[摘 要] 概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是學(xué)生思維的起點(diǎn). 研究者以“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)為例，從教學(xué)分析、教學(xué)實(shí)踐與教學(xué)思考三個(gè)維度具體談一談設(shè)計(jì)理念與一些感悟. 教學(xué)實(shí)踐主要從如下幾方面展開：創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突;合作探究，重溫概念發(fā)展;借鑒史料，自主構(gòu)建新知;應(yīng)用概念，鞏固提升理解;總結(jié)歸納，促進(jìn)概念升華.

[關(guān)鍵詞] 概念;核心素養(yǎng);復(fù)數(shù)

數(shù)學(xué)是由概念、命題等經(jīng)推理而形成的邏輯體系. 其中，概念反映了數(shù)學(xué)事物的特征與本質(zhì)屬性，體現(xiàn)的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式，它在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要地位. 但一些教師在實(shí)施概念教學(xué)時(shí)，常采用“一個(gè)定義和幾個(gè)注意事項(xiàng)”去完成，導(dǎo)致學(xué)生應(yīng)用概念時(shí)問題百出.

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)背景下的概念教學(xué)，究竟該如何實(shí)施呢？筆者對(duì)此進(jìn)行了大量研究，現(xiàn)以“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)為例，談一談設(shè)計(jì)理念與一些感悟.

教學(xué)分析

“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”是高中階段重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一. 其中數(shù)系的擴(kuò)充看似簡單，但對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的影響. 有些教師在此處常常忽略其作用，直接將概念呈現(xiàn)給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生無法感知數(shù)系的擴(kuò)充源于生活實(shí)際需要，以及數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，更無法借助概念的學(xué)習(xí)促進(jìn)理性思維與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

基于以上分析，筆者在執(zhí)教本節(jié)課時(shí)進(jìn)行了大量思考與研究，力求通過與學(xué)生的積極互動(dòng)，以及數(shù)學(xué)史料的應(yīng)用，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，讓學(xué)生對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充產(chǎn)生別樣的情感，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

教學(xué)實(shí)踐

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突

課堂伊始，教師借助多媒體展示意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹的故事，讓學(xué)生重溫?cái)?shù)學(xué)發(fā)展史，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)是多么有趣且有意義，而且每一個(gè)發(fā)現(xiàn)并不神秘，數(shù)學(xué)家也是從生活中的一些小問題著手進(jìn)行分析的.

問題1 有什么辦法可以將10分為兩部分，讓這兩部分的乘積恰巧為40？

設(shè)計(jì)意圖 播放數(shù)學(xué)家的故事，意在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目蒲芯?，為課堂教學(xué)奠定良好的情感基礎(chǔ). 問題的提出，是為了引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，讓學(xué)生處于“憤、悱”的狀態(tài)，對(duì)接下來的教學(xué)內(nèi)容充滿探究欲.

問題2 實(shí)數(shù)集中是否存在滿足上一個(gè)問題的兩個(gè)數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖 此問可打破學(xué)生的思維定式，讓學(xué)生在一定的認(rèn)知沖突下感知現(xiàn)有認(rèn)知無法滿足生活實(shí)際需要，一方面體現(xiàn)出新知學(xué)習(xí)的必要性，另一方面激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)，為接下來的深入探究奠定基礎(chǔ).

2. 合作探究，重溫概念發(fā)展

問題3 大家說說數(shù)集的形成，經(jīng)歷了幾次擴(kuò)充？分別是在什么情況下發(fā)生的？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在本節(jié)課前已經(jīng)接觸過整數(shù)、自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無理數(shù)與實(shí)數(shù)等，要求學(xué)生回顧數(shù)集擴(kuò)充過程，也就是讓學(xué)生將數(shù)集的發(fā)展史捋一遍，即“自然數(shù)集—整數(shù)集—有理數(shù)集—實(shí)數(shù)集”. 通過梳理數(shù)集擴(kuò)充歷程，可發(fā)現(xiàn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為本節(jié)課新知的教學(xué)奠定基礎(chǔ).

問題4 數(shù)集的每一次擴(kuò)充都能解決一些問題，請(qǐng)大家以合作學(xué)習(xí)的方式來探討每一次數(shù)集擴(kuò)充所解決的問題都有哪些.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)的方式來回顧、思考、總結(jié)每一次數(shù)集擴(kuò)充的情況，感知數(shù)集擴(kuò)充的必要性，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

師生、生生積極互動(dòng)后，將每一次數(shù)集擴(kuò)充與所解決的問題板書（如圖1所示）.

由此學(xué)生充分體驗(yàn)到每一個(gè)數(shù)集都是因?yàn)閷?shí)際需求而產(chǎn)生的，而非無中生有. 此過程，也讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)集擴(kuò)充源于數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾與社會(huì)發(fā)展.

問題5 數(shù)集的幾次擴(kuò)充存在什么共同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖 此問意在培養(yǎng)學(xué)生概括、表達(dá)與觀察的能力. 通過梳理與整理四次數(shù)集擴(kuò)充的情況，為再次數(shù)集擴(kuò)充做鋪墊，從中感知數(shù)集擴(kuò)充的合理性與科學(xué)性，并嘗試提煉一般性的原則.

3. 借鑒史料，自主構(gòu)建新知

將數(shù)學(xué)史應(yīng)用在課堂中可有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，通過對(duì)數(shù)學(xué)史與現(xiàn)狀的了解，學(xué)生會(huì)對(duì)當(dāng)下學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的探究興趣. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史的應(yīng)用對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，促進(jìn)學(xué)生成人成長等具有重要價(jià)值與意義. 數(shù)學(xué)史是連接人文與數(shù)學(xué)的橋梁，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的重要載體.

本節(jié)課的教學(xué)，可借助五百多年前卡爾丹所面臨的一個(gè)“怪東西”——-15的開平方問題為材料，帶領(lǐng)學(xué)生感知的解決需要新知識(shí). 在-15的開平方問題的牽引下，將學(xué)生的思維轉(zhuǎn)移到找一個(gè)數(shù)的平方等于-1的問題上——板書：（？）2=-1.

設(shè)計(jì)意圖 卡爾丹問題的再現(xiàn)，將學(xué)生的思維轉(zhuǎn)移到找一個(gè)數(shù)的平方等于-1的問題上，板書的應(yīng)用使學(xué)生對(duì)問題的理解更加明晰，這是留白藝術(shù)中的一種，為學(xué)生提供了更加充足的思考空間，以及為復(fù)數(shù)的引入做好了鋪墊.

師：為什么我們要引入i這個(gè)字母呢？究竟是誰引入的呢？

生1：i為英文單詞imaginary（虛幻）的首字母. 雖然這個(gè)數(shù)學(xué)矛盾是卡爾丹發(fā)現(xiàn)的，但引入i這個(gè)字母的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，他被譽(yù)為“分析的化身”. 公元1777年，他將i這個(gè)字母引入“數(shù)”這個(gè)大家族. 縱觀其發(fā)展過程，從16～18世紀(jì)，歷史的車輪推進(jìn)了兩百多年，由此也能看出如今我們信手拈來的知識(shí)是多么來之不易，學(xué)科發(fā)展的每一步都充滿了艱辛與創(chuàng)造性.

問題6 當(dāng)我們引入字母i后，能解決卡爾丹發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)矛盾嗎？

問題7 嘗試寫出其他含有i的數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生借助新學(xué)的概念來解決卡爾丹發(fā)現(xiàn)的問題，這是促使學(xué)生掌握i的過程. 要求學(xué)生嘗試寫出其他含有i的數(shù)，意在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)新知的應(yīng)用意識(shí)，深化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的理解，也為構(gòu)建復(fù)數(shù)的代數(shù)形式夯實(shí)基礎(chǔ).

問題8 嘗試寫一種形式，將你所寫出來的數(shù)都包含到里面去.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)講究符號(hào)化與形式化，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式就將符號(hào)化與形式化完全包含在里面，這是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn). 隨著問題的逐漸深入而讓學(xué)生感知從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式也在此過程中自然生成，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展抽象能力具有重要意義.

問題9 思考a+bi（a，b∈R）是否一定為虛數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 此問意在引發(fā)學(xué)生自主分類復(fù)數(shù)，深化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，從根本上突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn). 當(dāng)學(xué)生給出相應(yīng)結(jié)論后，可進(jìn)一步要求學(xué)生說一說N，Z，Q，C，R這幾個(gè)集合間的關(guān)系. 在完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時(shí)進(jìn)一步提升學(xué)生的應(yīng)用能力.

4. 應(yīng)用概念，鞏固提升理解

例1 寫出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，分別指出相應(yīng)的實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)：2-3i，4，-+i，3i，2+3i，0.

變式題：說一說下列數(shù)中的虛數(shù)、實(shí)數(shù)與純虛數(shù)，并指出復(fù)數(shù)的實(shí)部及虛部：0.618，0，i，i2，2-9i，i3，7+3i，2+.

例2 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i分別為實(shí)數(shù)、虛數(shù)與純虛數(shù)？

變式題：當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m2+m-3+（m2-1）i分別為實(shí)數(shù)、虛數(shù)與純虛數(shù)？

問題10 什么情況下，復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）與復(fù)數(shù)z=c+di（c，d∈R）相等？

例3 若（x+y）+（x-3y）i=（2x-5）+（3x+y）i，x，y∈R，求出x，y.

變式題：已知（2x2-3x-2）+（x2-5x+6）i=0，實(shí)數(shù)x的值是多少？

設(shè)計(jì)意圖 前兩個(gè)例題與變式題的應(yīng)用，意在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)的認(rèn)識(shí);問題10的設(shè)置，以及第三個(gè)例題與變式題的應(yīng)用，主要是為了深化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)相等的充要條件的理解，讓學(xué)生靈活應(yīng)用復(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵與外延實(shí)施解題.

5. 總結(jié)歸納，促進(jìn)概念升華

師：請(qǐng)大家回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，說說你的收獲與感悟.

學(xué)生在回顧環(huán)節(jié)中提出：卡爾丹提出了問題，歐拉引入i而解決了問題. 由此可見，發(fā)現(xiàn)問題與解決問題是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的原動(dòng)力. 卡爾丹發(fā)現(xiàn)問題為歐拉解決問題提供了基礎(chǔ)，說明發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要. 在交流過程中，不少學(xué)生還提出：是否存在復(fù)數(shù)之外的數(shù)呢？教師趁機(jī)滲透“學(xué)無止境”“科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)”等理念：若將數(shù)學(xué)比喻成一片無邊無際的大海，那么我們每一個(gè)人都是海洋上漂浮的一葉扁舟，需要在廣闊的海洋中永無止境地不斷探索.

設(shè)計(jì)意圖 師生共同總結(jié)，不僅是對(duì)知識(shí)、方法與思想等的梳理與提煉，更是引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)集擴(kuò)充過程中所蘊(yùn)含的實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神，促使學(xué)生深切感知人類理性思維的偉大，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)情懷，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)思考

1. 情境揭露教學(xué)規(guī)律

恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境能有效激活學(xué)生的思維，將學(xué)生帶入探究狀態(tài). 對(duì)概念教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，教師首先要對(duì)學(xué)生的“情境需要”有一個(gè)宏觀的認(rèn)識(shí)，這里所說的“情境需要”包含真實(shí)情境、科學(xué)情境、歷史情境與數(shù)學(xué)情境等.

本節(jié)課，教師基于學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將著名數(shù)學(xué)家卡爾丹所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題作為情境，一方面讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)家也會(huì)遇到解不開的問題，另一方面讓學(xué)生充分體驗(yàn)與數(shù)學(xué)家一起發(fā)現(xiàn)問題、思考問題與解決問題的過程. 這個(gè)情境告訴我們，數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)源于生活，而解決數(shù)學(xué)問題則需要一定的創(chuàng)造意識(shí).

2. 問題突破教學(xué)難點(diǎn)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，是學(xué)生思維的源泉，“學(xué)貴有疑”的理念同樣離不開問題的支撐. 事實(shí)證明，一些重要的數(shù)學(xué)概念、定理、公式與應(yīng)用等都是在解決問題中逐漸形成的. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力（簡稱“四能”）.

縱觀本節(jié)課，教師以問題驅(qū)動(dòng)的方式啟發(fā)學(xué)生思維. 學(xué)生在問題鏈的引導(dǎo)下追溯數(shù)的發(fā)展史，通過前幾次數(shù)集擴(kuò)充的分析與整理，形成了課堂中的“火熱思考”與知識(shí)的“再創(chuàng)造”，并從中抽象出數(shù)集擴(kuò)充需要遵循的基本原則與方法，成功突破了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn).

3. 合作拓展教學(xué)深度

合作探究是抽象數(shù)學(xué)概念最主要的方式. 從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來看，抽象素養(yǎng)處于首要位置，其具體表現(xiàn)形式為數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、命題與思想方法等的形成. 概念教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生依靠抽象思維與積極互動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)事物進(jìn)行歸納、分析、類比，概括事物本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)思維從感性到理性的轉(zhuǎn)變.

本節(jié)課，關(guān)于數(shù)系的發(fā)展與復(fù)數(shù)的引入等，都由學(xué)生的合作探究而來，教師只是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給予引導(dǎo). 尤其是虛數(shù)的形成史告訴我們：哪怕是數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)也是由淺入深、從無到有的過程. 課堂中，學(xué)生親歷數(shù)系的發(fā)展過程，不僅切身感知數(shù)學(xué)家的認(rèn)知發(fā)展，還真切體會(huì)數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)魅力.

4. 史料滲透數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)史不可分割的一部分，它可以充分體現(xiàn)“真、善、美”三重維度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和社會(huì)主義核心價(jià)值觀. 數(shù)學(xué)史滲透數(shù)學(xué)文化可促進(jìn)學(xué)生更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法等的發(fā)展歷程，深化學(xué)生對(duì)它們的理解.

復(fù)數(shù)的形成與發(fā)展經(jīng)歷了艱辛的過程，是數(shù)學(xué)家們辛勤耕耘的結(jié)果，是一項(xiàng)偉大的創(chuàng)新. 課堂上，教師帶領(lǐng)學(xué)生感知復(fù)數(shù)的形成歷程，從真正意義上理解它的來龍去脈，發(fā)現(xiàn)虛數(shù)屬于一種發(fā)明、創(chuàng)造，從中感知它的力量、精神與文化.

總之，概念教學(xué)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，值得我們深入思考與研究. 教師不僅要對(duì)教材所呈現(xiàn)的知識(shí)了如指掌，還要對(duì)其來龍去脈有所了解，只有知道了它的“前世今生”，才能帶領(lǐng)學(xué)生從真正意義上理解教學(xué)內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長.

作者簡介：梁榮花（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.