[摘 要] 在“等比數(shù)列的通項(xiàng)公式”教學(xué)中，教師將課堂還給學(xué)生，組織學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生親歷知識(shí)形成的過(guò)程，充分體驗(yàn)類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)研究中的價(jià)值，提高學(xué)生的自主探究能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 類(lèi)比思想;自主探究能力;數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

筆者在教學(xué)“等比數(shù)列的通項(xiàng)公式”時(shí)，堅(jiān)持貫徹“以生為本”教學(xué)理念，為學(xué)生提供廣闊的自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生利用類(lèi)比思想獲取知識(shí)，建構(gòu)知識(shí)體系，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程整理成文，分享給大家，供參考.

教學(xué)過(guò)程

1. 回顧舊知，引入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么是等比數(shù)列？我們是如何研究它的呢？

筆者點(diǎn)名讓學(xué)生陳述等比數(shù)列的概念，以及研究它的過(guò)程.

師：結(jié)合等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，猜想本節(jié)課我們要研究哪些內(nèi)容，你能提出什么樣的問(wèn)題呢？

筆者預(yù)留時(shí)間先讓學(xué)生思考、交流，然后投影展示學(xué)生的交流結(jié)果，如等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、符號(hào)表示等.

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)上述問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)舊知回顧，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

2. 師生互動(dòng)，制定計(jì)劃

師：要研究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，你打算怎么辦？

生1：類(lèi)比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式去研究.

師：你是如何想到的呢？

生1：上節(jié)課我們研究等比數(shù)列的定義就是這么做的.

師：說(shuō)得很有道理. 現(xiàn)在我們一起回憶一下等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么，有哪些基本要素.

生2：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是a=a+（n-1）d，基本要素是a，a，n，d.

師：猜想等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有哪些基本要素.

生3：a，a，n，q.

師：很好，知道了這些基本要素，你能試著給出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？（生不語(yǔ)）

師：這確實(shí)是一個(gè)比較棘手的問(wèn)題，我們?cè)撊绾窝芯磕兀?/p>

生齊聲答：類(lèi)比.

師：很好，你們有沒(méi)有信心去研究它呢？

生齊聲答：有.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，筆者沒(méi)有完全放手讓學(xué)生自主探究，而是精心設(shè)計(jì)幾個(gè)針對(duì)性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比等差數(shù)列，研究等比數(shù)列.

3. 合作探究，探索公式

師：對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，我看很多同學(xué)已經(jīng)有了自己的想法，現(xiàn)在請(qǐng)大家以小組為單位交流一下，等下我們?cè)偌杏懻? （學(xué)生積極交流，幾分鐘后，讓學(xué)生展示思考過(guò)程.）

師：哪個(gè)小組先來(lái)說(shuō)一說(shuō)你們的交流結(jié)果？

生4：我們小組是由特例想到的：觀(guān)察等比數(shù)列1，2，4，8，…，猜其通項(xiàng)公式為a=aqn-1，然后代值驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)這是符合的.

師：你們贊成這種做法嗎？

生5：我們小組得到的結(jié)論與生4小組是一樣的，不過(guò)我們不是這樣做的，而是根據(jù)定義猜想得到的. 由等比數(shù)列的定義可知，等比數(shù)列的各項(xiàng)依次為：a，a=aq，a=aq=aq2，a=aq=aq3，…，a=aqn-1.

師：生4和生5兩個(gè)小組給出的結(jié)論是一樣的，你們認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是否正確呢？

生齊聲答：正確.

師：數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，得到的猜想能否作為結(jié)論直接應(yīng)用呢？

生齊聲答：不能.

師：接下來(lái)我們要做什么？

生齊聲答：證明.

師：該如何證明呢？（預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考，探尋證明過(guò)程.）

生6：=q，=q，=q，…，=q，以上各式相乘可得a=aqn-1.

師：你是如何想到的？

生6：類(lèi)比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的研究.

師：之前我們證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法叫什么？

生齊聲答：累加法.

師：生6用的這個(gè)方法叫——？

生齊聲答：累乘法.

師：認(rèn)真觀(guān)察生6給的結(jié)果，你們有沒(méi)有其他發(fā)現(xiàn)？

生7：我總感覺(jué)好像缺少點(diǎn)什么，對(duì)了，當(dāng)n≥1時(shí)，要驗(yàn)證一下首項(xiàng)！令n=1，發(fā)現(xiàn)也是滿(mǎn)足的.

師：哦？一定要這樣做嗎？

生齊聲答：要.

師：請(qǐng)大家回顧一下，我們是如何發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的呢？

生8：先運(yùn)用特殊到一般思想，猜想等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后類(lèi)比證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式的累加法，聯(lián)想到累乘法，最后順利證明了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

師：大家在證明時(shí)類(lèi)比等差數(shù)列，由累加法想到了累乘法，非常棒. 可見(jiàn)，類(lèi)比是一種非常重要的思想方法，在日常學(xué)習(xí)中將一些相似或相關(guān)的內(nèi)容相比較，往往會(huì)有意外驚喜.

設(shè)計(jì)意圖 在本節(jié)課前，學(xué)生學(xué)過(guò)等差數(shù)列，加上學(xué)生具備一定的邏輯分析和推理能力，因此在猜想和證明等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，筆者組織學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，通過(guò)不同思維的碰撞，引導(dǎo)學(xué)生順利突破教學(xué)重難點(diǎn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 由于學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，因此教師教學(xué)不能越俎代庖，應(yīng)提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生自主探究，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性. 這樣不僅可以引導(dǎo)學(xué)生深刻地理解知識(shí)，還可以提高學(xué)生的自主探究能力，為學(xué)生終身發(fā)展打下基礎(chǔ).

4. 小試牛刀，深化理解

題1：已知數(shù)列{a}是等比數(shù)列，請(qǐng)大家填寫(xiě)表1.

題2：已知等比數(shù)列{a}的前4項(xiàng)為6，12，24，48，則a=______.

題3：已知等比數(shù)列{a}的前4項(xiàng)為3，-6，12，-24，則a=______.

題4：已知等比數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a=3·2n，則a=_____，q=_____.

先讓學(xué)生獨(dú)立解題，然后投影展示學(xué)生的解題過(guò)程，并組織學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng). 從練習(xí)反饋來(lái)看，大多數(shù)學(xué)生靈活應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決問(wèn)題. 解題后，讓學(xué)生總結(jié)體會(huì)和方法.

設(shè)計(jì)意圖 應(yīng)用是促進(jìn)知識(shí)理解與內(nèi)化的必經(jīng)之路. 經(jīng)歷自主探究，學(xué)生推導(dǎo)出了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，該環(huán)節(jié)中筆者精心設(shè)計(jì)練習(xí)旨在幫助學(xué)生深刻地理解公式，積累解題經(jīng)驗(yàn). 例如通過(guò)“知三求一”問(wèn)題的解決，讓學(xué)生充分體驗(yàn)等比數(shù)列四個(gè)元素的關(guān)系，深化對(duì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的理解;通過(guò)體驗(yàn)特殊項(xiàng)和通項(xiàng)之間的相互關(guān)系，提高學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力，幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的解題技能. 另外，解題后筆者沒(méi)有急于進(jìn)行“題海”訓(xùn)練，而是預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生總結(jié)體會(huì)與方法，以此通過(guò)進(jìn)一步交流與感悟，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)內(nèi)化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

5. 深入探究，拓展提升

題5：在等比數(shù)列{a}中，

（1）已知a=20，a=160，求a;

（2）已知a+a=10，a+a=40，求a.

問(wèn)題給出后，讓學(xué)生獨(dú)立解題，筆者巡視. 幾分鐘后，投影展示一名學(xué)生的解題過(guò)程. 該生利用基本要素法，結(jié)合已知列出方程組，但在解方程組時(shí)遇到了障礙，未能順利完成.

師：你們也是這樣做的嗎？你是如何解決這個(gè)問(wèn)題的呢？

生9：兩式相除就可以消元，輕松解決問(wèn)題. （讓生9板書(shū)解題過(guò)程）

師：很好，我們解決等差數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)，是否也遇到過(guò)解方程組這樣的問(wèn)題呢？當(dāng)時(shí)我們是如何解決的呢？（預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生回顧）

生10：以前也有解方程組的問(wèn)題，當(dāng)時(shí)我們是利用兩式相減的方法解決的.

師：非常好. 當(dāng)我們遇到解方程組問(wèn)題時(shí)，不要拿筆就算，應(yīng)該先認(rèn)真觀(guān)察，根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇解題方法，這樣才能達(dá)到優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，提高解題效率的目的.

師：除了以上方法外，你們還有其他方法嗎？

生11：學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，除了直接利用公式列方程組解題外，還用到了等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)a=a+（n-m）d，猜想等比數(shù)列也具備類(lèi)似的性質(zhì)，即a=amqn-m.

師：非常不錯(cuò)的想法，大家試一試，推導(dǎo)a=amqn-m.

生12：==qn-m.

師：很好，大家試一試，利用a=amqn-m這一性質(zhì)能否簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題效率？

接下來(lái)讓學(xué)生利用性質(zhì)a=amqn-m重新解答題5的第（1）問(wèn)，然后板書(shū)解題過(guò)程.

師：對(duì)比這兩種方法，你認(rèn)為哪種方法更簡(jiǎn)潔呢？

生齊聲答：利用性質(zhì)a=amqn-m解答問(wèn)題的方法更簡(jiǎn)潔、更高效.

師：非常好，利用該方法能否解決第（2）問(wèn)呢？

學(xué)生體驗(yàn)利用性質(zhì)解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)后，迫不及待地想用這個(gè)新方法重新解決第（2）問(wèn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情再次被點(diǎn)燃. 學(xué)生重新解答后，筆者投影展示學(xué)生的解答過(guò)程，這樣不僅發(fā)散了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且讓學(xué)生感受到了成功的喜悅，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

師：真是一個(gè)非常棒的發(fā)現(xiàn)，利用性質(zhì)高效地解決了問(wèn)題. 回憶等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的性質(zhì)，你認(rèn)為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是否還有其他性質(zhì)呢？

生齊聲答：有.

師：很好，今天限于時(shí)間我們就不再研究了，大家課后繼續(xù)探索，下節(jié)課一起來(lái)欣賞你們的精彩結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖 及時(shí)捕捉意外的課堂生成，鼓勵(lì)學(xué)生證明等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的性質(zhì)，并預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生利用性質(zhì)解決問(wèn)題，體會(huì)類(lèi)比遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究興趣和解題能力.

6. 課堂小結(jié)，提升素養(yǎng)

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識(shí)、方法和思想？（預(yù)留時(shí)間給學(xué)生回顧反思，并鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)表達(dá)所思、所想.）

生13：通過(guò)類(lèi)比更加理解了等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，掌握了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其部分性質(zhì).

生14：體會(huì)到了類(lèi)比思想的應(yīng)用價(jià)值.

生15：學(xué)會(huì)了用累乘法和歸納猜想法對(duì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo).

……

設(shè)計(jì)意圖 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、思想等多方面進(jìn)行歸納總結(jié)，有利于建構(gòu)學(xué)生的知識(shí)體系，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 在“課堂小結(jié)”環(huán)節(jié)中，教師不能大包大攬，應(yīng)提供機(jī)會(huì)給學(xué)生去反思、去感悟、去交流、去表達(dá)，使學(xué)生更好地理解知識(shí)、掌握方法，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

課后思考

1. 課堂教學(xué)應(yīng)重視思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂. 數(shù)學(xué)知識(shí)雖然會(huì)被遺忘，但思想方法的形成和掌握可以讓學(xué)生受益終生. 因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生獲得終身學(xué)習(xí)的能力. 本節(jié)課教學(xué)，以探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為主線(xiàn)，以類(lèi)比思想方法為暗線(xiàn)，通過(guò)明線(xiàn)與暗線(xiàn)的有機(jī)結(jié)合，不僅讓學(xué)生掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)知識(shí)，而且提高了學(xué)生自主探究的能力，落實(shí)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 例如，在引入階段，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列的學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而自然引出本節(jié)課的研究主題;在探索等比數(shù)列通項(xiàng)公式階段，通過(guò)類(lèi)比等差數(shù)列的累加法，聯(lián)想累乘法，順利完成了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明;在應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式階段，由相減消元聯(lián)想相比消元，提煉解決問(wèn)題的方法;在深入探究階段，類(lèi)比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)，得到了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的部分性質(zhì). 在教學(xué)中，將類(lèi)比思想貫穿課堂教學(xué)始終，讓學(xué)生充分體驗(yàn)類(lèi)比思想在鞏固舊知、探索新知中的作用，這樣學(xué)生不僅能學(xué)到知識(shí)，而且其數(shù)學(xué)素養(yǎng)能得到發(fā)展與提升.

2. 課堂教學(xué)應(yīng)關(guān)注思維能力的生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是課堂教學(xué)的一項(xiàng)基本任務(wù). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)避免簡(jiǎn)單的知識(shí)講授，重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，以此助推學(xué)生發(fā)展思維能力、提升學(xué)習(xí)能力. 例如，在本節(jié)課教學(xué)中，若筆者將等比數(shù)列的通項(xiàng)公式直接告訴學(xué)生，然后給出相應(yīng)練習(xí)讓學(xué)生應(yīng)用公式去解決，這樣的機(jī)械模仿和套用不僅會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還會(huì)影響學(xué)生思維能力的發(fā)展. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)形成的過(guò)程，讓學(xué)生多思考幾個(gè)“為什么”和“怎么樣”，使學(xué)生在知識(shí)生成的思維活動(dòng)中去體驗(yàn)和感悟，以此在收獲知識(shí)與技能的同時(shí)，慢慢生長(zhǎng)數(shù)學(xué)思維能力.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以生為本，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展和學(xué)習(xí)能力的提升.

作者簡(jiǎn)介：聶代祥（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.