摘要： 針對在一個(gè)形式背景中以區(qū)間集為底集，考慮一個(gè)屬性集（對象集）擁有的對象集（屬性集）和不擁有的對象集（屬性集）的知識(shí)表述而進(jìn)行知識(shí)提取的問題，采取將區(qū)間集概念與三支決策、經(jīng)典半概念相結(jié)合的方法，產(chǎn)生AE-區(qū)間集半概念和OE-區(qū)間集半概念兩種形式的三支區(qū)間集半概念，同時(shí)發(fā)現(xiàn)AE-區(qū)間集半概念與OE-區(qū)間集半概念的純雙布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步深入討論可知，AE-區(qū)間集半概念可分為AE1-區(qū)間集半概念與AE2-區(qū)間集半概念，利用粗糙集理論分別挖掘與AE1-區(qū)間集半概念和AE2-區(qū)間集半概念有關(guān)的近似算子的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，對偶地可得OE-區(qū)間集半概念的相關(guān)結(jié)果。所得三支區(qū)間集半概念拓廣了已有的三支決策集分別與區(qū)間集概念和半概念相結(jié)合的相關(guān)成果，成為一個(gè)新的知識(shí)表述。

關(guān)鍵詞： 形式概念分析； 半概念； 三支決策； 區(qū)間集概念； 近似算子

中圖分類號(hào)： TP18

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1671-6841（2024）06-0084-07

DOI： 10.13705/j.issn.1671-6841.2023123

Algebra Structure and Covering Approximation Operators of

Three-way Interval-set Semiconcepts

MAO Hua1，2 ， NIU Zhenhua1， MA Jingze1， WANG Gang1， ZHANG Zhiming1， YANG Lanzhen1

（1.School of Mathematics and Information Science， Hebei University， Baoding 071002， China;

2.Hebei Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence，

Baoding 071002， China）

Abstract： In response to the problem of knowledge extraction in a formal context， which took interval-set as the background set and considered the knowledge expression of the object set （attribute set） owned by an attribute set （object set） and the object set （attribute set） not owned by an attribute set （object set）， the method of combining interval-set concept with three-way decision and classical semiconcept was adopted， resulting in two types of three-way interval-set semiconcept： AE-interval-set semiconcept and OE-interval-set semiconcept. Meanwhile， pure double Boolean algebraic structures were explored for the two new types of interval-set semiconcept， respectively. Further discussion revealed that AE-interval-set semiconcept could be divided into AE1-interval-set semiconcept and AE2-interval-set semiconcept. Rough set theory was applied into mining the constructions and properties relative to approximation operators of AE1-interval-set semiconcept and AE2-interval-set semiconcept， respectively. Dually， the relevant results for OE-interval-set semiconcept were obtained. The obtained three-way interval-set semiconcept generalized the existing results relative to the combination of three-way decision and interval-set or that of three-way decision and semiconcept. Therefore， three-way interval-set semiconcept became a new form to express knowledge.

Key words： formal concept analysis; semiconcept; three-way decision; interval-set concept; approximation opeartor

0 引言

近年來，形式概念分析［1］在數(shù)據(jù)挖掘、知識(shí)發(fā)現(xiàn)、粒計(jì)算等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用［2-4］。形式概念（X，A）需滿足X*=A且A*=X。由于形式概念的算子條件限制了形式概念分析的發(fā)展，因此研究者們減弱了算子的限制條件，半概念成為形式概念分析的重要拓廣模型之一。Vormbrock等［5］基于半概念模型提出純雙布爾代數(shù)理論。對于區(qū)間集概念［6］，其本質(zhì)思想是將概念中表示外延與內(nèi)涵的集合推廣到區(qū)間集，利用區(qū)間集反映的不確定信息把形式概念拓廣到區(qū)間集概念。

Yao［7］在二支決策的基礎(chǔ)上提出了三支決策理論，其基本思想是將決策分為接受、拒絕和延遲三種。三支決策思想為很多領(lǐng)域提供了解決問題的新思路［8］。粗糙集是由Pawlak［9］ 提出的一種處理不精確、不確定性數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)工具，其理論的核心是一對近似算子。但建立在等價(jià)關(guān)系上的Pawlak粗糙集模型過于苛刻，限制了粗糙集的應(yīng)用范圍，為此，Yao等［10］提出一種覆蓋近似算子。

形式概念分析一經(jīng)提出，國內(nèi)外學(xué)者分別從概念格的構(gòu)造、形式概念分析與其他理論的結(jié)合等方面進(jìn)行了研究。例如，Qi等［11］將三支決策與形式概念結(jié)合，將對象（屬性）集共同擁有的屬性（對象）集的運(yùn)算作為正算子，將對象（屬性）集共同不擁有的運(yùn)算作為負(fù)算子，提出三支概念分析理論。Mao等［12］將經(jīng)典半概念與三支決策結(jié)合，提出兩種形式的三支半概念。Yao［13］在不完備形式背景下，將三支決策與區(qū)間集概念結(jié)合，提出三支區(qū)間集概念格。Mao［14］將經(jīng)典半概念與粗糙集結(jié)合，提出粗糙半概念。綜合上述表述可得，將半概念與區(qū)間集結(jié)合，并進(jìn)一步地與三支決策相結(jié)合得到三支區(qū)間集半概念，是對已有的三支決策、區(qū)間集與三支半概念的拓廣，是將三者的提綱挈領(lǐng)綜合性結(jié)果，是一個(gè)創(chuàng)新性的結(jié)果。因此，本文將區(qū)間集概念與三支決策、經(jīng)典半概念結(jié)合，提出兩種三支區(qū)間集半概念，可以解決只需要考慮屬性區(qū)間集擁有的對象區(qū)間集或?qū)ο髤^(qū)間集擁有的屬性區(qū)間集的問題，并證明它們?yōu)榧冸p布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)。此外，提出兩種三支區(qū)間集半概念的粗糙近似算子，可以利用構(gòu)造的近似算子挖掘潛在知識(shí)。

1 預(yù)備知識(shí)

首先對形式概念分析的基本理論進(jìn)行簡要介紹，接著介紹三支區(qū)間集概念與粗糙集的相關(guān)知識(shí)。經(jīng)典半概念和三支半概念詳細(xì)內(nèi)容見參考文獻(xiàn)［2，14，17］，區(qū)間集概念詳細(xì)內(nèi)容見參考文獻(xiàn)［6，18］，雙布爾代數(shù)詳細(xì)內(nèi)容見參考文獻(xiàn)［19］，粗糙集詳細(xì)內(nèi)容見參考文獻(xiàn)［11，12］。

1.1 經(jīng)典半概念和三支概念

定義1［2］

（1） ≤是集合P上的一個(gè)偏序關(guān)系。若對于任意的a，b，c∈P，≤滿足下列條件，則（P，≤）稱為偏序集。

（p1） a≤a（自反性）；

（p2） a≤b且b≤aa=b（反對稱性）；

（p3） a≤b且b≤ca≤c（傳遞性）。

（2） 設(shè)（P，≤）是一個(gè)偏序集，若對于任意兩個(gè)元素a，b∈P，存在上確界a∨b和下確界a∧b，則（P，≤）是一個(gè)格。

定義2［2］ （1） 形式背景K=（U，V，R）由對象集U、屬性集V以及U到V的二元關(guān)系R組成。

（2） 若XU且AV，則對應(yīng)的算子定義如下。

（2.1） 正算子*：P（U）→P（V）和*：P（V）→P（U）定義為

X*=｛v∈Vx∈X，xRv｝;

A*=｛u∈Ua∈A，uRa｝。

（2.2） 負(fù)算子*：P（U）→P（V）和*：P（V）→P（U）定義為

X*=｛v∈Vx∈X，xRcv｝;

A*=｛u∈Ua∈A，uRca｝。

定義3［5］ 設(shè)XU且AV，

（1） 若X*=A，稱（X，A）為∩-半概念；

（2） 若A*=X，稱（X，A） 為∪-半概念；

（3） 若X*=A，稱（X，A）為N∩-半概念；

（4） 若A*=X，稱（X，A）為N∪-半概念。

定義4［12］ 設(shè)X，YU且A，BV，

（1） 面向?qū)傩缘陌敫拍钏阕樱ê喎QAE-半算子）·：P（V）→P（U）×P（U）定義為：A·=（A*，A*）。

（2） 面向?qū)ο蟮陌敫拍钏阕樱ê喎QOE-半算子）·：P（U）→P（V）×P（V）定義為：X·=（X*，X*）。

（3） 若A·=（A*，A*）=（X，Y），則稱（（X，Y），A）為面向?qū)傩缘陌敫拍睿ê喎QAE-半概念）。稱（X，Y）和A分別為 （（X，Y），A）的外延和內(nèi)涵。

（4） 若X·=（X*，X*）=（A，B），則稱（X，（A，B））為面向?qū)ο蟮陌敫拍睿ê喎QOE-半概念）。稱X和 （A，B）分別為（X，（A，B））的外延和內(nèi)涵。

引理1［2］

設(shè)K=（U，V，R）是一個(gè)形式背景，對于任意的Z，Z1，Z2U（或Z，Z1，Z2V）滿足Z1Z2Z*2Z*1。

證明 設(shè)Z1，Z2U，由定義3（1）得Z*2Z*1。

1.2 區(qū)間集概念

定義5［6］

設(shè)M是有限論域，P（M）是集合M的冪集。定義M上的區(qū)間集X～

［Xl，Xu］=｛X∈P（M）XlXXu｝。

記IP（M）為M上區(qū)間集的全體。

定義6［6，15］ 在形式背景K=（U，V，R）中，若

X～=［Xl，Xu］∈IP（U），A～=

［Al，Au］∈IP（V），則相應(yīng)的算子定義如下。

（1） 正算子f：IP（U）→IP（V）和g：IP（V）→IP（U）定義為

f（X～）=［X*u，X*l］;

g（A～）=［A*u，A*l］。

（2） 負(fù)算子f：IP（U）→IP（V）和g：IP（V）→IP（U）定義為

f（X～）=

［X*u，X*I］;

g（A～）=［A*u，A*l］。

（3） 面向?qū)傩缘膮^(qū)間集算子（簡稱AE-區(qū)間集算子）：IP（U）→IP（V）×IP（V）和：IP（V）→IP（U）×IP（U）定義為

（X～，Y～）=

f（X～）∩f

（Y～）;A～=

（g（A～），（A～））。

（4） 面向?qū)ο蟮膮^(qū)間集算子（簡稱OE-區(qū)間集算子）：IP（V）→IP（U）×IP（U）和： IP（U）→IP（V）×IP（V）定義為

（A～，

B～

）=g（A～）∩g

（B～）;

X～=（f（A～），

f（A～））。

若A～=（g（A～），

（A～））=（X～，

Y～）且（X～，Y～）=

f（X～）∩f（Y～），

則稱（（X～，Y～），A～）

為AE-區(qū)間集概念。

1.3 雙布爾代數(shù)

定義7［16］

雙布爾代數(shù)F=（E，↓，↑，，，）是一種類型為（2，2，1，1，0，0）的代數(shù)結(jié)構(gòu)。對任意的x，y，z∈E，滿足以下性質(zhì)：

（1a）（x∧x）↓y=x∧y;

（1b）（x↑x）↑y=x↑y;

（2a）x∧y=y∧x;

（2b）x↑y=y↑x;

（3a）（x∧y）∧z=x∧（y∧z）;

（3b）（x↑y）↑z=x↑（y↑z）;

（4a）（x∧x）=x;

（4b）（x∧x）=x;

（5a）x∧（x↑y）=x∧x;

（5b）x↑（x∧y）=x↑x;

（6a）x∧（y∨z）=（x∧y）∨（x∧z）;

（6b）x↑（y↓z）=（x↑y）↓（x↑z）;

（7a）x∧（x∨y）=x∧x;

（7b）x↑（x↓y）=x↑x;

（8a）（x∧y）=x∧y;

（8b）（x↑y）=x↑y;

（9a）x∧x=;

（9b）x↑x=;

（10a）=∧;

（10b）=↑;

（11a）=;

（11b）=;

（12）（x∧x）↑（x∧x）=（x↑x）∧（x↑x）;

（13）x∧x=x或x↑x=x。

其中：∨和∧分別定義為x∨y=（x↓y）和

x∧y=（x↑y）。

1.4 粗糙集

定義8［9］ 若G為一個(gè)論域D上的二元關(guān)系，則稱（D，G）是基于關(guān)系G上的近似空間。對于任意

XD，X關(guān)于這個(gè)近似空間的下近似算子和上近似算子分別定義為

GX=∪｛YY∈D/G，YX｝;

GX=∪｛YY∈D/G，Y∩X≠｝。

當(dāng)GX=GX時(shí)，稱X是G的可定義集，否則稱X是G的粗糙集。

定義9［9］

若G為一個(gè)論域D上的二元關(guān)系，則稱（D，G）是基于關(guān)系G上的近似空間。對于任意XD，給定兩個(gè)算子apr和

apr，當(dāng)且僅當(dāng)下列性質(zhì)成立時(shí)，則稱apr（X）和apr（X）為（D，G）的上、下近似算子。

（1）apr（X）apr（X）;

（2）apr（X）=apr（X）X是可定義的。

定義10［10］

設(shè)D是一個(gè)論域，C是D上的一個(gè)子集族。若C中的元素都是非空的，并且∪C=D，則稱C是D的一個(gè)覆蓋。

2 AE-區(qū)間集半概念

文獻(xiàn)［18］將區(qū)間集概念與三支決策，提出了兩種三支區(qū)間集概念——AE-區(qū)間集概念和OE-區(qū)間集概念。本節(jié)將三支區(qū)間集概念與半概念結(jié)合，提出兩種形式的三支區(qū)間集半概念——AE-區(qū)間集半概念和OE-區(qū)間集半概念。因?yàn)榘敫拍罘譃椤?半概念和∪-半概念兩種，所以接下來提出的AE-區(qū)間集半概念分為AE1-區(qū)間集半概念和AE2-區(qū)間集半概念兩種。

定義11 在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

X～，Y～I(xiàn)P（U），A～I(xiàn)P（V）。若

A～=（g（A～），

（A～））=（X～，Y～），則稱

（（X～，Y～），A～）

為AE1-區(qū)間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中AE1-區(qū)間集半概念全體記作ISSAE1（K）。

定義12

在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)X～，Y～I(xiàn)P（U），

A～I(xiàn)P（V）。

若（X～，Y～）=f（X～）

∩f（Y～）=A～，則稱

（（X～，Y～），A～）

為AE2-區(qū)間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中AE2-區(qū)間集半概念全體記作ISSAE2（K）。

定義13 在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

X～，Y～I(xiàn)P（U），A～I(xiàn)P（V）。

若A～=（g（A～），

（A～））=（X～，Y～）或

（X～，Y～）=f（X～）

∩f（Y～）=

A～，則稱（（X～，Y～），

A～）為AE-區(qū)間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中AE-區(qū)間集半概念全體記作ISSAE（K）。

AE-區(qū)間集半概念與AE-區(qū)間集概念及AE-半概念的關(guān)系如下：① 由定義6和定義13可知，AE-區(qū)間集概念一定是AE-區(qū)間集半概念。② 由定義3和定義13可知，AE-半概念是AE-區(qū)間集半概念的一種特殊情況。

下面用一個(gè)實(shí)例解釋AE1-區(qū)間集半概念。

例1 對高中某班三名同學(xué)小紅、小明、小軍進(jìn)行調(diào)查，詢問他們是否擅長唱歌、說相聲、彈鋼琴，調(diào)查結(jié)果如表1所示。

令1=小紅，2=小明，3=小軍，a=唱歌，b=說相聲，c=彈鋼琴。則表1表示的形式背景K1=（U1，V1，R1）如表2所示，其中U1=｛1，2，3｝，V1=｛a，b，c｝。

現(xiàn)在需要挑選一名同學(xué)去參加學(xué)校舉辦的歌唱比賽，可首先考慮擅長唱歌的同學(xué)，若既擅長唱歌又擅長彈鋼琴的同學(xué)則更滿足挑選的要求。那么可以確定這次班級(jí)選拔的屬性區(qū)間集為A～=［Al，Au］=［a，ac］。根據(jù)定義11可得

g（A～）=［1，13］，表示1號(hào)同學(xué)和3號(hào)同學(xué)都擅長唱歌，1號(hào)同學(xué)既擅長唱歌也擅長彈鋼琴，更符合歌唱比賽的要求。那么班級(jí)可推薦1號(hào)同學(xué)參加學(xué)校舉辦的歌唱比賽，3號(hào)同學(xué)可作為班級(jí)的替補(bǔ)選手。g（A～）=［2，2］，表示2號(hào)同學(xué)既不擅長唱歌也不擅長彈鋼琴，那么這次活動(dòng)暫時(shí)不推薦2號(hào)同學(xué)參加。根據(jù)定義11可知 （（［1，13］，［2，2］），［a，ac］）為AE1-區(qū)間集半概念。

下面給出AE-區(qū)間集半概念的純雙布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)。

在形式背景K=（U，V，R）中，（（X～，Y～），

A～），（（X～1，Y～1），

A～1），（（X～2，

Y～2），A～2）∈ISSAE（K）。定義以下6種運(yùn)算：

（1） （（X～1，Y～1），

A～1）↓（（X～2，

Y～2），A～2）

=（（X～1，Y～1）∩

（X～2，Y～2），

（（X～1，Y～1）

∩（X～2，Y～2）））;

（2） （（X～1，Y～1），

A～1）↑

（（X～2，Y～2），

A～2）

=（（X～1，Y～1）∪

（X～2，Y～2），

（（X～1，Y～1）∪

（X～2，Y～2）））;

（3）

（（X～，Y～），

A～）=（（X～，

Y～）c，（（X～，

Y～）c））;

（4） （（X～，

Y～），A～）=

（（A～c），A～c）;

（5） =（（［，］，［，］），［V，V］）;

（6） =（（［U，U］，［U，U］），［，］）。

由算子∨和∧的定義可知，

（（X～1，Y～1），

A～1）∨（（X～2，

Y～2），A～2）

=（（A～1∪A～2），

（A～1∪A～2））;

（（X～1，Y～1），

A～1）∧（（X～2，

Y～2），A～2）

=（（A～1∩

A～2），（A～1∩

A～2））。

定理1 在形式背景K中，F(xiàn)=（ISSAE（K），

↓，↑，，，）為純雙布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)。

證明 需要證明AE-區(qū)間集半概念集合在上述定義的6種運(yùn)算下，滿足定義7的所有性質(zhì)。由于定義7中（ia）和（ib）是相互對偶的（i=1，2，…，11），并且大部分性質(zhì)的證明過程較簡單，在此僅展示定義7中性質(zhì)（5a）和 （12）的證明過程。

假設(shè)

x=（（X～1，Y～1），

A～1），y=（（X～2，

Y～2），A～2）。

（5a）的證明： x∧（x↑y）=（（X～1，Y～1），

A～1）∧

（（A～1∪A～2），

A～1∪A～2）=

（A～1，A～1）=x∧x。

（12）的證明： （x∧x）↑（x∧x）=（A～1，A～1）↑

（A～1，A～1）=

（（A～1，A～1），（x↑x）∧（x↑x））

=（（X～1，Y～1），

（X～1，Y～1））。

當(dāng)A～1=（X～1，Y～1）時(shí)，有

A～1=

（X～1，Y～1）和

（X～1，Y～1）=

A～1成立，故可得

（A～1，

A～1）=（（X～1，

Y～1），

（X～1，Y～1））。

即（x∧x）↑（x∧x）=（x↑x）∧（x↑x）得證。

對不同半概念進(jìn)行了對比，結(jié)果見表3。

AE-半概念既考慮了屬性擁有的對象，同時(shí)也考慮了屬性不擁有的對象，而經(jīng)典半概念只考慮了屬性擁有的對象。AE-區(qū)間集半概念既考慮屬性區(qū)間集擁有的對象，同時(shí)也考慮了屬性區(qū)間集不擁有的對象，AE-區(qū)間集半概念考慮得更為全面。因此，AE-區(qū)間集半概念是經(jīng)典概念與AE-半概念的拓廣。

3 AE-區(qū)間集半概念的近似算子

在處理不確定信息時(shí)，常常需要借助近似算子來描述這個(gè)不確定信息。下面將給出AE-區(qū)間集半概念相應(yīng)的上、下近似算子。

3.1 基于AE1-區(qū)間集半概念的近似算子

利用定義11，結(jié)合格結(jié)構(gòu)，給出一對上、下近似算子。

定義14［2］

在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)（（X～，Y～），

A～）∈ISSAE1（K）， ISSAE1（K）表示AE1-區(qū)間集半概念全體，AE1-區(qū)間集半概念的一對算子定義為

apr（（X～，Y～），

A～）=∧{（（X～j，

Y～j），A～j）∈

ISSAE1（K）（（X～，

Y～），A～）≤（（X～j，

Y～j），A～j）};

apr（（X～，Y～），

A～）=∨{（（X～i，

Y～i），A～i）∈

ISSAE1（K）（（X～i，Y～i），

A～i）≤（（X～，

Y～），A～）}。

定理2 在形式背景K=（U，V，R）中，由定義14得到AE1-區(qū)間集半概念的一對算子具有以下性質(zhì)：

（1） apr（（X～，Y～），

A～）≤（（X～，

Y～），A～）≤

apr（（X～，Y～），

A～）;

（2） apr（（X～，Y～），

A～）=（（X～，

Y～），A～）=

apr（（X～，Y～），

A～）（（X～，

Y～），A～）∈ISSAE1（K）。

證明

（1） 對任意的A～i，由定義14和二元關(guān)系≤得

∪A～iA～，由引理1得

（∪A～i）A～，由定義11得

A～=（X～，Y～）。故得

apr（（X～，Y～），

A～）=

（（∪A～i），∪A～i）≤（（

X～，

Y～），A～）。類似可得

（（X～，Y），A～）≤apr

（（X～，Y～），A～）。

（2） 分成（）和（）兩部分來證明。

（）： 對任意的A～i，由定義14 得

（（∪A～i），∪A～i）=

（（X～，Y～），

A～），由定義11得

（∪A～i）=A～=

（X～，Y～），即（（X～，Y），

A～）∈ISSAE1（K）。

（）： 由（（X～，Y），A～）∈ISSAE1（K）得，存在

m使得（（X～m，Y～m），

A～m）=（（X～，Y～），

A～），

由定義14得apr（（X～，

Y～），A～）=

（A～m，

A～m）=

（（X～m，Y～m），

A～m）=（（X～，

Y～），A～）。同理得

apr（（X～，Y～），

A～）=（（X～，Y～），

A～）。

由定義9和定理2可知，定義14給出的一對算子為AE1-區(qū)間集半概念的近似算子。

例2（例1續(xù)）

若（（X～，Y～），

A～）=（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］），

由定義11可知（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］）不是AE1-區(qū)間集半概念，無明顯意義。由定義14求得apr（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］）=（（［1，13］，［2，2］），［a，ac］）和apr（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］）=（（［1，13］，

［2，2］），［a，ac］）來近似（（［1，1］，［2，2］），［a，ac］），從而獲得相關(guān)知識(shí)，即小紅和小軍都擅長唱歌，小紅既擅長唱歌也擅長彈鋼琴，小明既不擅長唱歌也不擅長彈鋼琴。

3.2 基于AE2-區(qū)間集半概念的近似算子

利用定義12，結(jié)合雙布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)，給出一對上、下近似算子。

定義15［2］

在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

（（X～，

Y～），

A～）∈ISSAE2（K），ISSAE2（K）表示AE2-區(qū)間集半概念全體，AE2-區(qū)間集半概念的一對算子定義為

apr（（X～，Y～），

A～）=↓{（（X～j，

Y～j），A～j）∈

ISSAE2（K）（（X～，

Y～），A～）≤

（（X～j，Y～j），

A～j）};

apr（（X～，Y～），

A～）=↑{（（X～i，

Y～i），A～i）∈

ISSAE2（K）

（（X～i，

Y～i），A～i）≤

（（X～，Y～），

A～）}。

定理3 在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

（（X～，Y），A～）

∈ISSAE2（K），由定義15得到AE2-區(qū)間集半概念的一對算子具有以下性質(zhì)：

（1） apr（（X～，Y～），

A～）≤（（X～，

Y～），A～）≤

apr（（X～，Y～），

A～）;

（2） apr（（X～，Y～），

A～）=（（X～，

Y～），A～）=

apr（（X～，

Y～），A～）

（（X～，Y～），

A～）∈ISSAE2（K）。

定理3的證明過程可參照定理2，本文不再贅述。

4 OE-區(qū)間集半概念的相關(guān)性質(zhì)

OE-區(qū)間集半概念與AE-區(qū)間集半概念為對偶關(guān)系，因此下文只對OE-區(qū)間集半概念的性質(zhì)進(jìn)行簡要說明。其證明過程與AE-區(qū)間集半概念類似，故省略部分證明過程。首先給出OE-區(qū)間集半概念的定義。

定義16

在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)X～I(xiàn)P（U），A～，

B～I(xiàn)P（V）。

若X～=（f（X～），

f（X～））=（A～，

B～），則稱

（（X～，（A～，

B～））

為OE1-區(qū)間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中OE1-區(qū)間集半概念全體記作ISSOE1（K）。

定義17

在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)X～I(xiàn)P（U），A～，

B～I(xiàn)P（V）。

若（A～，B～）=g

（A～）

∩g（B～）=X～，則稱

（（X～，（A～，

B～））

為OE2-區(qū)間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中OE2-區(qū)間集半概念全體記作ISSOE2（K）。

定義18

在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

X～I(xiàn)P（U），A～，B～I(xiàn)P（V）。若

X～=（f（X～），

f（X～））=（A～，

B～）或

（A～，B～）=g

（A～）∩g（B～）=

X～，

則稱（（X～，

（A～，B～））

為OE-區(qū)間集半概念。形式背景K=（U，V，R）中OE-區(qū)間集半概念全體記作ISSOE（K）。顯然ISSOE（K）=

ISSOE1（K）∪ISSOE2（K）。

接下來給出OE-區(qū)間集半概念的純雙布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)。

在形式背景K=（U，V，R）中，（X～，（A～，

B～）），

（X～1，（A～1，

B～1）），（X～2，

（A～2，B～2））

∈ISSOE（K）。

定義以下6種運(yùn)算：

（1） （X～1，（A～1，

B～1））↓（X～2，

（A～2，B～2））

=（X～1∩X～2，

（X～1∩X～2）

）;

（2） （X～1，（A～1，

B～1））↑（X～2，

（A～2，B～2））

=（（（A～1，B～1）∩

（A～2，B～2）），

（A～1，B～1）∩

（A～2，B～2））;

（3） （X～，（A～，

B～））=（X～c，

（X～c））;

（4） （（A～，B～），

X～）=（（（A～，

B～）c），（A～，

B～）c）;

（5） =（［，］，（［V，V］，［V，V］））;

（6） =（［U，U］，（［，］，［，］））。

定理4 在形式背景K中，（ISSOE（K），↓，↑，，，，）為純雙布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)。

下面給出OE1-區(qū)間集半概念的近似算子。

定義19 在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

（X～，（A～，

B～））∈ISSOE1（K）， OE1-區(qū)間集半概念的一對算子定義為

apr（X～，（A～，

B～））=∧{（X～j，

（A～j，B～j））∈

ISSOE1（K）（X～，（A～，

B～））≤（X～j，

（A～j，B～j））};

apr（X～，（A～，

B～））=∨{（X～i，

（A～i，B～i））∈

ISSOE1（K）（X～i，（

A～i，B～i））≤

（X～，（A～，

B～））}。

定理5 在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

（X～，（A～，

B～））∈ISSOE1（K），由定義19得到OE1-區(qū)間集半概念的一對算子具有以下性質(zhì)：

（1） apr（X～，（A～，

B～））≤（X～，

（A～，B～））≤

apr（X～，（A～，

B～））;

（2） apr（X～，（A～，

B～））=（X～，

（A～，B～））=

apr（X～，（A～，

B～））（X～，

（A～，B～））

∈ISS0E1（K）。

由定義9和定理5可知，定義19給出的算子為OE1-區(qū)間集半概念的一對近似算子。

定義20 在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

（X～，（A～，

B～））∈ISSOE2（K），

OE2-區(qū)間集半概念的一對算子定義為apr（X～，

（A～，

B～））=↓{（X～j，

（A～j，B～j））∈

ISSOE2（K）

（X～，

（A～，

B～））≤（X～j，

（A～j，B～j））};

apr（X～，（A～，

B～））=↑{（X～i，

（A～i，

B～i））∈

ISSOE2（K）

（X～i，

（A～i，

B～i））≤

（X～，（A～，

B～））}。

定理6 在形式背景K=（U，V，R）中，設(shè)

（X～，（A～，

B～））∈ISSOE2（K），由定義20得到OE2-區(qū)間集半概念的一對算子具有以下性質(zhì)：

（1） apr（X～，（A～，

B～））≤（X～，

（A～，B～））≤

apr（X～，

（A～，B～））;

（2） apr（X～，

（A～，

B～））=（X～，

（A～，B～））=

apr（X～，（A～，

B～））（X～，

（A～，B～））

∈ISSOE2（K）。

由定義9和定理6可知，定義20給出的算子為OE2-區(qū)間集半概念的一對近似算子。

5 結(jié)語

本文將區(qū)間集概念與三支決策和經(jīng)典半概念相結(jié)合，提出兩種三支區(qū)間集半概念，即AE-區(qū)間集半概念和OE-區(qū)間集半概念，證明了這兩種三支區(qū)間集半概念具有純雙布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)。另外，將AE1-區(qū)間集半概念和AE2-區(qū)間集半概念并稱為AE-區(qū)間集半概念，將OE1-區(qū)間集半概念和OE2-區(qū)間集半概念并稱為OE-區(qū)間集半概念。依據(jù)粗糙集理論，得到了AE-區(qū)間集半概念的兩對近似算子。對偶地，可得到OE-區(qū)間集半概念的兩對近似算子，為挖掘潛在知識(shí)提供了平臺(tái)。未來的研究工作主要包括在不完備背景下三支區(qū)間集半概念格的構(gòu)造問題以及三支區(qū)間集半概念的屬性約簡問題，如何將三支區(qū)間集半概念更加廣泛地應(yīng)用于知識(shí)提取、粒計(jì)算等領(lǐng)域也是值得關(guān)注的問題。

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