提升橫向磁通感應(yīng)加熱均勻性的參數(shù)設(shè)計(jì)方法研究

摘要：金屬板材及復(fù)雜幾何鋼結(jié)構(gòu)零件熱處理工藝的開發(fā)時(shí)間和成本與良好的仿真預(yù)測(cè)緊密相關(guān)，精準(zhǔn)的參數(shù)設(shè)計(jì)可以提升熱處理的工藝水平。基于對(duì)磁導(dǎo)率的特性分析，提出了一種將復(fù)合磁導(dǎo)率視為材料物理特性的參數(shù)設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了橫向磁通感應(yīng)加熱均勻性精度的提高，依據(jù)重制擴(kuò)散方程系統(tǒng)的算法，建立了功率等效模型，對(duì)復(fù)雜非線性復(fù)合磁導(dǎo)率進(jìn)行了求解，通過設(shè)置仿真對(duì)比模型，驗(yàn)證理論分析的正確性和可行性。

關(guān)鍵詞：電磁場(chǎng);橫向磁通感應(yīng)加熱;復(fù)合磁導(dǎo)率;功率等效模型;均勻性

中圖分類號(hào)：TM924.01 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1671-0797（2024）18-0080-05

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2024.18.020

0 引言

金屬材料的熱處理已經(jīng)成為感應(yīng)加熱技術(shù)的重要應(yīng)用，在金屬薄板熱處理中，橫向磁通感應(yīng)加熱技術(shù)具有比縱向磁通感應(yīng)加熱技術(shù)加熱頻率更低、無功功率更小、效率更高等優(yōu)點(diǎn)[1]。在金屬熱處理的應(yīng)用中，衡量橫向磁通感應(yīng)加熱效果優(yōu)劣的最重要指標(biāo)是加熱器出口處溫度分布的均勻性，但現(xiàn)有的傳統(tǒng)橫向磁通感應(yīng)加熱技術(shù)普遍存在加熱器出口處溫度分布不均勻的缺陷，嚴(yán)重影響熱處理效果[2]。

目前對(duì)提高均勻性的研究分為兩大類：第一類是對(duì)感應(yīng)加熱裝置進(jìn)行研究，如改變加熱器結(jié)構(gòu)和加熱線圈結(jié)構(gòu);第二類是對(duì)感應(yīng)加熱數(shù)值分析技術(shù)進(jìn)行研究，如采用磁熱耦合技術(shù)和靈敏度分析。其中感應(yīng)加熱數(shù)值分析技術(shù)方面受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[3]提出在使用三維仿真代碼進(jìn)行數(shù)值模擬的同時(shí)應(yīng)外加自動(dòng)優(yōu)化技術(shù)，即將遺傳算法與橫向磁通感應(yīng)加熱系統(tǒng)的三維電磁與熱分析結(jié)合，提高系統(tǒng)的運(yùn)行效率;文獻(xiàn)[4]提出對(duì)相同加熱器結(jié)構(gòu)在ANSYS中開發(fā)多種數(shù)值模型結(jié)構(gòu)，建立不同問題導(dǎo)向模型的實(shí)例，采用三維視角考慮對(duì)流和輻射對(duì)工件表面熱損失的影響，提出了新的加熱器參數(shù)計(jì)算方法并進(jìn)行了熱力學(xué)分析;文獻(xiàn)[5]提出基于改進(jìn)粒子群算法對(duì)電磁感應(yīng)線圈進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，提升了收斂速度，縮短了仿真時(shí)間，同時(shí)避免了優(yōu)化過程陷入局部最優(yōu)。這些方法可以用簡單的數(shù)值軟件進(jìn)行模型解析，但是系統(tǒng)仿真的準(zhǔn)確度嚴(yán)重依賴有限元模型（FEM）。因此，在金屬板材熱處理的工藝中選擇良好的仿真預(yù)測(cè)技術(shù)和正確的材料屬性對(duì)提升熱處理工藝水平至關(guān)重要[6]。

金屬板材作為一種鐵磁性材料，其磁感應(yīng)強(qiáng)度-磁場(chǎng)強(qiáng)度曲線（B-H曲線）是高度非線性和磁滯的。此外，在時(shí)諧電磁場(chǎng)范疇，對(duì)金屬板材進(jìn)行熱處理通常外加遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過材料飽和程度的磁場(chǎng)振幅的激勵(lì)，這就導(dǎo)致了磁導(dǎo)率μ這種材料屬性難以確定。因此，研究金屬熱處理過程中的磁導(dǎo)率有十分重要的意義[7]。本文通過建立功率等效模型，采用重制擴(kuò)散方程系統(tǒng)算法對(duì)復(fù)雜非線性復(fù)合磁導(dǎo)率進(jìn)行求解;此外，通過參數(shù)設(shè)計(jì)、建立仿真模型對(duì)磁導(dǎo)率特性進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果表明，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)橫向磁通感應(yīng)加熱均勻性精度的提升。

1 磁導(dǎo)率特性分析

時(shí)諧電磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度只包括精確的單次諧波，在金屬板材熱處理過程中，如果達(dá)到溫度飽和點(diǎn)，材料的激勵(lì)信號(hào)、磁響應(yīng)中的任何失真都不能很好地近似，這便導(dǎo)致了頻率截?cái)嗪烷g接耦合，不可避免地導(dǎo)致局部磁導(dǎo)率恒定。所以，只要獲得金屬板材在某非線性瞬變局部的功率分布，便可推導(dǎo)出磁導(dǎo)率與磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系。

采用特定的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度特性建立的磁導(dǎo)率磁阻模型雖然可以近似非線性無滯回材料和特定情況下的滯回材料，但由于一個(gè)周期內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的振幅和平均值是給定的，且不直接成比例，不適用于局部功率損耗的計(jì)算。所以，為了減小磁導(dǎo)率的誤差，應(yīng)以熱處理過程中的功率等效為基礎(chǔ)，最常用方法是采用經(jīng)典的磁共能等效模型分析熱處理過程中的功率損耗[8]。

1.1 磁共能等效模型比較

磁共能不是一個(gè)實(shí)際存在的物理量，是一個(gè)具有能量量綱的非物理量。起始磁化線與主磁滯回線在磁場(chǎng)振幅較低的情況下差別很大，但是在金屬板材熱處理過程中，由于外加激勵(lì)產(chǎn)生的磁場(chǎng)振幅遠(yuǎn)高于材料的磁飽和度，所以二者差別不大[9]。

平均磁導(dǎo)率與磁共能之間的關(guān)系可表示為：

μeq（H）= （1）

式中：μeq（H）為平均磁導(dǎo)率函數(shù);（H）為復(fù)合角頻率函數(shù);H為磁場(chǎng)強(qiáng)度。

磁共能等效模型可分為磁通密度共能等效模型、磁共能模型、增強(qiáng)磁共能模型，因增強(qiáng)磁共能模型損耗的磁共能是磁通密度共能等效模型與磁共能模型之和的平均值且兼具二者優(yōu)勢(shì)，故采用增強(qiáng)磁共能模型作為對(duì)比模型。

1.2 磁導(dǎo)率數(shù)學(xué)模型

在橫向磁通感應(yīng)加熱系統(tǒng)對(duì)金屬板材進(jìn)行熱處理時(shí)，由圓環(huán)效應(yīng)可知，加熱器出口處溫度分布在金屬板材的表面。在對(duì)磁導(dǎo)率進(jìn)行功率等效時(shí)，因?yàn)樵谕笩嵘疃纫欢ǖ那闆r下，幾何效應(yīng)和熱退磁效應(yīng)對(duì)金屬板材表面上磁場(chǎng)擴(kuò)散的影響可忽略不計(jì)，即在時(shí)域電磁場(chǎng)中，單位時(shí)間內(nèi)金屬板材上的功率損耗完全由磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度曲線決定，所以平均功率損耗的值為非線性磁滯的B-H曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)瞬態(tài)值的疊加[10-11]。

在時(shí)域電磁場(chǎng)中，以非線性磁滯的B-H曲線作為基準(zhǔn)，磁場(chǎng)強(qiáng)度為自變量，磁感應(yīng)強(qiáng)度為因變量并給定足夠大的周期，采用有限元算法，構(gòu)建平均功率密度并將其作為參考損耗，如式（2）所示：

ρ

+jω

（H）

（x，t）=0，x∈[0，t]，

H（0，t）=H0，

=0 （2）

式中：ρ為瞬態(tài)電阻率;H（x，t）為磁場(chǎng)強(qiáng)度函數(shù);ω為角頻率;（H）為復(fù)合磁導(dǎo)率函數(shù);（x，t）為復(fù)合磁場(chǎng)強(qiáng)度函數(shù);H（0，t）為因變量為0時(shí)的磁場(chǎng)強(qiáng)度函數(shù);H0為初始磁場(chǎng)強(qiáng)度。

由坡印廷定理可知，所有幾何物體在電磁場(chǎng)的作用下，其閉合曲面的坡印廷矢量的外法向分量的曲面積分值為曲面體積內(nèi)含有的電場(chǎng)能與同體積磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為熱能耗散的差值。在時(shí)域電場(chǎng)中，功率密度可表示為：

P（x，t）=-[E（x，t）×H（x，t）] （3）

式中：P為功率密度;為梯度算子;E為電場(chǎng)強(qiáng)度。

為了得到金屬板材熱處理表面的局部功率密度，利用安培定律和法拉第電磁感應(yīng)定律，將電場(chǎng)轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)，式（3）進(jìn)行改寫后取功率密度，并在整個(gè)周期內(nèi)取平均值，可表示為：

P（x）=ρ

+H（x，t）

dt （4）

式中：T為周期;B（x，t）為磁感應(yīng)強(qiáng)度函數(shù)。

由式（4）可以看出，非線性和磁滯材料的功率等效磁導(dǎo)率模型功率密度由兩部分組成：渦流損耗和磁滯損耗，但二者并未完全分離。磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁場(chǎng)強(qiáng)度H相等時(shí)，第二項(xiàng)的積分為零。

因?yàn)殡妶?chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在，其角頻率ω可改寫為向量形式：

H（x，t）=（x）ejωt （5）

式中：（x）為磁場(chǎng)強(qiáng)度的幅值函數(shù)。

將式（3）與（5）聯(lián)立，式（4）可進(jìn)一步改寫：

P（x）=

2+<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成.jpg>

*（x） （6）

式中：<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成.jpg>為函數(shù)實(shí)部;*（x）為磁場(chǎng)強(qiáng)度幅值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

將式（6）改寫為關(guān)于自變量x的函數(shù)，其中<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成.jpg>為實(shí)部，<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成-1.jpg>為虛部。引入局部恒定復(fù)合磁導(dǎo)率的復(fù)數(shù)形式：

（x）=<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成.jpg>

（x）+<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成-1.jpg>

（x） （7）

ρ+jω（x）（x）=0 （8）

將式（7）與（8）聯(lián)立，平均功率密度為：

P（x）=

2-<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成-1.jpg>（μ（x））|（x）|2 （9）

式（9）與式（4）相比，可以看出，兩式形式相似，平均功率密度也有兩個(gè)部分，由虛部可以看出，平均功率密度中的磁滯損耗與磁導(dǎo)率有關(guān)，即來自于磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度相位差的磁導(dǎo)率引入，將平均功率損耗徹底分解成了渦流損耗和磁滯損耗兩個(gè)部分。金屬板材作為一種鐵磁性材料，在對(duì)其進(jìn)行熱處理過程中金屬表面平均功率損耗由渦流損耗和磁滯損耗兩個(gè)部分組成，其中Peddy為渦流損耗，Physt為磁滯損耗，分別可表示為：

Peddy（x）=

2 （10）

Physt（x）=-<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成-1.jpg>（μ（x））|（x）|2 （11）

由式（10）（11）可以看出，磁場(chǎng)強(qiáng)度向量決定渦流損耗大小，磁場(chǎng)強(qiáng)度向量和磁導(dǎo)率決定渦流損耗大小。磁導(dǎo)率由式（7）的實(shí)部、虛部表示，解耦后方程可表示為：

Peddy（x）=

2+H2

2 （12）

式中：?為相位。

Physt（x）=-<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成-1.jpg>（μ）H2 （13）

此時(shí)，平均功率損耗可改寫為：

P=

+

2 （14）

該方程可以利用式（2）的邊界條件用有限元法求解。將式（12）（13）聯(lián)立，磁導(dǎo)率實(shí)部、虛部的表達(dá)式為：

<E：＼2024＼機(jī)電信息202418＼機(jī)電信息202418＼2024-9機(jī)電正文＼趙佳成.jpg>

（x）=

+

（15）

-

2 （16）

可以得到，磁導(dǎo)率中只有一個(gè)未知數(shù)H（x），即磁場(chǎng)強(qiáng)度H的大小。由于求解出來的常微分方程是非線性的，對(duì)其進(jìn)行迭代計(jì)算需要迭代法和初始設(shè)定值H0（x）。通過牛頓迭代法，同樣以式（2）為邊界條件，在迭代過程中第δ次求解修正的磁場(chǎng)強(qiáng)度H將具有齊次邊界條件性質(zhì)，使磁場(chǎng)強(qiáng)度H的初始值在定義域迭代時(shí)處處單調(diào)收斂，使磁場(chǎng)Hi（x）隨迭代次數(shù)的增加而更加準(zhǔn)確，即在進(jìn)行第i次迭代后，下一個(gè)磁場(chǎng)振幅的值為Hi+1（x）=H（x）+δH（x）。

1.3 磁導(dǎo)率分析

由上述推導(dǎo)可知，利用功率等效模型求解的磁導(dǎo)率是個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部具有對(duì)偶性，下文稱之為復(fù)合磁導(dǎo)率，表達(dá)式為：

（x）=

+

+

j

-

2 （17）

由式（17）可以看出，在金屬板材熱處理過程中，在激勵(lì)相位一定時(shí)，隨著外加的磁場(chǎng)振幅的增大，磁導(dǎo)率也會(huì)增大，但增大的趨勢(shì)不可得知。因?yàn)榻饘侔宀脑跓崽幚磉^程中其表面的等效功率損耗由渦流損耗和磁滯損耗兩個(gè)部分組成，在對(duì)功率等效求解的過程中引入了非線性復(fù)合磁導(dǎo)率，通過反解推導(dǎo)得之，所以在功率等效模型下磁導(dǎo)率的唯一邊界條件是橫向磁通感應(yīng)加熱系統(tǒng)的外加磁場(chǎng)。

磁導(dǎo)率實(shí)部與磁場(chǎng)振幅二者的關(guān)系曲線如圖1所示。

在其余條件相同、不發(fā)生熱退和磁退現(xiàn)象的情況下，由式（17）繪出功率等效模型在頻率為41 kHz、磁場(chǎng)振幅從H0=5 kA/m到H0=100 kA/m的變化曲線圖。得出，復(fù)合磁導(dǎo)率實(shí)部變化的整體趨勢(shì)是隨著磁場(chǎng)振幅H的增大而增大。對(duì)圖1分開觀察可以得出，在外加激勵(lì)為弱磁場(chǎng)時(shí)，復(fù)合磁導(dǎo)率與弱磁場(chǎng)振幅無規(guī)律可循，原因是在熱處理過程中，弱磁場(chǎng)激勵(lì)對(duì)金屬板材磁導(dǎo)率的變化影響并不明顯。在外加激勵(lì)為中等強(qiáng)度磁場(chǎng)時(shí)，復(fù)合磁導(dǎo)率與磁場(chǎng)振幅呈現(xiàn)出正相關(guān)的趨勢(shì)。在外加激勵(lì)為較強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，復(fù)合磁導(dǎo)率隨著磁場(chǎng)振幅的增大變化逐漸變小呈收斂趨勢(shì)，即一旦金屬板材達(dá)到飽和狀態(tài)，便會(huì)發(fā)生退磁現(xiàn)象，復(fù)合磁導(dǎo)率變化不明顯。

磁導(dǎo)率虛部與磁場(chǎng)振幅二者的關(guān)系曲線如圖2所示。

通過整體觀察圖2可得，復(fù)合磁導(dǎo)率虛部變化的整體趨勢(shì)是隨著磁場(chǎng)振幅H的增大而增大，但增大的趨勢(shì)并沒有實(shí)部明顯。圖2中通過觀察每條曲線可得，在外加激勵(lì)為弱磁場(chǎng)和強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，變化關(guān)系同實(shí)部一樣，金屬板材磁導(dǎo)率的變化并不明顯。在外加激勵(lì)為中等強(qiáng)度磁場(chǎng)時(shí)，復(fù)合磁導(dǎo)率與磁場(chǎng)振幅呈現(xiàn)出正相關(guān)的趨勢(shì)。結(jié)論和磁場(chǎng)振幅與復(fù)合磁導(dǎo)率實(shí)部關(guān)系一致。

綜上所述，復(fù)合磁導(dǎo)率隨著磁場(chǎng)振幅H的增大而增大，飽和后復(fù)合磁導(dǎo)率的變化與磁場(chǎng)振幅H的增大關(guān)系不明顯，即在金屬板材熱處理過程中，板材飽和前復(fù)合磁導(dǎo)率為非線性，飽和后可認(rèn)定為常數(shù)。將復(fù)合磁導(dǎo)率作為材料物理參數(shù)代入仿真器中，可以減小仿真與實(shí)際的誤差。

2 仿真驗(yàn)證

2.1 仿真模型建立

為驗(yàn)證將復(fù)合磁導(dǎo)率作為金屬板材的物理參數(shù)對(duì)金屬板材熱處理的仿真精度有所提升，本文設(shè)置增強(qiáng)磁共能和功率等效兩種仿真模型。其中功率等效模型設(shè)置兩組對(duì)比模型，一組將金屬板材的磁導(dǎo)率設(shè)置為常用的200 H/m，其他參數(shù)不變，由式（17）計(jì)算得另一組設(shè)置為191 H/m。將增強(qiáng)磁共能模型作為對(duì)照組，分別與兩組不同磁導(dǎo)率的功率等效模型的磁仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

在ANSYS Maxwell中建立雙正六邊形線圈的結(jié)構(gòu)進(jìn)行橫向磁通感應(yīng)加熱器的模擬，正六邊形線圈下方設(shè)置為被加熱的金屬板材，尺寸為200 mm×400 mm×100 mm;設(shè)定感應(yīng)加熱的發(fā)射線圈在外部，正六邊形發(fā)射線圈邊長為100 mm，是繞線匝數(shù)為27匝的螺旋線圈;中繼線圈在內(nèi)部，正六邊形的中繼線圈邊長為78 mm，是繞線匝數(shù)為16匝的螺旋線圈。

感應(yīng)加熱各區(qū)域的單元類型和材料屬性具體參數(shù)如表1所示。

在ANSYS Maxwell中建立雙正六邊形線圈結(jié)構(gòu)橫向磁通感應(yīng)加熱器的仿真模型，如圖3所示。

將金屬板材常用的磁導(dǎo)率200 H/m設(shè)置為基準(zhǔn)，對(duì)兩種磁導(dǎo)率模型進(jìn)行磁場(chǎng)仿真并相互比較，用以驗(yàn)證將計(jì)算出的復(fù)合磁導(dǎo)率視為材料物理特性有助于提升橫向磁通感應(yīng)加熱均勻性精度的理論推導(dǎo)。

2.2 仿真結(jié)果分析

以增強(qiáng)磁共能等效模型作為基準(zhǔn)，分別對(duì)磁導(dǎo)率為200 H/m的功率等效模型和磁導(dǎo)率為191 H/m的功率等效模型做誤差分析，分別稱為誤差1和誤差2，如圖4、圖5所示。

將圖4、圖5的誤差導(dǎo)出，繪制為曲線圖，如圖6所示。

由圖6得，誤差1的整體誤差值大于誤差2，前者最大誤差為12%，誤差平均值約為3.7%;后者最大誤差為11%，誤差平均值約為3.2%。

本文將磁通密度分布云圖作為衡量熱處理效果的依據(jù)，采用誤差分析、繪出誤差曲線的分析方法，得出后者更適合作為金屬板材熱處理仿真模型，驗(yàn)證了將復(fù)合磁導(dǎo)率視為材料物理特性有助于提升橫向磁通感應(yīng)加熱均勻性精度的結(jié)論。

3 結(jié)論

本文基于橫向磁通感應(yīng)加熱在金屬板材熱處理中工藝水平精度不高的問題，提出了一種將復(fù)合磁導(dǎo)率視為材料物理特性的參數(shù)設(shè)計(jì)方法，并依據(jù)重制擴(kuò)散方程系統(tǒng)的算法，建立功率等效模型，對(duì)復(fù)雜非線性復(fù)合磁導(dǎo)率進(jìn)行了求解。最后通過參數(shù)設(shè)計(jì)進(jìn)行了仿真模型建立和仿真分析，對(duì)理論分析進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了熱處理過程中工藝水平精度的提高，驗(yàn)證了理論的正確性和可行性。

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收稿日期：2024-05-20

作者簡介：趙佳成（1998—），男，江蘇徐州人，助教，研究方向：感應(yīng)加熱電源技術(shù)。

基金項(xiàng)目：西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院2024年度立項(xiàng)課題“基于橫向磁通感應(yīng)加熱技術(shù)的鋼軌正火均勻性精度研究”（XTZY24K08）