu)。全連接結(jié)構(gòu)的每條ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 連接到所有天線，能夠享有每條ＲＦＣｈａｉｎｓ 的全部波束賦形增益，具有較好的系統(tǒng)性能，但復(fù)雜度較高；部分連接結(jié)構(gòu)中每一根ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ僅與部分天線相連接，以犧牲一部分系統(tǒng)性能來換取較低的復(fù)雜度，但系統(tǒng)性能相對較差。

針對地面網(wǎng)絡(luò)場景的混合預(yù)編碼，國內(nèi)外學者已經(jīng)進行了廣泛研究。文獻［８］在充分考慮毫米波（ｍｉｌｌｉｍｅｔｅｒ Ｗａｖｅ，ｍｍＷａｖｅ）通信的稀疏散射特性和大規(guī)模天線陣列相關(guān)性的基礎(chǔ)上，將頻譜效率優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個含有約束的稀疏矩陣重構(gòu)問題，提出了基于正交匹配追蹤（Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ＭａｔｃｈｉｎｇＰｕｒｓｕｉｔ，ＯＭＰ）的混合預(yù)編碼算法，有較好的系統(tǒng)性能的ＯＭＰ 算法采用發(fā)射天線的陣列響應(yīng)矢量作為模擬預(yù)編碼矩陣的候選矢量集，在迭代過程中存在大量偽逆運算，計算復(fù)雜度較高。為此，文獻［９］提出了一種低復(fù)雜度混合預(yù)編碼方案，通過對ＯＭＰ 的碼本集合進行奇異值分解（Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｖａｌｕｅ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ），并選擇分解后的右奇異矩陣較大特征值的特征向量作為碼本，在此基礎(chǔ)上獲得更多相關(guān)向量來擴大碼本，從中獲取模擬預(yù)編碼矩陣的相位信息，避免了迭代搜索。文獻［１０］借助ＯＭＰ 算法直接求出模擬預(yù)編碼矩陣，然后通過均值迭代計算數(shù)字預(yù)編碼矩陣，而不需要進行ＳＶＤ 運算，在提升了系統(tǒng)頻譜效率的同時降低了復(fù)雜度。文獻［１１］針對ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量和數(shù)據(jù)流數(shù)量之間的關(guān)系進行了研究，當ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量大于２ 倍的數(shù)據(jù)流時，證明了在單用戶和多用戶Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)中，基于全連接架構(gòu)的混合預(yù)編碼理論上能夠達到理想全數(shù)字預(yù)編碼系統(tǒng)的性能。與文獻［８ －９］不同，喻翔浩等［１２］提出了一種基于相位提取的交替最小化（Ｐｈａｓｅ Ｅｘｔｒａｃｔｅｄ Ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ Ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ）混合預(yù)編碼算法。該算法在每次迭代中交替優(yōu)化數(shù)字和模擬預(yù)編碼器直到收斂，通過對數(shù)字預(yù)編碼矩陣增加一個正交約束來降低算法復(fù)雜度，在ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量與數(shù)據(jù)流數(shù)相同時，系統(tǒng)達到最優(yōu)性能，但仍然具有一定的局限性。

鑒于混合預(yù)編碼技術(shù)在地面移動網(wǎng)絡(luò)中的成功應(yīng)用［８－１２］，如何拓展到衛(wèi)星通信網(wǎng)絡(luò)中，對于衛(wèi)星－地面融合網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)具有重要意義［１３］。文獻［１４］針對衛(wèi)星通信場景，研究了Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 傳輸?shù)目尚行?，就全連接和部分連接結(jié)構(gòu)分別提出了用于衛(wèi)星機載處理的混合預(yù)編碼方案。文獻［１５］針對相控陣天線在衛(wèi)星通信場景中的發(fā)展趨勢進行了展望。在此基礎(chǔ)上，文獻［１６］提出了一種適用于低軌（Ｌｏｗ Ｅａｒｔｈ Ｏｒｂｉｔ，ＬＥＯ）衛(wèi)星通信系統(tǒng)的混合預(yù)編碼架構(gòu)。文獻［１７］針對ＬＥＯ 衛(wèi)星通信場景，提出了基于能效最大化的混合預(yù)編碼方案，實現(xiàn)了下行Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ ＬＥＯ 衛(wèi)星高效傳輸，但沒有考慮系統(tǒng)頻譜效率的優(yōu)化問題。文獻［１８］針對５Ｇ 衛(wèi)星集成網(wǎng)絡(luò)（Ｓａｔｅｌｌｉｔｅ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｎｅｔｗｏｒｋ，ＳＩＮ）場景，研究了ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)中的混合預(yù)編碼問題，以較少的迭代次數(shù)提高整體頻譜效率，實現(xiàn)了性能和復(fù)雜性之間的平衡，但系統(tǒng)性能仍有待提升。此外，文獻［１９］探討了衛(wèi)星系統(tǒng)預(yù)編碼的發(fā)展概況，就不同場景下預(yù)編碼理論的發(fā)展提供了新的見解。

為避免衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)與地面網(wǎng)絡(luò)之間的同頻干擾，衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)需要采用頻率更高的ｍｍＷａｖｅ 頻段實現(xiàn)星地鏈路間的通信［２０］。由于星地鏈路與地面移動通信網(wǎng)絡(luò)的通信頻段和信道條件不同，地面網(wǎng)絡(luò)中基于Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 的傳統(tǒng)預(yù)編碼技術(shù)無法直接應(yīng)用于星地鏈路通信場景［１８］。本文針對星地鏈路ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)的單用戶場景，提出了一種改進的ＯＭＰ （Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ ）混合預(yù)編碼算法，在有效降低復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，當數(shù)據(jù)流為１、２ 和４時，系統(tǒng)性能分別提升了１． ６６％ 、３． ５５％ 和１２． ８％ 。

１ 系統(tǒng)模型

１． １ 混合預(yù)編碼系統(tǒng)模型

考慮星地鏈路ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)的下行鏈路場景，即衛(wèi)星發(fā)送信號至地面用戶的場景，假設(shè)衛(wèi)星側(cè)配備Ｎｔ 根發(fā)射天線和ＮＲＦｔ 根ＲＦＣｈａｉｎｓ，發(fā)送Ｎｓ 路數(shù)據(jù)流到地面用戶，接收端配備Ｎｒ 根發(fā)射天線和ＮＲＦｒ 根ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ。與傳統(tǒng)的ＭＩＭＯ 系統(tǒng)不同，ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)中ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 的數(shù)目應(yīng)小于天線數(shù)目，即Ｎｓ ≤ ＮＲＦｔ ≤Ｎｔ。連接結(jié)構(gòu)ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)如圖１所示。

在通信過程中，從衛(wèi)星側(cè)發(fā)送Ｎｓ 條數(shù)據(jù)流，依次經(jīng)過數(shù)字預(yù)編碼器ＦＢＢ 和模擬預(yù)編碼器ＦＲＦ 后，調(diào)相到天線發(fā)射單元，經(jīng)過處理后的發(fā)射信號ｘ 可以表示為：

ｘ ＝ ＦＲＦ ＦＢＢ ｓ， （１）

式中：ｓ 為Ｎｓ ×１ 維的數(shù)據(jù)流。

Ｅ［ｓｓＨ ］ ＝ ＩＮｓ ／ Ｎｓ 。（２）

為了滿足發(fā)送功率限制，數(shù)字預(yù)編碼矩陣和模擬預(yù)編碼矩陣應(yīng)滿足：

｜｜ＦＲＦ ＦＢＢ｜｜２Ｆ ＝ Ｎｓ 。（３）

假設(shè)信道狀態(tài)信息（Ｃｈａｎｎｅｌ Ｓｔａｔｕｓ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＣＳＩ）已知，則接收信號ｓ 可以表示為：

式中：ｎ 為加性高斯噪聲，且ｎ ～CN （０，σ２ｎ ＩＮｓ ）；ＷＲＦ和ＷＢＢ 分別為模擬組合矩陣和數(shù)字組合矩陣。此時，系統(tǒng)的頻譜效率可以表示為：

式中：Ｒｎ ＝ σ２ｎ ＷＨＢＢ ＷＨＲＦ ＷＲＦ ＷＢＢ 為噪聲協(xié)方差矩陣。

１． ２ 信道模型

對于星地鏈路中的ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)而言，由于ｍｍＷａｖｅ 在自由空間存在嚴重的路徑損耗，導(dǎo)致有限空間的選擇性或稀疏的散射特性。同時衛(wèi)星側(cè)部署的大規(guī)模天線陣列使得天線陣元之間高度相關(guān)。因此，本文采用擴展ＳａｌｅｈＶａｌｅｎｚｕｅｌａ（ＳＶ）窄帶簇信道模型，該模型已經(jīng)被證明可提供精確的窄帶ｍｍＷａｖｅ 信道數(shù)學模型［２１］。信號從衛(wèi)星側(cè)發(fā)出傳播到地面用戶，則衛(wèi)星與地面用戶之間的信道矩陣可以表示為：

式中：αｉ，ｊ 為第ｉ 個簇中的第ｊ 條徑的信道復(fù)增益，服從復(fù)高斯分布CN（０，σ２α，ｉ ）的獨立同分布的隨機變量，且ΣＮ ｃｌｉ ＝ １ σ２α，ｉ ＝ Ｎｃｌ，從而歸一化信道矩陣使其滿足Ｅ［ ||Ｈ|| ２Ｆ］＝ Ｎｔ Ｎｒ［２２］；ａｒ（Φｒｉ，ｊ，θｒｉ，ｊ）和ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ）分別為接收端和發(fā)射端天線陣列響應(yīng)向量，為Ｎｒ ×Ｎｃｌ Ｎｒａｙ和Ｎｔ ×Ｎｃｌ Ｎｒａｙ 維矩陣；Φｒｉ，ｊ（θｒｉ，ｊ）和Φｔｉ，ｊ（θｔｉ，ｊ）分別為第ｉ 個簇中第ｊ 條徑的到達和離開的水平（垂直）角，且服從拉普拉斯分布［２３］；Λｒ（Φｒｉ，ｊ，θｒｉ，ｊ ）和Λｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ）分別對應(yīng)接收天線和發(fā)射天線在到達角（Ａｎｇｌｅ ｏｆＡｒｒｉｖａｌ，ＡｏＡ）和離開角（Ａｎｇｌｅ ｏｆ Ｄｅｐａｒｔｕｒｅ，ＡｏＤ）時的增益，假定每個天線單元具有單位增益。因此，Ｓ-Ｖ 信道模型可以簡化為：

對于星地鏈路通信場景，衛(wèi)星與用戶之間不存在任何障礙物，一般可以視為視距傳輸，自由空間損耗是影響星地鏈路中最主要的因素。因此，通常用自由空間傳播模型表征星地鏈路中的損耗，根據(jù)Ｆｒｉｉｓ 公式，有：

式中：Ｐｔ 和Ｐｒ 分別為發(fā)射功率和接收功率，λ 為波長，Ｇｔ 和Ｇｒ 分別為發(fā)射天線增益和接收天線增益，Ｌ 為與傳播環(huán)境無關(guān)的系統(tǒng)損耗參數(shù)，ｄ 為傳播距離。在星地鏈路模型中，假設(shè)Ｌ ＝ １，即無系統(tǒng)損耗的自由空間路徑損耗ＰＬｆｓ 計算如下：

式中：ａ 表示當Ｇｔ ＝ Ｇｒ ＝ １。

設(shè)γ 為星地鏈路中的衰減系數(shù)，包括自由空間路徑損耗ＰＬｆｓ、大氣損耗ＰＬａｔ 和雨衰影響ＰＬｒａ 等，因此γ 可以表示為：

γ ＝ ＰＬｆｓ ＋ ＰＬａｔ ＋ ＰＬｒａ 。（１０）

對于γ，其與衛(wèi)星軌道高度ｄ、電磁波波長λ、發(fā)射天線增益Ｇｔ、接收天線增益Ｇｒ 以及大氣損耗ＰＬａｔ和雨衰ＰＬｒａ 相關(guān)。對于單用戶星地鏈路可以視為點對點通信，在軌道高度一定的前提下，其傳輸過程屬于遠距離傳輸，到達用戶端的時間唯一確定，多經(jīng)效應(yīng)并不明顯。在用戶端的接收功率因γ 的不同而不同，衰減系數(shù)γ 可以視為常數(shù)進行處理，在仿真對參數(shù)進行設(shè)置即可。因此，可以得到基于ＳＶ 擴展的星地鏈路信道模型：

Ｈｓｔ ＝ γ·Ｈ。（１１）

１． ３ 天線陣列模型

在ｍｍＷａｖｅ 通信系統(tǒng)中，使用均勻平面陣列（Ｕｎｉｆｏｒｍ Ｐｌａｎａｒ Ａｒｒａｙ，ＵＰＡ）天線更為適合，主要有以下原因［８］：

① 將天線單元在平面進行部署，可以減小天線陣列的尺寸；

② 平面天線陣列更有利于天線單元的封裝；

③ 平面陣列能夠在水平方向和垂直方向?qū)崿F(xiàn)波束賦形，而均勻線性陣列（Ｕｎｉｆｏｒｍ Ｌｉｎｅａｒ Ａｒｒａｙ，ＵＬＡ）只能在單一方向上實現(xiàn)波束賦形。ＵＰＡ 天線示意如圖２ 所示。

對于ＵＰＡ，在ｘｙ 平面內(nèi)，若在ｘ 軸和ｙ 軸分別有Ｗ 和Ｈ 個天線陣元，則ＵＰＡ 天線陣列響應(yīng)矢量可以表示為：

式中：ｍ 和ｎ 分別表示ＵＰＡ 天線陣列的行、列索引變量，滿足１≤ｍ≤Ｗ，１≤ｎ≤Ｈ，且Ｎ ＝ ＷＨ；ｄ 表示天線間距，λ 表示波長。

為了形象地展示ＵＰＡ 天線的性質(zhì)和優(yōu)點，本文給出了不同天線陣列配置下的仿真結(jié)果。圖３ 給出了天線陣列配置為（８，８）時波束指向為（４５°，１８０°）的波束正視圖，俯仰角和方位角的范圍分別為（０°，１８０°）和（０°，３６０°）。作為對比，圖４ 給出了天線陣列配置分別為（８，８）和（１６，１６）時波束指向為（４５°，１８０°）的波束正視圖和波束俯視圖，俯仰角和方位角的范圍分別為（－１８０°，１８０°）和（０°，３６０°）。

由圖３ 和圖４ 可以看出，隨著天線陣列中陣元數(shù)量的增加，波束變得細窄且更具有指向性，同時方向圖幅度也隨著陣元數(shù)量增加而明顯提升。

２ 問題建模

基于上述模型，星地鏈路ｍｍＷａｖｅ ＭａｓｓｉｖｅＭＩＭＯ 系統(tǒng)下行鏈路的數(shù)字預(yù)編碼和模擬編碼的聯(lián)合設(shè)計問題可以描述為：

式中：Ｒ 為系統(tǒng)頻譜效率，ＦＲＦ 和ＦＢＢ 分別為數(shù)字預(yù)編碼矩陣和模擬預(yù)編碼矩陣，ＷＲＦ 和ＷＢＢ 分別為模擬組合矩陣和數(shù)字組合矩陣。約束條件Ｃ１ 和Ｃ２表示恒模約束，Ｃ３ 表示發(fā)射端功率約束。針對式（１３）中的優(yōu)化問題，由于ＦＲＦ 和ＷＲＦ 具有恒模約束，要聯(lián)合優(yōu)化極為困難。假設(shè)接收端能夠?qū)崿F(xiàn)完美譯碼，該問題可以解耦為混合預(yù)編碼設(shè)計和混合合并設(shè)計問題［８］。本文主要關(guān)注發(fā)射端混合預(yù)編碼的設(shè)計，則數(shù)字預(yù)編碼器和模擬編碼器的聯(lián)合設(shè)計可以重述如下：

進一步，為了尋找最優(yōu)的模擬預(yù)編碼矩陣和數(shù)字預(yù)編碼矩陣，轉(zhuǎn)化為最大化衛(wèi)星發(fā)送側(cè)的互信息量：

并對信道矩陣Ｈ 進行ＳＶＤ。

Ｈ ＝ ＵΣＶＨ 。（１６）

根據(jù)文獻［８］，對奇異值矩陣Σ 和Ｖ 替換后，目標函數(shù)可以進一步簡化為：

由式（１７）可知，要使衛(wèi)星側(cè)互信息量最大，需要使ｔｒ （ＶＨ１ ＦＲＦ ＦＢＢ ）最大。對于此類問題，通過使||Ｆｏｐｔ －ＦＲＦ ＦＢＢ||Ｆ 最小來最大化ｔｒ（ＶＨ１ ＦＲＦ ＦＢＢ ），因此上述問題可以進一步等價為：

由式（１８）可知，對于單用戶ｍｍＷａｖｅ ＭａｓｓｉｖｅＭＩＭＯ 系統(tǒng)，混合預(yù)編碼就是尋求最優(yōu)的模擬預(yù)編碼矩陣和數(shù)字預(yù)編碼矩陣，使其盡可能接近于純數(shù)字預(yù)編碼矩陣，即滿足：

Ｆｏｐｔ ≈ ＦＲＦ ＦＢＢ 。（１９）

針對此問題，已經(jīng)有相關(guān)研究人員和學者從不同角度，給出了相應(yīng)的解決方案，接下來主要介紹ＯＭＰ［８］和基于ＯＭＰ 改進的混合預(yù)編碼算法以求解上述問題。

３ 混合預(yù)編碼算法設(shè)計

３． １ 基于ＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法

針對類似優(yōu)化問題，文獻［８］提出了基于ＯＭＰ的稀疏空間混合預(yù)編碼算法，該算法利用ｍｍＷａｖｅ信道的稀疏特性，將數(shù)字預(yù)編碼的設(shè)計轉(zhuǎn)化為稀疏約束矩陣重構(gòu)問題。

ＯＭＰ 算法的本質(zhì)是在ＦＲＦ 的碼本集合約束下，求解Ｆｏｐｔ 在混合預(yù)編碼器集合構(gòu)成的子空間上的最佳逼近。因此，基于ＯＭＰ 算法的混合預(yù)編碼問題表述如下：

由式（２０）可以看出，ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ）幅度恒定且是一個僅與相位有關(guān)的向量，這與模擬預(yù)編碼器所要求的恒模約束相符合，因此可以利用ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ）的線性組合來實現(xiàn)模擬預(yù)編碼器，上述問題可以進一步轉(zhuǎn)化為：

式中：Ａｔ ＝ ［ａｔ（Φｔ１，１ ，θｔ１，１ ），…，ａｔ（ΦｔＮｃｌ，Ｎｒａｙ，θｔＮｃｌ，Ｎｒａｙ ）］∈ＣＮｃｌ×Ｎｒａｙ為天線陣列響應(yīng)向量，模擬預(yù)編矩陣中的元素都從Ａｔ 其中選?。弧?ＢＢ ∈Ｎｃｌ Ｎｒａｙ ×Ｎｓ 為混合預(yù)編碼矩陣的數(shù)字預(yù)編碼部分， 稀疏約束||ｄｉａｇ（ＦＢＢ～Ｆ ＨＢＢ ）|| ０ ＝ ＮＲＦｔ 表明限制ＦＢＢ 的非零行不能大于ＮＲＦｔ ，即當ＦＢＢ 中含有ＮＲＦｔ 個非零行時，Ａｔ 中有ＮＲＦｔ 列被選中。因此可得，ＦｏｐｔＢＢ 由Ｆ ～ ｏｐｔＢＢ 中的ＮＲＦｔ 個非零行構(gòu)成，ＦｏｐｔＲＦ 為Ａｔ 中對應(yīng)的ＮＲＦｔ 列。基于ＯＭＰ的混合預(yù)編碼算法如下。

需要注意的是，ＯＭＰ 算法需要預(yù)先設(shè)計好模擬預(yù)編碼矩陣的候選集，計算量較大。此外，當數(shù)據(jù)流較多的時候，會引起數(shù)據(jù)流之間的干擾，不適合多數(shù)據(jù)流傳輸?shù)那闆r。

３． ２ 基于ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法

上文提出的基于ＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法，無法同時兼顧系統(tǒng)頻譜效率和復(fù)雜度，主要體現(xiàn)在：一方面，ＯＭＰ 算法需要提前知道發(fā)射端的天線陣列響應(yīng)向量，在求解混合預(yù)編碼矩陣時需要進行復(fù)雜的迭代更新，并且該算法僅僅適用于數(shù)據(jù)流較少的情況，當ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量小于２ 倍Ｎｓ 時，ＯＭＰ 性能較差，無法推廣至數(shù)據(jù)流較大的場景；另一方面，存在大量迭代運算，算法的復(fù)雜度較高。

因此，本文在綜合考慮系統(tǒng)性能和算法復(fù)雜度的前提下，提出了一種基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法。由于發(fā)射端和接收端的情況類似，因此，本文只考慮發(fā)送端的混合預(yù)編碼設(shè)計。

Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的主要思想：對模擬預(yù)編碼矩陣和數(shù)字預(yù)編碼矩陣進行解耦，即先固定數(shù)字預(yù)編碼矩陣求解模擬預(yù)編碼矩陣，然后利用所求解的模擬預(yù)編碼矩陣來設(shè)計數(shù)字預(yù)編碼矩陣。ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 結(jié)合了多步長的思想，從天線陣列響應(yīng)集合中選取與ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 相等的前ＮＲＦｔ 列構(gòu)成模擬預(yù)編碼矩陣；然后，結(jié)合矩陣分解和Ｈ-ｌｄｅｒ 不等式簡化了數(shù)字預(yù)編碼的求解過程。

基于擴展的Ｓ-Ｖ 信道模型和ｍｍＷａｖｅ ＭａｓｓｉｖｅＭＩＭＯ 系統(tǒng)傳輸模型，給出優(yōu)化目標函數(shù)：

３． ２． １ 模擬預(yù)編碼器設(shè)計

為了使混合預(yù)編碼矩陣在最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼矩陣上的投影最大，首先給出引理１［１０］：最優(yōu)預(yù)編碼矩陣Ｆｏｐｔ 的列向量是ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ），?ｉ，ｊ 的線性組合，天線陣列響應(yīng)矢量ａｔ （Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ），?ｉ，ｊ 為Ｎｔ ×Ｎｃｌ Ｎｒａｙ 維矩陣。

根據(jù)引理１ 和ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 信道模型的特性，ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ），?ｉ，ｊ 與模擬預(yù)編碼矩陣具有相似結(jié)構(gòu)，同時ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ），?ｉ，ｊ 和最優(yōu)混合預(yù)編碼矩陣的列相關(guān)。因此，選取ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ），?ｉ，ｊ的前ＮＲＦｔ 列作為最優(yōu)模擬預(yù)編碼矩陣，從而使其與最優(yōu)混合預(yù)編碼矩陣前ＮＲＦｔ 列的相關(guān)性最強。這樣避免了復(fù)雜的迭代更新運算，大大降低了系統(tǒng)實現(xiàn)復(fù)雜度。所以，上述問題可以轉(zhuǎn)化為：

３． ２． ２ 數(shù)字預(yù)編碼器設(shè)計

根據(jù)Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ 范數(shù)的定義，首先對式（２３）中的目標函數(shù)進行化簡：

式中：模擬預(yù)編碼矩陣ＦＲＦ 已經(jīng)在上一步的設(shè)計中通過ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ），?ｉ，ｊ 獲得，同時預(yù)編碼矩陣需要滿足功率約束ＦＲＦ ＦＢＢ２Ｆ ＝ Ｎｓ，且最優(yōu)預(yù)編碼矩陣Ｆｏｐｔ２Ｆ ＝ Ｎｓ。因此，進一步將目標函數(shù)進行改寫：

為了得到數(shù)字預(yù)編碼矩陣，本文根據(jù)Ｈoｌｄｅｒ 不等式和數(shù)字預(yù)編碼矩陣的正交特性，對式（２５）進一步化簡。為此，給出引理２：給定ｐ＞１，假設(shè)１/ｐ ＋１/ｑ＝１，則有：

根據(jù)Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ 范數(shù)及Ｈｌｄｅｒ 不等式，式（２５）可以進一步化簡為：

式中：Σ 為由前Ｎｓ 個非零奇異值組成的對角陣。

在式（２７）中，當且僅當ＦＢＢ ＝ Ｖ１ ＵＨ 時，等號成立，不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榈仁?，此時式（２７）獲得最大值。即通過Ｈｌｄｅｒ 不等式和Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ 范數(shù)逼近優(yōu)化目標函數(shù)的最優(yōu)值，得到最優(yōu)的數(shù)字預(yù)編碼矩陣。

綜上可知，基于ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法結(jié)合多步長的思想，通過選取與ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量相等的最優(yōu)列構(gòu)成模擬預(yù)編碼矩陣，將步長從１ 增加為ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 路數(shù)，整體迭代次數(shù)降低；此外，利用Ｈｌｄｅｒ 不等式和矩陣范數(shù)的正交特性逼近最優(yōu)目標函數(shù)，求解最優(yōu)數(shù)字預(yù)編碼矩陣。ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 算法具體如下。

３． ３ 接收端基于ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 的合并設(shè)計

通常情況下，接收端的合并矩陣包括模擬合并矩陣和數(shù)字合并矩陣的設(shè)計，一般可以通過最小化發(fā)射信號與接收信號之間的均方誤差進行設(shè)計合并矩陣ＷＲＦ ＷＢＢ 。

因此，接收端合并矩陣的設(shè)計問題可以表述為：

在式（３２）中，由于發(fā)射端的ＦＲＦ 和ＦＢＢ 是在假設(shè)接收端組合器是完美狀態(tài)下進行求解的，發(fā)射端與接收端是保持解耦狀態(tài)，因此接收端的優(yōu)化問題可以通過采用與混合預(yù)編碼器相同的方法進行設(shè)計。為此，進一步將上式進行展開得到：

式中：Ａｒ ＝ ［ａｒ（Φｒ１，１ ，θｒ１，１ ），…，ａｒ（ΦｒＮｃｌ，Ｎｒａｙ，θｒＮｃｌ，Ｎｒａｙ ）］是維度為Ｎｒ ×Ｎｃｌ Ｎｒａｙ 的接收端天線陣列響應(yīng)矩陣，Ｗ～ＢＢ維度為Ｎｃｌ Ｎｒａｙ ×Ｎｓ。綜合上述分析，可以得到接收端合并矩陣的設(shè)計過程如下。

４ 仿真結(jié)果與分析

４． １ 仿真參數(shù)說明

在本小節(jié)中，將對全連接結(jié)構(gòu)下單用戶ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 混合預(yù)編碼算法進行仿真分析。仿真參數(shù)表１ 所示。

驗證基于ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法的性能，并將所提出的算法與最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼、基于ＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法、基于ＰＥＡｌｔＭｉｎ 的混合預(yù)編碼算法進行對比分析。

４． ２ 算法復(fù)雜度分析

在本小節(jié)中，將提出的ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 算法的復(fù)雜度與其他幾種算法進行評估，即算法中所涉及的計算量。

Ｆｕｌｌ-Ｄｉｇｉｔａｌ 算法的復(fù)雜度主要來源于獲取最優(yōu)預(yù)編矩陣，即通過對信道Ｈ 進行ＳＶＤ 可得，因此其復(fù)雜度為Ｏ（Ｎ２ｔＮｒ）。ＯＭＰ 算法主要分為三部分：一是通過Ａｔ 和Ｆｒｅｓ 相關(guān)性的計算Ｏ（Ｎ２ｔＮＲＦｔ Ｎｓ ）；二是ＦＲＦ 的獲取，即偽逆運算Ｏ（Ｎｔ（ＮＲＦｔ ） ２ ）；三是對ＦＢＢ進行歸一化Ｏ（Ｎｔ ＮＲＦｔ ）。因此，經(jīng)過循環(huán)ＮＲＦｔ 次后，ＯＭＰ 算法的整體復(fù)雜度可以近似為Ｏ （Ｎ２ｔＮｒ ＋ＮＲＦｔ （Ｎ２ｔＮＲＦｔ Ｎｓ ＋Ｎｔ（ＮＲＦｔ ） ２ ）＋Ｎｔ ＮＲＦｔ ）。本文提出的Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的復(fù)雜度來自于Ａｔ 和Ｆｒｅｓ 相關(guān)性的計算，即為Ｏ （Ｎ２ｔＮＲＦｔ Ｎｓ ），同時涉及ＦＲＦ 的獲?。希ǎ危?ＮＲＦｔ ），最后是對ＦＢＢ 歸一化Ｏ（Ｎｔ ＮＲＦｔ ），因此，經(jīng)過循環(huán)ＮＲＦｔ 次后，ＯＭＰ 算法的復(fù)雜度近似為Ｏ（Ｎ２ｔＮｒ ＋Ｎ２ｔ（ＮＲＦｔ ） ２ Ｎｓ ＋２Ｎｔ ＮＲＦｔ ）。ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法的復(fù)雜度主要來自于ＦＲＦ 的計算，通過提?。疲拢?的相位來更新ＦＲＦ，因此復(fù)雜度較高，近似為Ｏ（Ｎ２ｔＮｒ ＋Ｎ２ｔＮＲＦ ＋Ｎｔ ＮＲＦｔ Ｎｓ ＋（ＮＲＦｔ ） ２ Ｎｓ ＋Ｎ３ｔ）。

在Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)中，由于Ｎｔ ＞Ｎｒ -ＮＲＦ，算法的復(fù)雜度與Ｎｔ 天線數(shù)量相關(guān)度最強。為了更清晰地展示以上分析結(jié)果，并且突出Ｎｔ 和ＮＲＦｔ 對復(fù)雜度的貢獻，除去共有的Ｎ２ｔＮｒ 部分，本文將算法復(fù)雜度總結(jié)如表２ 所示。

此外，本文也給出了幾種算法的單次運行時間與發(fā)射天線數(shù)量之間的關(guān)系，如圖５ 所示。由圖５可以看出，各種算法的單次運行時間隨著天線數(shù)量的增加而增加，本文ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 算法運行時間最短，表明該算法的復(fù)雜度最低。

４． ３ 算法性能分析

仿真１：當ＮＲＦｔ ＝ ＮＲＦｒ ＝ ４，Ｎｓ ＝ ｛１，２，４｝時，圖６ 和圖７ 分別給出了ＵＰＡ 配置為６４ ×１６ 和１４４ ×３６，全數(shù)字預(yù)編碼、ＯＭＰ 和基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法在傳輸不同數(shù)據(jù)流時系統(tǒng)頻譜效率與信噪比的關(guān)系。

由圖６ 可以看出，隨著信噪比的增加，４ 種算法的系統(tǒng)頻譜效率都響應(yīng)隨之增加。當傳輸數(shù)據(jù)流較小時，４ 種算法并沒有明顯的性能差異，但是隨著Ｎｓ的增加，４ 種算法的性能差異隨之增加。

相比較于ＯＭＰ 算法，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能更優(yōu)。這是因為本文所提算法，對ＯＭＰ 算法中存在的迭代次數(shù)過多和矩陣求逆復(fù)雜２ 個缺點進行了改進，優(yōu)化了算法性能。同時，由圖６ 和圖７ 對比可以發(fā)現(xiàn)，當天線陣列配置從６４×１６ 增加為１４４×３６ 時，頻譜效率有明顯提升，這也驗證了ＵＰＡ 天線陣列的性質(zhì)。

此外，由圖６ 和圖７ 可以發(fā)現(xiàn)，當ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量與傳輸數(shù)據(jù)流數(shù)量相等時，所提出的Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能低于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法，為了尋找具體原因和進行驗證，在仿真２ 中對該情形進行了仿真和分析。

仿真２：當Ｎｓ ＝ ＮＲＦｔ ＝ ＮＲＦｒ ＝ ｛１，２，４｝，圖８ 展示了配置為１４４×３６ 的ＵＰＡ 天線陣列中，４ 種預(yù)編碼算法系統(tǒng)頻譜效率與信噪比之間的關(guān)系。

由圖８ 可以看出：① 隨著信噪比的增加，４ 種算法的頻譜效率都隨之增加；② 在ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 與數(shù)據(jù)流數(shù)相等情況下，當傳輸單數(shù)據(jù)流時ＯＭＰ 算法和Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的性能相同，但隨著數(shù)據(jù)流的增加，即當數(shù)據(jù)流大于１ 時，４ 種算法之間的性能差異變得較大，且傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流越大，系統(tǒng)頻譜效率提升的效果越明顯；③ 當Ｎｓ ＝ ＮＲＦｔ ＝ ＮＲＦｒ 時，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能始終低于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ，說明ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ算法更適合傳輸ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量與數(shù)據(jù)流相等的這種情形，這啟發(fā)了本文對傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流數(shù)、ＲＦＣｈａｉｎｓ 對系統(tǒng)性能影響的探討。

此外，幾種算法的系統(tǒng)頻譜效率都隨著數(shù)據(jù)流的增加而有所提升，說明本文所提出的基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法更適合于傳輸多數(shù)據(jù)流的情況。

仿真３：從上面的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ數(shù)量與數(shù)據(jù)流數(shù)之間的關(guān)系對系統(tǒng)性能有一定影響。因此，基于仿真２，本文研究了在相同信噪比情況（ＳＮＲ ＝ ０ ｄＢ）時，４ 種預(yù)編碼算法的頻譜效率隨ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量和傳輸數(shù)據(jù)流數(shù)量變化的情況，如圖９ 所示。

由圖９ 可以看出：① 當ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量大于傳輸數(shù)據(jù)流數(shù)量時，基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的性能始終優(yōu)于ＯＭＰ 算法和ＰＥ-Ａｌｔ 算法；② 隨著ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ數(shù)量的增加，４ 種算法的頻譜效率隨之增加，這是由于ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量越多，可以提供更多的分集增益，獲得更高的頻譜效率，且Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的系統(tǒng)性能隨著ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 的增加更接近于全數(shù)字預(yù)編碼的性能；③ 當ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量等于數(shù)據(jù)流時，在傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流較小時，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能始終低于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法，而當傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流較大時，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能始終高于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法。

此外，當ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量比傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流數(shù)量多１ 時，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的性能就優(yōu)于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法，這是因為在傳輸數(shù)據(jù)流較大時，多出的一根射偏鏈路提供了額外的分集增益，且給系統(tǒng)保留冗余空間，即ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 路數(shù)量滿足Ｎｓ ＜ＮＲＦｔ ＜２Ｎｓ時，可以實現(xiàn)性能和功耗的折中。同時，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的性能隨著ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 的增加越來越趨近于全數(shù)字預(yù)編碼算法。

仿真４：為了驗證所提算法的有效性，在Ｎｓ ＜ＮＲＦｔ ＜ ２Ｎｓ 情況下，對Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法與ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ、ＯＭＰ 及全數(shù)字預(yù)編碼算法進行對比分析，如圖１０ 所示。

由圖１０ 可以看出，在低ＳＮＲ 情況下，幾種算法的性能接近，沒有較大差異；隨著ＳＮＲ 的增加，幾種算法的性能逐漸表現(xiàn)出差異，所提出的算法性能始終優(yōu)于ＯＭＰ 算法和ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法。此外，隨著數(shù)據(jù)流與ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 數(shù)量的增多，基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ的混合預(yù)編碼算法比ＯＭＰ 和ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法在性能上提升的更多，但與最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼算法之間還有一定差距。

５ 結(jié)束語

本文針對衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)中全連接結(jié)構(gòu)的ｍｍＷａｖｅＭａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)，研究了針對單用戶場景的混合預(yù)編碼算法。首先，介紹了星地鏈路ｍｍＷａｖｅＭａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系統(tǒng)模型和信道模型；然后，針對ＯＭＰ 算法的不足，提出了一種基于ＯＭＰ 的改進算法ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ，通過選取天線陣列響應(yīng)矩陣中最優(yōu)的前ＮＲＦｔ 列向量求解模擬預(yù)編碼矩陣ＦＲＦ，同時以逼近目標函數(shù)為準則求解數(shù)字預(yù)編碼矩陣ＦＢＢ ；最后，通過計算機仿真對本文所提出的Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法進行性能評估，結(jié)果表明在Ｎｓ ＜ＮＲＦｔ ＜２Ｎｓ情況下，基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 的混合預(yù)編碼算法在系統(tǒng)性能上更優(yōu)，且具有更低的計算復(fù)雜度。

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作者簡介

胡家榮 男，（１９９４—），碩士研究生。主要研究方向：智能通信、預(yù)編碼。

（*通信作者）李伊陶 男，（１９９１—），博士，副教授。主要研究方向：天空地一體化網(wǎng)絡(luò)、智能通信等。

熊興中 男，（１９７１—），博士，教授。主要研究方向：人工智能、物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)、無線通信技術(shù)等。

基金項目：四川省科技廳項目（２０２３ＮＳＦＳＣ１９８７）；人工智能四川省重點實驗室開放基金（２０２１ＲＺＪ０１）；四川輕化工大學研究生創(chuàng)新基金（Ｙ２０２１０５５）