[摘 要] GeoGebra軟件是探究數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)的重要教學(xué)工具.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，平面向量基本定理的探究過(guò)程充分體現(xiàn)了GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中的便利性.在發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證猜想的過(guò)程中，注重GeoGebra軟件的多元表征功能和動(dòng)態(tài)演示功能，能夠深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

[關(guān)鍵詞] GeoGebra軟件;平面向量基本定理;代數(shù)與幾何

GeoGebra軟件的教學(xué)價(jià)值

1. 信息技術(shù)對(duì)教學(xué)的重要性

隨著教育信息化的發(fā)展，技術(shù)—教學(xué)法—內(nèi)容知識(shí)（簡(jiǎn)稱TPACK）成為國(guó)內(nèi)外教師教育和教育技術(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域. 每一位教師都是教育信息化乃至技術(shù)整合的關(guān)鍵因素，也是教育變革的自主行動(dòng)者[1]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教師面臨的最大教學(xué)挑戰(zhàn)是平衡學(xué)生心理、教學(xué)用具和信息技術(shù)之間的關(guān)系. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，依據(jù)學(xué)生心理，結(jié)合教學(xué)用具和信息技術(shù)，簡(jiǎn)化知識(shí)，使其易懂，并讓數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生腦海中更加生動(dòng)靈活. 現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件包括幾何畫(huà)板、GeoGebra和Mathematica等，它們具有不同的功能和作用.

2. GeoGebra軟件的功能和作用

2001年美國(guó)數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter創(chuàng)建了一個(gè)GeoGebra項(xiàng)目，并于2008年對(duì)其進(jìn)行軟件化. GeoGebra是自由且跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，主要包含幾何（Geometry）和代數(shù)（Algebra）. 該軟件功能強(qiáng)大、開(kāi)源免費(fèi)，內(nèi)有代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)（分為平面和3D）、表格區(qū)、概率區(qū)等功能塊，既可簡(jiǎn)單地直接書(shū)寫數(shù)學(xué)公式，也可在工具、命令、腳本三個(gè)層次探究復(fù)雜的數(shù)學(xué)課題. 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，GeoGebra軟件可用于課堂演示、學(xué)生互動(dòng)、作業(yè)檢查等多個(gè)方面. 利用GeoGebra軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，可優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)形式，豐富師生互動(dòng)方式，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的要求，無(wú)論是在數(shù)學(xué)課程中，還是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，都需要突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過(guò)數(shù)形結(jié)合體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的理解[2]. “平面向量基本定理”教學(xué)可從物理、幾何、代數(shù)三個(gè)角度展開(kāi)，用GeoGebra軟件引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握定理，充分發(fā)揮信息技術(shù)在數(shù)形結(jié)合思想方面的優(yōu)勢(shì).

基于GeoGebra軟件的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象. 在教學(xué)“平面向量及其應(yīng)用”這一章節(jié)時(shí)，教師通常按照代數(shù)對(duì)象的研究路徑展開(kāi)，在此過(guò)程中通過(guò)對(duì)向量運(yùn)算、運(yùn)算律的幾何意義的研究，以及用于解決幾何問(wèn)題來(lái)體現(xiàn)其幾何屬性[3]. 向量基本定理既是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，也是連接直線、平面、空間的要素.

在“平面向量基本定理”教學(xué)中，如何自然地引入GeoGebra軟件進(jìn)行輔助，首先要理清這一章節(jié)的整體知識(shí)框架（如圖1所示）.可以看出，在“平面向量基本定理”教學(xué)前，探究向量問(wèn)題主要從幾何角度出發(fā)，抓住向量的大小和方向進(jìn)行運(yùn)算;在“平面向量基本定理”教學(xué)后，探究向量問(wèn)題主要從代數(shù)角度出發(fā)，抓住向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行運(yùn)算和研究性質(zhì). 因此，在“平面向量基本定理”教學(xué)中，可以從幾何角度切入，得到代數(shù)結(jié)論.

2. 教學(xué)現(xiàn)狀分析

很多教師對(duì)這一課時(shí)的教學(xué)并不重視，往往將定理結(jié)果灌輸給學(xué)生，以便盡快進(jìn)入向量坐標(biāo)表示的教學(xué). 究其原因如下：第一，教師認(rèn)為平面向量基本定理不夠重要，其不是考試重點(diǎn)，對(duì)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)不足;第二，定理中“任意向量a”“不共線向量e1，e2”無(wú)法動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，教師只能讓學(xué)生憑借直觀想象，理所當(dāng)然地接受這一結(jié)論.

面對(duì)第一種原因，教師要充分理解平面向量基本定理的重要性，要不斷追問(wèn)自己：為什么要講解這個(gè)定理？為什么被稱為“基本定理”？這一定理的作用是什么？能夠解決什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？教師在課前要深入鉆研教材，確保充足知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行教學(xué).

面對(duì)第二種原因，教師可以借助GeoGebra軟件輔助教學(xué)，利用GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)演示功能，不僅可以解釋和說(shuō)明向量a的任意性，還可以解釋和說(shuō)明基底的任意性.利用GeoGebra軟件，用“形”探究“數(shù)”，用“數(shù)”表達(dá)“形”，可以培養(yǎng)學(xué)生多元表征意識(shí)和能力，促使學(xué)生深刻理解平面向量基本定理.

3. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（1）新知導(dǎo)入

教材分析 人教A版（2019）教材（下文簡(jiǎn)稱教材）首先回顧向量共線定理，強(qiáng)調(diào)向量共線與平面向量基本定理的聯(lián)系，旨在用類比和比較的方法建構(gòu)線性運(yùn)算，培育學(xué)生基底化意識(shí).在此基礎(chǔ)上，教材利用物理上的“力的合成和分解”提出問(wèn)題、導(dǎo)入新知：能否通過(guò)平行四邊形法則將向量a分解為兩個(gè)向量呢？沿用教材這一思路，我們首先回顧向量共線的充要條件，發(fā)現(xiàn)“一個(gè)向量無(wú)法表示平面內(nèi)所有向量”這一事實(shí)，引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題.

問(wèn)題1 如圖2所示，給出一組共線向量，回答：兩個(gè)向量共線的充要條件是什么？

設(shè)計(jì)意圖 利用GeoGebra軟件，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，動(dòng)態(tài)再現(xiàn)向量共線的充要條件. 向量共線定理實(shí)際上是一維向量基本定理，通過(guò)“一維”情形的引入，引導(dǎo)學(xué)生直觀開(kāi)展“二維”情形的探究. 由向量共線的充要條件得出結(jié)論：位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示. 即存在實(shí)數(shù)λ，使得v=λu. 由λ構(gòu)建起從u到v的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為后面“二維”情形下基底和坐標(biāo)的探究做鋪墊. 利用GeoGebra軟件重現(xiàn)向量共線定理（即無(wú)論v的模長(zhǎng)如何變化，都有一個(gè)關(guān)于v的數(shù)乘運(yùn)算的等式成立），有助于學(xué)生直觀理解向量共線定理.

問(wèn)題2 假設(shè)平面內(nèi)有一個(gè)非零向量u，那么該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量能否用u表示？如果用一個(gè)向量u無(wú)法表示，那么至少需要幾個(gè)向量？為什么？

設(shè)計(jì)意圖 這一問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從“一維”向“二維”過(guò)渡. 根據(jù)學(xué)生的觀察和想象，很容易得出平面中的任意一個(gè)向量無(wú)法用單一向量u表示出來(lái).聯(lián)想需要增加的向量個(gè)數(shù)，很多學(xué)生初步猜測(cè)“用兩個(gè)向量可以表示平面內(nèi)的任意一個(gè)向量”，但是無(wú)法說(shuō)明理由. 此時(shí)可以通過(guò)層層詰問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，得出“只需兩個(gè)不共線向量”的猜想.

（2）數(shù)學(xué)探究

教材分析 在驗(yàn)證猜想的過(guò)程中，教材給了一個(gè)具體問(wèn)題：將a按e1，e2的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？隨后給出結(jié)論. 從學(xué)生的認(rèn)知來(lái)看，提出的猜想找不到反例，便理所當(dāng)然地接受了結(jié)論. 但是，從具體實(shí)例出發(fā)得到的結(jié)論未必可靠，對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性，必須盡可能給出嚴(yán)格的分析論證或一般性說(shuō)明[4]. 借助GeoGebra軟件，可以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)中難以實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)演示，這是一個(gè)由感性上升至理性的思維過(guò)程，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，使學(xué)生獲得的結(jié)論更加合理可信.

問(wèn)題3 如圖3所示，固定一對(duì)不共線向量e1，e2，現(xiàn)有一向量a，如何用e1，e2表示a？若任意改變向量a，向量a都可以用e1，e2來(lái)表示嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖 利用向量相加的平行四邊形法則，可以將a按照e1，e2的方向分解，得到a=+. 再根據(jù)向量共線定理，得到=1.44e1，=1.58e2，從而得到a=1.44e1+1.58e2. 借助幾何直觀，學(xué)生猜想如下：任意改變向量a，都存在實(shí)數(shù)λ，λ，使得a=λe1+λe2.如何驗(yàn)證呢？大部分學(xué)生認(rèn)為，可以隨機(jī)選取幾個(gè)目標(biāo)向量，通過(guò)上述分解過(guò)程驗(yàn)證等式. 此時(shí)教師要指出，該做法不具普遍性.

在傳統(tǒng)的板書(shū)教學(xué)中，為探究a的任意性，可按照不共線向量e1，e2所在的直線將平面分成四個(gè)區(qū)域（如圖4所示），對(duì)向量a所在的位置分類討論（如圖5所示）：當(dāng)a位于第Ⅰ區(qū)域時(shí)，可直接根據(jù)平行四邊形法則用e1，e2表示向量a;當(dāng)a位于第Ⅱ區(qū)域時(shí)，先找出e2的相反向量-e2，利用e1，-e2表示向量a;同理，當(dāng)a位于第Ⅲ區(qū)域時(shí)，利用-e1，-e2表示向量a;當(dāng)a位于第Ⅳ區(qū)域時(shí)，利用-e1，e2表示向量a. 此外，要考慮向量a在直線上的特殊情況.

可以看出，這一檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣，只能選取區(qū)域內(nèi)部分向量分解，無(wú)法進(jìn)行普遍性驗(yàn)證.但采用GeoGebra軟件，抓住向量的兩大要素（方向和大小），從特殊到一般可對(duì)a的任意性進(jìn)行驗(yàn)證.

問(wèn)題4 如圖6所示，固定一對(duì)不共線向量e1，e2，現(xiàn)有一向量a，固定a的模長(zhǎng)，不妨令a=8. 如何用e1，e2表示a？若任意改變向量a的方向，都可以得到猜想中的等式嗎？為什么？

活動(dòng)預(yù)設(shè) 固定向量a的起點(diǎn)O，終點(diǎn)軌跡為圓（如圖6所示）. 通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示可知，不管a的終點(diǎn)落在何處，它都可以用e1，e2線性表示. 因此，我們可以得到結(jié)論：任意模長(zhǎng)的向量a，都可以用e1，e2線性表示. 接下來(lái)，如何驗(yàn)證向量模長(zhǎng)的任意性呢？

問(wèn)題5 如圖7所示，固定一對(duì)不共線向量e1，e2，現(xiàn)有一向量a，固定a的方向，若任意改變向量a的模長(zhǎng)，如何用e1，e2表示a呢？

活動(dòng)預(yù)設(shè) 作向量a所在直線l，作與a同起點(diǎn)、同方向，模長(zhǎng)為8的向量u. 根據(jù)向量共線定理可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λu. 由問(wèn)題4的探究可知，對(duì)于向量u，必存在實(shí)數(shù)λ，λ，使得u=λe1+λe2，于是a=λu=λ（λe1+λe2）=λλe1+λλe2. 令μ=λλ，μ=λλ，由向量a的任意性，可以得到結(jié)論：固定方向的任意向量a，存在實(shí)數(shù)μ，μ，使得a=μe1+μe2.

設(shè)計(jì)意圖 從具體的目標(biāo)向量出發(fā)，遷移到模長(zhǎng)確定、方向任意的目標(biāo)向量，再推廣至模長(zhǎng)任意、方向任意的目標(biāo)向量，從而驗(yàn)證向量a的任意性. GeoGebra軟件使分析論證過(guò)程直觀可視，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

問(wèn)題6 當(dāng)a是零向量時(shí)，如何用e1，e2表示a？當(dāng)a與e1或e2共線時(shí)，如何用e1，e2表示a？

設(shè)計(jì)意圖 討論特殊情況，加深學(xué)生對(duì)所得結(jié)論的理解. 如圖8所示，若a是零向量，令λ=λ=0，則a=0·e1+0·e2. 如圖9所示，若非零向量a與e1同向，令λ=，λ=0，則a=e1+0·e2. 同理，若非零向量a與e1反向，令λ=-，λ=0，則a=-e1+0·e2.

問(wèn)題7 對(duì)于任意給定的向量a，表示a的向量e1，e2唯一嗎？

活動(dòng)預(yù)設(shè) 根據(jù)平行四邊形法則可知，表示a的向量e1，e2不唯一. 如圖10所示，已知向量a，以a的起點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓. 以O(shè)為起點(diǎn)，任取圓上一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量e1. 根據(jù)e1方向和圓O半徑的任意性可知，任意長(zhǎng)度、任意方向的e1都有對(duì)應(yīng)的e2. 從而驗(yàn)證表示a的向量e1，e2不唯一.

設(shè)計(jì)意圖 在板書(shū)教學(xué)中，通常是列舉幾組不同的e1，e2說(shuō)明表示a的向量e1，e2不止一組，但這并不能證明e1，e2具有任意性. 而利用GeoGebra軟件不僅直觀證明了e1，e2的任意性，還提出了新的問(wèn)題：當(dāng)a為任意向量時(shí)，e1，e2是否具有限制條件？

問(wèn)題8 是否任意的兩個(gè)向量e1，e2都可以表示平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a呢？

設(shè)計(jì)意圖 在問(wèn)題2中，學(xué)生已經(jīng)猜想到e1，e2要表示平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，需滿足e1，e2不共線的條件.這里可以運(yùn)用反證法進(jìn)行驗(yàn)證：若e1，e2共線，根據(jù)向量共線定理可知，e1，e2只能表示與它們共線的向量.

通過(guò)上述問(wèn)題鏈的構(gòu)建，在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，借助GeoGebra軟件，學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到平面向量基本定理中“e1，e2是不共線向量”“任意向量a”“e1，e2選取方式不唯一”等關(guān)鍵內(nèi)容，這為向量基底概念的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.

（3）推理論證

教材分析 存在性、唯一性問(wèn)題在前面學(xué)習(xí)向量共線定理時(shí)已經(jīng)接觸過(guò)，所以學(xué)生有解決該問(wèn)題的基礎(chǔ).教材中從代數(shù)角度出發(fā)，利用反證法證明了唯一性問(wèn)題. 在教學(xué)中，還可以從幾何角度出發(fā)解釋唯一性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何分析論證能力.

問(wèn)題9 通過(guò)上述探究可知，如果e1，e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，對(duì)這一平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，存在實(shí)數(shù)λ，λ，使得a=λe1+λe2，那么λ，λ唯一嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖 在驗(yàn)證該問(wèn)題時(shí)，可以分別從代數(shù)角度和幾何角度入手.幾何解釋：從圖形中可以看到，已知向量a，e1，e2的方向和模長(zhǎng)，則分向量的方向和模長(zhǎng)被確定. 這里，e1，e2確定分向量的方向，λ，λ則確定分向量的模長(zhǎng). 從形的角度用作圖法說(shuō)明，從數(shù)的角度用反證法或同一法證明，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到向量是集數(shù)與形于一身的數(shù)學(xué)概念.

問(wèn)題10 回到問(wèn)題2，為什么平面內(nèi)的任意一個(gè)向量只需要兩個(gè)不共線的非零向量表示即可？如果是三維空間內(nèi)的任意一個(gè)向量，又需要幾個(gè)向量表示呢？

設(shè)計(jì)意圖 直線的定性刻畫(huà)：一個(gè)非零向量e可以確定一條直線. 引入向量數(shù)乘運(yùn)算，則直線上的任意向量都可以由e定量表示. 平面的定性刻畫(huà)：兩條相交直線確定一個(gè)平面.根據(jù)這個(gè)刻畫(huà)，可以得到“兩個(gè)不共線的非零向量e1，e2可以確定一個(gè)平面”的性質(zhì)，引入向量數(shù)乘運(yùn)算和加法運(yùn)算，則平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以由基底{e1，e2}定量表示. 以此類推，猜想：三個(gè)不共面的非零向量可以確定一個(gè)空間，空間內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以由這三個(gè)向量定量表示. 這樣可為后面學(xué)習(xí)空間向量的坐標(biāo)表示打下基礎(chǔ)，深化學(xué)生對(duì)向量線性運(yùn)算的理解.

學(xué)生通過(guò)提出猜想、驗(yàn)證猜想、得出結(jié)論和推廣定理，理解了平面向量基本定理，那么，平面向量基本定理能解決什么問(wèn)題？基底化對(duì)解決向量問(wèn)題有什么作用？為了加深學(xué)生對(duì)平面向量基本定理的理解，教學(xué)中還要選擇恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí).

（4）理解應(yīng)用

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，要解決平面向量問(wèn)題，需要培養(yǎng)學(xué)生四個(gè)意識(shí)：①基底化意識(shí);②坐標(biāo)化意識(shí);③數(shù)量化意識(shí);④幾何化意識(shí)[5]. 本節(jié)課通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的探究，學(xué)生掌握了在類比與比較中建構(gòu)線性運(yùn)算的方法. 在“理解應(yīng)用”這一環(huán)節(jié)，需要加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解，培養(yǎng)學(xué)生基底化意識(shí).

問(wèn)題11 如圖11所示，，不共線，且=t（t∈R），用，表示.

設(shè)計(jì)意圖 本題是教材例題，難度不大. 通過(guò)例子中的t∈R可以看到，點(diǎn)P會(huì)隨著t的變化而變化;但無(wú)論點(diǎn)P如何變化，都可以用不共線的，表示，體現(xiàn)了平面向量基本定理的巧妙之處.

同時(shí)，這一結(jié)論實(shí)際上是三點(diǎn)共線定理的特殊表達(dá)形式. 三點(diǎn)共線定理的基本內(nèi)容是：若平面上=λ+μ（O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)），且λ+μ=1，則A，B，C三點(diǎn)共線. 如圖12所示，運(yùn)用GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，可驗(yàn)證三點(diǎn)共線定理的正確性.

問(wèn)題12 （2014年高考江蘇卷第12題）如圖13所示，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·的值是______.

解析 從已知條件·=2入手，用未知表示已知，可求出·=22.

設(shè)計(jì)意圖 本題充分體現(xiàn)了基底化的作用，考查學(xué)生對(duì)基底的選擇.在分析此問(wèn)時(shí)，很多學(xué)生會(huì)因?yàn)樗季S定式，將目標(biāo)·轉(zhuǎn)化為（+）·（+），但由于不知道向量間的夾角而無(wú)法繼續(xù)解題. 若將，作為一組基底，利用平面向量基本定理，把與分別用基底線性表示出來(lái)，則可以輕松解決該問(wèn)題.

應(yīng)用GeoGebra軟件的教學(xué)反思

1. GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)探究中的功能體現(xiàn)

（1）注重多元表征功能的運(yùn)用

數(shù)學(xué)的多元表征是指同一數(shù)學(xué)對(duì)象的多種表達(dá)形式. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，外在多元表征可分為符號(hào)表征、文字表征、圖形表征、動(dòng)作表征、情境表征. 其中最常用的是符號(hào)表征和圖形表征. 在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師容易顧此失彼，很難做到兩者兼顧，使兩種表征方式同時(shí)呈現(xiàn). 為解決上述問(wèn)題，教師可以利用GeoGebra軟件在一個(gè)屏幕中同時(shí)呈現(xiàn)兩種表征，加強(qiáng)由數(shù)到形、由形到數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)有更深層次的理解. 在本節(jié)課中，數(shù)學(xué)猜想先通過(guò)符號(hào)表征呈現(xiàn)，隨后借助GeoGebra軟件將符號(hào)表征轉(zhuǎn)化為圖形表征，并且在任意變化向量的過(guò)程中，每一個(gè)圖形都能得到相關(guān)數(shù)據(jù)，為驗(yàn)證猜想提供了便利. 教師應(yīng)注重GeoGebra軟件的多元表征功能，幫助學(xué)生建立幾何模型，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高探究效率，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng).但由于GeoGebra軟件的運(yùn)用使得運(yùn)算難度降低，教師要避免這一便利給學(xué)生帶來(lái)思維上的惰性.

（2）注重動(dòng)態(tài)演示功能的運(yùn)用

動(dòng)態(tài)演示就是借助教學(xué)工具動(dòng)態(tài)展示數(shù)學(xué)知識(shí)，從而將抽象轉(zhuǎn)化為具體，幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí).中學(xué)數(shù)學(xué)的抽象性比較強(qiáng)，如果不借助信息技術(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生便會(huì)理解困難，對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)停留在靜態(tài)層面. 例如，在“平面向量基本定理”的傳統(tǒng)教學(xué)中，教師通常取向量a夾在e1，e2之間的情況進(jìn)行驗(yàn)證，難以體現(xiàn)向量a的任意性. 但利用GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)演示功能可實(shí)現(xiàn)這一探究過(guò)程. 因此，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平，利用GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)演示功能，促進(jìn)學(xué)生直觀感知所學(xué)知識(shí). 另外，要避免教學(xué)停留在動(dòng)態(tài)演示表面，教師須引導(dǎo)學(xué)生從演示中歸納總結(jié)，提升學(xué)生的歸納推理能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2. GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)猜想中的應(yīng)用思考

（1）利用GeoGebra軟件發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想

教師如何引導(dǎo)學(xué)生猜想是開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵. 猜想并非學(xué)生憑空想象或由教師直接提出，而是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知發(fā)展水平，對(duì)未知進(jìn)行合理推測(cè). 教師可借助GeoGebra軟件設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問(wèn)題鏈，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)無(wú)法解決新的問(wèn)題，從而提出新的猜想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維. 例如，本節(jié)課中，在GeoGebra軟件中輸入指令，學(xué)生觀察到位于同一直線上的向量可由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示，但是在平面內(nèi)則不行. 隨后學(xué)生發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量可以表示該平面內(nèi)的一個(gè)固定向量，此時(shí)教師進(jìn)一步提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生提出猜想. 因此，教師要靈活運(yùn)用GeoGebra軟件的輔助功能，幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地進(jìn)行猜想，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生有更加深入的理解.

（2）利用GeoGebra軟件驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想不是照本宣科，將教材提供的過(guò)程重新講解一遍，而是考慮學(xué)生可能的思維方式，抓住猜想的要點(diǎn)進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理. 特別是對(duì)“任意”“所有”等條件的猜想，教師可利用GeoGebra軟件確保驗(yàn)證過(guò)程的嚴(yán)密性. 例如，驗(yàn)證三點(diǎn)共線定理時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)通常利用幾個(gè)具體例子給出定理內(nèi)容. 這種驗(yàn)證過(guò)程忽視了向量的任意性，使得學(xué)生對(duì)這一定理的理解不夠深入.而利用GeoGebra軟件任意改變點(diǎn)C的位置，等式仍然成立，學(xué)生可能會(huì)提出疑問(wèn)：若任意改變點(diǎn)A或點(diǎn)B的位置，等式仍然成立嗎？學(xué)生同樣可以利用GeoGebra軟件分析這個(gè)問(wèn)題，從而更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)仳?yàn)證猜想. 在驗(yàn)證猜想的過(guò)程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生借助GeoGebra軟件解決問(wèn)題，讓學(xué)生有意識(shí)地借助現(xiàn)代信息技術(shù)促進(jìn)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主思考習(xí)慣和邏輯推理的能力，這是應(yīng)用GeoGebra軟件進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的重要意義.

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基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論分析、測(cè)評(píng)模型建構(gòu)與教學(xué)實(shí)證研究”（22YJA880021）.

作者簡(jiǎn)介：高婷（1998—），福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2022級(jí)碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育.

通信作者：李祎（1971—），博士，福建師范大學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，主要從事數(shù)學(xué)教育研究和教學(xué)工作.