利用MATLAB加強(qiáng)滑動(dòng)變阻器原理探究

摘 要：以滑動(dòng)變阻器的工作原理為基礎(chǔ)，結(jié)合MATLAB仿真技術(shù)，深入對(duì)比分析了滑動(dòng)變阻器在限流電路和分壓電路中對(duì)負(fù)載電流（電壓）的調(diào)節(jié)特性。通過(guò)對(duì)兩種電路在實(shí)際應(yīng)用中的能耗進(jìn)行精確計(jì)算與比較，明確了滑動(dòng)變阻器調(diào)節(jié)便捷性的具體表現(xiàn)，并探討了不同阻值滑動(dòng)變阻器對(duì)負(fù)載調(diào)節(jié)的線性特性和精細(xì)調(diào)節(jié)能力的影響。研究為理解滑動(dòng)變阻器的電路應(yīng)用和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：滑動(dòng)變阻器；能耗分析；調(diào)節(jié)范圍；線性特性；精細(xì)調(diào)節(jié)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）7-0076-5

滑動(dòng)變阻器作為高中物理實(shí)驗(yàn)中不可或缺的電學(xué)儀器，在高考考查中占據(jù)重要地位。在測(cè)量電阻、電阻率、描繪小燈泡伏安特性曲線，以及測(cè)定電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中，滑動(dòng)變阻器的使用對(duì)于調(diào)節(jié)負(fù)載上的電流和電壓至關(guān)重要［1］。高考對(duì)滑動(dòng)變阻器的考查主要集中在其選擇和兩種電路——限流電路（圖1）與分壓電路（圖2）的連接方法上。

傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往將滑動(dòng)變阻器的選擇和使用原則簡(jiǎn)化為“小分大限，限節(jié)能，分萬(wàn)能”，雖然這一總結(jié)能夠幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)多數(shù)考題，但在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)和科學(xué)思維方面卻顯不足。學(xué)生對(duì)于“小滑動(dòng)變阻器調(diào)節(jié)更方便”這一論斷背后的物理意義常常感到困惑，這反映了他們?cè)诨瑒?dòng)變阻器調(diào)節(jié)原理理解上的不足［2-3］。同時(shí)，教師在講解負(fù)載上電流、電壓調(diào)節(jié)范圍和能耗時(shí)，往往忽略電源內(nèi)阻的影響，導(dǎo)致理論與實(shí)際存在偏差。這些問(wèn)題的根源在于教學(xué)中對(duì)滑動(dòng)變阻器原理的闡釋缺乏深度和嚴(yán)謹(jǐn)性，核心概念界定模糊，以及對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的深入探究不足。因此，本文將利用MATLAB的強(qiáng)大數(shù)學(xué)和圖形處理能力，對(duì)滑動(dòng)變阻器在限流和分壓電路中的節(jié)能效果及其對(duì)負(fù)載電流電壓的調(diào)節(jié)范圍進(jìn)行深入對(duì)比研究，并對(duì)滑動(dòng)變阻器調(diào)節(jié)的方便性進(jìn)行準(zhǔn)確闡述與分析。

1 調(diào)節(jié)范圍探究

在圖1的限流電路中，通過(guò)負(fù)載R的電流取值范圍為：

其中，E為電源電動(dòng)勢(shì)，r為電源內(nèi)阻，R為負(fù)載電阻，R1為滑動(dòng)變阻器的最大阻值。分析易得，在負(fù)載和電源一定的情況下，R1越大，負(fù)載中電流的可調(diào)范圍就越大。

在圖2的分壓電路中，通過(guò)負(fù)載R的電流取值范圍為：

小而減小。因此，實(shí)驗(yàn)中若滑動(dòng)變阻器的阻值過(guò)小，將使得負(fù)載中的電流可調(diào)范圍變小，從而失去可調(diào)范圍大的優(yōu)點(diǎn)。

從上面的分析中可以看出，僅僅向?qū)W生傳授“在測(cè)量大范圍時(shí)使用分壓接法，選擇小滑動(dòng)變阻器”這樣的結(jié)論是不嚴(yán)謹(jǐn)、不科學(xué)的，且與真實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。此外，通過(guò)對(duì)負(fù)載中電流最大值的分析，學(xué)生得知分壓電路中負(fù)載電流的最大值實(shí)際上小于限流電路中的最大值。因此，在實(shí)驗(yàn)中，教師必須根據(jù)負(fù)載所需電流的具體范圍進(jìn)行細(xì)致分析，以選擇合適的滑動(dòng)變阻器，而不能一味地偏好選擇阻值較小的滑動(dòng)變阻器。

為進(jìn)一步對(duì)比限流接法與分壓接法在負(fù)載電流可調(diào)范圍上的差異，可以通過(guò)計(jì)算兩種電路中負(fù)載調(diào)節(jié)范圍的比例z來(lái)進(jìn)行定量分析，即定義z為

化簡(jiǎn)，得

利用MATLAB繪制圖像，如圖3所示。

通過(guò)分析可得，變量z始終小于1，這表明在電源、負(fù)載和滑動(dòng)變阻器參數(shù)相同的情況下，分壓接法在負(fù)載上的電流（或電壓）調(diào)節(jié)范圍始終大于限流接法。在特定的條件下，即當(dāng)n>5且m>5時(shí)，兩種電路調(diào)節(jié)范圍的比值基本保持恒定。在這種情況下，分壓電路的調(diào)節(jié)范圍大約是限流電路調(diào)節(jié)范圍的5倍，表明在這一參數(shù)區(qū)間內(nèi)，分壓電路的調(diào)節(jié)能力顯著優(yōu)于限流電路。當(dāng)n>5，m<5且n確定時(shí)，變量z會(huì)隨m的增大而增大。然而，在n<2的范圍內(nèi)，當(dāng)變量n確定時(shí)，變量z隨m的增大而急劇減小。但是，當(dāng)m>5后，z值的變化變得較小，并趨于穩(wěn)定。

教學(xué)建議：在教授限流電路和分壓電路中負(fù)載調(diào)節(jié)范圍時(shí)，教師可以先設(shè)定電源內(nèi)阻為零的條件，讓學(xué)生自主探究并展示他們的發(fā)現(xiàn)。隨后，引導(dǎo)學(xué)生考慮電源內(nèi)阻不為零的情況。對(duì)于限流電路，學(xué)生能夠相對(duì)容易地分析出結(jié)果，而分壓電路的分析則較為復(fù)雜，此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生共同完成。在得出理論結(jié)果后，教師應(yīng)利用MATLAB對(duì)兩種電路的調(diào)節(jié)范圍進(jìn)行對(duì)比分析，并繪制相應(yīng)的函數(shù)圖像，以使結(jié)果更加直觀，幫助學(xué)生形成對(duì)限流和分壓電路負(fù)載調(diào)節(jié)范圍的完整且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦斫狻?/p>

為了鞏固知識(shí)，教師可以設(shè)置以下練習(xí)題目：某物理興趣小組要描繪一個(gè)標(biāo)有“4 V 2 W”的小燈泡的完整伏安特性曲線。除了導(dǎo)線和開(kāi)關(guān)，他們還可以使用以下器材：

A.直流電源6 V（內(nèi)阻r=2 Ω）；

B.電流表（量程0～0.6 A，內(nèi)阻不計(jì)）；

C.電壓表（量程0～3 V，內(nèi)阻9 kΩ）；

D.滑動(dòng)變阻器R1（標(biāo)有“10 Ω 2 A”），R2（標(biāo)有“5 Ω 2 A”）；

E.三個(gè)定值電阻（R01=1 kΩ、R02=2 kΩ、R03=3 kΩ）。

（1）小組發(fā)現(xiàn)，電壓表量程不足以滿足實(shí)驗(yàn)需求。為了完成測(cè)量，他們需要將電壓表進(jìn)行改裝，從給定的定值電阻中選擇最合適的電阻（選填“R01”“R02”“R03”） 與電壓表串聯(lián)，完成改裝。

（2）為了描繪出小燈泡的完整伏安特性曲線，滑動(dòng)變阻器應(yīng)采用 （填寫(xiě)“限流”或“分壓”）接法。

（3）小組使用滑動(dòng)變阻器R2進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，但發(fā)現(xiàn)無(wú)論如何調(diào)節(jié)，都無(wú)法使小燈泡兩端的電壓達(dá)到額定電壓。檢查電路元件和導(dǎo)線均無(wú)問(wèn)題。請(qǐng)分析原因，并提出至少一種改進(jìn)方案。

原因分析：

改進(jìn)方案：

解析：（1）R03；（2）分壓；（3）原因分析：由于電源有內(nèi)阻，且選用的滑動(dòng)變阻器阻值過(guò)小，即使將滑動(dòng)變阻器全部與小燈泡并聯(lián)，小燈泡上的電壓仍然小于其額定電壓；改進(jìn)方案：可以選擇滑動(dòng)變阻器R1或更換電壓更高的電源。

2 能耗探究

當(dāng)電源電動(dòng)勢(shì)相同且通過(guò)負(fù)載的電流相同時(shí)，限流電路的總功率為

P1=EI（1）

分壓電路的總功率為

其中，x為與負(fù)載并聯(lián)的滑動(dòng)變阻器部分與滑動(dòng)變阻器總阻值的比值。將（2）式與（1）式相除得二者能耗之比

限流電路中負(fù)載上電流的取值范圍為

分壓電路中負(fù)載上電流的取值范圍為

分析可得：

由（4）式可得，負(fù)載上電流I與x正相關(guān)。將I的取值范圍代入（4）式，可得x的取值范圍。I取最小時(shí)，可得

x2R+RR1x+R（R1+r）=0（5）

求解（5）式，可得

把（6）式代入（3）式，得

利用MATLAB繪制圖像，如圖4所示。

當(dāng)n確定時(shí)，m越大，zmax值越大。

當(dāng)n>10時(shí)，隨著m的增大，zmax變化很小，且zmax值也較小?？梢?jiàn)，在這個(gè)范圍內(nèi)限流電路的節(jié)能效果并非特別明顯。

當(dāng)n<10時(shí)，隨著m的增大，zmax變化較大，即在這個(gè)范圍內(nèi)限流電路的節(jié)能效果最好。例如，當(dāng)n=0時(shí)，分壓電路與限流電路的能耗最大值之比約為m+2。若負(fù)載R=200 Ω，R1=10 Ω，分壓電路能耗可達(dá)到限流電路能耗的22倍。

教學(xué)建議：在探討限流和分壓電路的能耗時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自行計(jì)算兩種電路的總功率。學(xué)生很容易得出（3）式，從而得出分壓電路的能耗一定大于限流電路的結(jié)論。然而，學(xué)生也可能會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為當(dāng)x取極小值時(shí)，分壓電路的能耗將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于限流電路的能耗。因此，在得出（3）式后，教師應(yīng)及時(shí)指出該式是在通過(guò)負(fù)載的電流相同時(shí)簡(jiǎn)化得到的，并且強(qiáng)調(diào)要比較兩種電路的能耗，必須確保負(fù)載上的電流在兩種電路中都可以取值。

在說(shuō)明了電流的取值范圍后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算在電流的可取范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)x的取值范圍。然而，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，確定x的取值范圍可能具有一定的難度。對(duì)于層次較高的班級(jí)，學(xué)生可能能夠完成這項(xiàng)任務(wù)，但對(duì)于層次較低的班級(jí)，教師可以適當(dāng)降低難度，例如提供電源、負(fù)載和滑動(dòng)變阻器的具體參數(shù)，以簡(jiǎn)化符號(hào)運(yùn)算的復(fù)雜性。

在得出兩種電路的能耗比公式之后，教師可以使用MATLAB展示函數(shù)圖像，并在圖像中選取不同的點(diǎn)來(lái)展示對(duì)應(yīng)能耗比的具體數(shù)值，從而幫助學(xué)生更準(zhǔn)確、直觀地理解兩種電路的能耗比。

在理論探究之后，教師可以設(shè)置以下題目來(lái)讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)：

在圖1、圖2兩電路中，電源電動(dòng)勢(shì)E=6 V，內(nèi)阻r=1 Ω，負(fù)載R=50 Ω，滑動(dòng)變阻器R1=10 Ω，求：

（1）圖1電路消耗的最大功率P1；

（2）圖2電路消耗的最大功率P2；

（3）當(dāng)通過(guò)電阻R的電流相同時(shí)，兩電路消耗的功率之比為多少？

解析：（1）P1=0.7 W；（2）P2=0.9 W；（3）6.0～6.4。

3 調(diào)節(jié)方便性探究

在實(shí)驗(yàn)操作中，滑動(dòng)變阻器的體積和長(zhǎng)度可能會(huì)影響其操作的便利性，但這并不是衡量調(diào)節(jié)方便性的主要因素。實(shí)際上，“方便”的物理含義應(yīng)體現(xiàn)在調(diào)節(jié)的有效性和精細(xì)程度。調(diào)節(jié)的有效性主要是指滑動(dòng)變阻器阻值變化引起負(fù)載上電壓或電流變化的線性程度［4］。而調(diào)節(jié)的精細(xì)程度則是指滑片位置變化對(duì)負(fù)載上電流或電壓改變的程度。這兩個(gè)方面共同決定了滑動(dòng)變阻器的調(diào)節(jié)性能。

3.1 線性程度分析

限流電路中，通過(guò)負(fù)載的電流為

在分壓電路中，通過(guò)負(fù)載的電流為

變形，整理（12）式得

通過(guò)圖像分析，可以觀察到，在負(fù)載和電源保持不變且電源內(nèi)阻可忽略的情況下，參數(shù)m的增大有助于提高圖像的線性度。特別是當(dāng)m≥1時(shí)，圖像呈現(xiàn)出近似線性的特征。因此，在實(shí)驗(yàn)中，可根據(jù)R≥R1的原則選取滑動(dòng)變阻器，以確保負(fù)載上的電壓能夠均勻調(diào)整。

考慮到電源內(nèi)阻不為零的情況，可以通過(guò)分析不同n值來(lái)探究其影響。分析結(jié)果表明，不同的n值下，圖像形態(tài)基本保持一致，如圖7所示。這表明，電源內(nèi)阻對(duì)負(fù)載上電流的線性程度影響甚微。因此，在進(jìn)行相關(guān)探究時(shí)，可以將電源內(nèi)阻視為零，以簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)條件。

3.2 細(xì)調(diào)程度分析

限流電路中，負(fù)載上的電流為

當(dāng)E、r、R、R1一定時(shí)，微分可得

由于滑動(dòng)變阻器的阻值變化至少對(duì)應(yīng)于一圈繞線的電阻值，即Δx的最小變化量是繞線一圈的電阻值與總阻值R1的比值。因此，在選定滑動(dòng)變阻器后，Δx的值是固定的。隨著滑動(dòng)位置x的增加，ΔI（電流變化量）逐漸減小，這表明細(xì)調(diào)的精度在提高。換句話說(shuō)，在限流電路中，滑動(dòng)變阻器接入電路的阻值越大，其細(xì)調(diào)性能越優(yōu)越。

分壓電路中，負(fù)載上的電流為

對(duì)（17）式微分，得

通過(guò)圖像分析，在保持負(fù)載和電源不變且忽略電源內(nèi)阻的條件下，可以觀察到以下現(xiàn)象：當(dāng)m≥1時(shí)，滑動(dòng)變阻器對(duì)負(fù)載電流的調(diào)節(jié)精細(xì)程度幾乎不隨位置x的變化而變化，并且與m<1相比，其調(diào)節(jié)的精細(xì)程度更優(yōu)。當(dāng)m<1時(shí)，隨著x的增大，調(diào)節(jié)精細(xì)程度起初略有提升，隨后逐漸減弱，并且在x≥0.8后會(huì)迅速降低。對(duì)于n≠0的情況，通過(guò)賦值分析，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與n=0時(shí)的情況基本相符。

教學(xué)建議：關(guān)于滑動(dòng)變阻器對(duì)負(fù)載上電流（電壓）調(diào)節(jié)的線性程度和細(xì)調(diào)程度的理論探究，對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō)可能存在一定難度。因此，教師可以簡(jiǎn)單定義滑動(dòng)變阻器的調(diào)節(jié)方便性，使學(xué)生理解調(diào)節(jié)的方便性并非由滑動(dòng)變阻器阻值的大小決定，而是取決于調(diào)節(jié)的線性程度和細(xì)調(diào)程度。對(duì)于這兩個(gè)概念的理論探究，教師可以提供相應(yīng)的閱讀資料，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

4 結(jié) 論

在滑動(dòng)變阻器的教學(xué)中，由于時(shí)間和條件的限制，學(xué)生難以通過(guò)自主實(shí)驗(yàn)深入探究其作用特點(diǎn)。同時(shí)，受限于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，即使進(jìn)行理論探究，學(xué)生也可能難以全面理解滑動(dòng)變阻器在不同電路中的作用效果和特點(diǎn)。如果教學(xué)僅限于向?qū)W生傳授結(jié)論，而不對(duì)滑動(dòng)變阻器的原理進(jìn)行深入探究和準(zhǔn)確說(shuō)明，可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解出現(xiàn)偏差，不利于科學(xué)思維能力和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)利用科學(xué)計(jì)算軟件等輔助工具，解決疑難問(wèn)題，深化對(duì)抽象問(wèn)題的理解，加強(qiáng)原理的探究和問(wèn)題的深度剖析。教師不應(yīng)回避困難，只有自己首先進(jìn)行科學(xué)探究，才能有效開(kāi)展科學(xué)探究的教學(xué)活動(dòng)，從而培養(yǎng)出具有科學(xué)探究能力的學(xué)生。

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