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      基于軸對稱視角評析中考幾何壓軸題

      2024-10-10 00:00:00聞國梁張安軍

      摘 要:2024年中考數(shù)學(xué)浙江卷壓軸題為幾何綜合題,問題條件簡潔,蘊含的結(jié)論豐富. 圓的軸對稱性作為圓中最基本的性質(zhì),在此題中起到了決定性作用. 聚焦圓的軸對稱性,對最后一道小題的通性通法、數(shù)學(xué)本質(zhì)、一般化推廣進行研究,并給出試題的命制評析和教學(xué)建議.

      關(guān)鍵詞:中考壓軸題;圓;軸對稱;核心素養(yǎng)

      中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1673-8284(2024)10-0045-05

      引用格式:聞國梁,張安軍. 基于軸對稱視角評析中考幾何壓軸題:對一道2024年中考試題的評析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2024(10):45-49.

      作者簡介:聞國梁(1990— ),男,一級教師,主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題研究;

      張安軍(1975— ),男,正高級教師,主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

      2024年浙江省開始實施初中學(xué)業(yè)水平考試(以下統(tǒng)稱“中考”)省級統(tǒng)一命題. 首次實施省級統(tǒng)一命題的中考數(shù)學(xué)試卷的題型和難度不僅受到廣大師生的關(guān)注,而且對后續(xù)中考數(shù)學(xué)的備考具有一定的導(dǎo)向作用. 2024年中考浙江卷的壓軸題是一道圓與三角形、四邊形相結(jié)合的綜合題,其中考查的知識點、基本方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)、變式推廣具有一定的研究價值. 本文從此題的條件和所要求證的結(jié)論出發(fā)展開分析,聚焦圓的軸對稱性,探究問題解決的通性通法和數(shù)學(xué)本質(zhì),最后對結(jié)論進行一般化推廣.

      一、題目呈現(xiàn)

      題目 如圖1,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,[AD<][AC],[∠ADC<∠BAD.] 延長AD至點E,使[AE=][AC],延長BA至點F,連接EF,使[∠AFE=][∠ADC].

      [圖1]

      (1)若[∠AFE=60°],CD為圓的直徑,求∠ABD的度數(shù).

      (2)求證:①[EF∥BC];②[EF=BD].

      作為中考壓軸題,此題的條件和圖形非常簡潔. 為了聚焦文章的核心內(nèi)容,略去對前面問題的討論,直接對第(2)小題第②問的解法、本質(zhì)和變式進行研究.

      二、基于定性分析,確定圖形結(jié)構(gòu)

      圖形結(jié)構(gòu),即圖形中線段之間的位置和數(shù)量關(guān)系. 能否根據(jù)題中所給條件,確定圖形的結(jié)構(gòu)呢?分析題中的主干條件,并進行整理,得到如表1所示的圖形結(jié)構(gòu).

      其中,條件①“圓內(nèi)接四邊形ABCD”等價于[∠ADC+∠ABC=180°];對于條件⑤“[∠AFE=∠ADC]”,結(jié)合[∠ADC+∠ABC=180°],可得[∠AFE+∠ABC=180°]. 所以[EF∥BC]. 可以按照如下順序確定該試題的圖形結(jié)構(gòu):先畫一個圓內(nèi)接四邊形ABCD,滿足限制條件“②[AD<AC]”“③[∠ADC<∠BAD]”,再在AD的延長線上取點E,滿足條件“④[AE=AC]”,最后過點E作[EF∥BC],交BA的延長線于點F. 雖然根據(jù)題中所給條件無法確定四邊形ABCD的形狀,但是當(dāng)四邊形ABCD確定后,△AEF也隨之確定. 第(2)小題第②問,即證明四邊形ABCD在變化的過程中,所蘊含的不變性條件為[EF=BD].

      三、基于合情推理,開展演繹證明

      解題成功的關(guān)鍵在于選擇正確的角度,從容易突破的點入手,尋求問題的求解路徑.

      1. 構(gòu)造全等三角形

      題目中已知的邊的數(shù)量關(guān)系有[AE=AC],角的數(shù)量關(guān)系有[∠AFE=∠ADC]. 圓中也包含與角相關(guān)的諸多性質(zhì),如同弧所對的圓周角相等,圓的內(nèi)接四邊形的對角互補等. 要證[BD=EF],學(xué)生容易想到證明線段EF和線段BD所在的兩個三角形全等. 雖然線段AE和線段EF是△AEF的兩條邊,但是線段AC和線段BD不在同一個三角形中. 于是構(gòu)造一個以線段AC和線段BD為邊的三角形是求解此題的難點. 我們不妨來轉(zhuǎn)化線段AC.

      如圖2,構(gòu)造過點D的弦DG,使[DG=AC](當(dāng)然也可以構(gòu)造過點B的弦,這里不重復(fù)說明). 在圓中構(gòu)造一條弦等于已知弦的方法是多樣的,可以過點C作一條與弦AD平行的弦CG,連接DG. 因為圓是軸對稱圖形,也可以通過軸對稱變化,作線段AC關(guān)于線段AD的垂直平分線的對稱線段DG. 從而將線段AC和線段DB集中在一個三角形中.

      [圖2]

      證法1為根據(jù)軸對稱變換構(gòu)造輔助線的證明方法.

      證法1:如圖3,作線段AC關(guān)于線段AD的垂直平分線的對稱線段DG,連接BG. 根據(jù)圓的軸對稱性,可得點G在圓上,且[DG=AC]. 則[AC=DG]. 所以[∠ADC=][∠DBG]. 因為[∠AFE=∠ADC],所以[∠AFE=∠DBG]. 因為AE = AC = DG,[∠EAF=∠DGB],所以[△AEF≌][△GDB]. 所以[EF=BD].

      [圖4] [圖3]

      上述證法通過在圓內(nèi)構(gòu)造三角形全等證明線段相等. 考慮到線段AE與AC相等且有一個公共的端點A,于是可以將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)[∠EAC]的度數(shù)得到[△AEF],如圖4所示. 只要證明點[F]在圓上即可. 這一方法的本質(zhì)也是利用全等三角形的性質(zhì)完成證明,這里不再贅述.

      2. 構(gòu)造相似三角形

      題中已知的數(shù)量關(guān)系有[AE=AC]. 要證[BD=EF],如果能證明比例式[AEEF=ACBD],即可得證. 由第(2)小題第①問的結(jié)論[EF∥BC],想到構(gòu)造與[△AEF]相似的三角形. 如圖5,延長EA,CB交于點G,即可得到[△AGB∽△AEF]. 根據(jù)圓中的相關(guān)性質(zhì),可以得到[△AGC∽△BGD],通過相似三角形的性質(zhì),即可求證[EF=BD],于是得到了下面的證法.

      [圖5]

      證法2:如圖5,延長EA,CB交于點G. 因為[EF∥][BC],所以[∠E=∠G],[∠AFE=∠ABG]. 所以[△AEF∽][△AGB]. 所以[AEEF=AGGB]. 因為[∠AGC=∠BGD],[∠ACB=][∠BDA],所以[△AGC∽△BGD]. 所以[AGBG=ACBD]. 所以[AEEF=ACBD]. 因為[AE=AC],所以[EF=BD].

      3. 構(gòu)造等腰三角形和平行四邊形

      構(gòu)造等腰三角形和平行四邊形也是證明線段相等的常用方法. 題中已知的數(shù)量關(guān)系有[AE=AC],可以構(gòu)造等腰三角形AEC. 要證明[BD=EF],能否構(gòu)造以BD為腰的等腰三角形呢?聯(lián)想第(2)小題第①問的結(jié)論EF∥BC,自然想到構(gòu)造平行四邊形,得到下面的證法.

      證法3:如圖6,連接EC,過點E作[EH∥BF],交BC的延長線于點H. 所以四邊形EFBH是平行四邊形. 所以[EF=BH,∠EHB=∠AFE]. 因為[∠AFE=∠ADC],所以[∠EHC=∠ADC]. 所以C,D,E,H四點共圓. 則[∠AEC=∠DHB]. 因為[∠DBC=∠DAC],所以[△ACE∽][△BDH]. 所以[ACBD=AEBH]. 因為[AC=AE],所以[BD=BH]. 因為[EF=BH],所以[EF=BD].

      [圖6]

      四、試題的推廣

      一道好的數(shù)學(xué)題往往令人回味無窮,浮想聯(lián)翩. 解題完成后對題目進行重新審視,發(fā)現(xiàn)條件“[AD<][AC]”“[∠ADC<∠BAD]”在解題過程中好像沒有起到太大的作用,那么能否去掉呢?帶著這個疑問,筆者深入探究,同時聚焦圖形軸對稱的本質(zhì),對條件和結(jié)論進行普遍化、特殊化、類比、分解和重組等操作,設(shè)計變式進一步推廣結(jié)論.

      1. 去掉條件[AD<AC]

      當(dāng)[AD=AC]時,點E與點D重合,如圖7所示. 因為[AE=AC],即AD = AC,所以[∠ADC=∠ACD]. 因為[∠ABE=][∠ACD],[∠AFE=∠ADC],所以[∠ABE=][∠AFE]. 所以[EF=BD],結(jié)論成立.

      [圖7] [圖8]

      如圖8,當(dāng)[AD>AC]時,點E在線段AD上. 此時仍然可以利用軸對稱變化,將線段AC和線段BD集中到一個三角形中,通過證明[△AEF≌△GBD]來證明[EF=][BD],結(jié)論仍然成立. 這說明條件[AD<AC]是可以省略的.

      變式1:如圖9,在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中,[AD>][AC],[∠ADC<∠BAD]. 在線段AD上取點E,使[AE=AC],過點E作[EF∥BC],交BA的延長線于點F. 求證:[EF=BD].

      [圖9]

      此變式中的[△AEF]需要學(xué)生自行作圖. 雖然點E的位置發(fā)生改變,但是解決問題的方法不變,結(jié)論仍然成立.

      2. 去掉條件[∠ADC<∠BAD]

      如圖10,當(dāng)[∠ADC=∠BAD]時,點F與點A重合. 因為[∠ADC=∠BAD],所以[AC=BD,AC=BD]. 所以[AB=CD.] 所以[∠ACB=∠CAD]. 所以[BC∥AD]. 因為[EF∥][BC],所以點F與點A重合. 因為[AE=AC],所以[EF=][BD]. 此時,雖然[∠FAE]不存在,但是結(jié)論仍然成立.

      [圖10]

      如圖11,當(dāng)[∠ADC>∠BAD]時,點F在線段AB上. 作AC關(guān)于線段BC的垂直平分線的對稱線段BG,連接DG. 由軸對稱的性質(zhì),可得[BG=AC]. 所以[BG=AC=AE]. 所以[∠BDG=∠ABC=∠AFE],[∠BGD=][∠BAD]. 所以[△AEF≌△GBD]. 所以[EF=BD]. 結(jié)論仍然成立,說明條件[∠ADC<∠BAD]可以省略.

      [圖11] [圖12]

      變式2:如圖12,在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中,[AD<AC],[∠ADC>∠BAD]. 在線段AD的延長線上取點E,使[AE=AC],過點E作[EF∥BC],交線段AB于點F. 求證:[EF=BD].

      此變式中的△AEF需要學(xué)生自行作圖. 雖然點F的位置發(fā)生改變,但是解決問題的方法不變,結(jié)論仍然成立.

      變式3:在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC和BD是四邊形ABCD的對角線,點E在線段AD上(不與點A,D重合),過點E作[EF∥BC],交線段BA的延長線于點F,求證:[EFBD=AEAC].

      此變式對條件進行了一般化處理,需要學(xué)生自行作圖. 其中,點F的位置有三種情況:① 當(dāng)[∠ADC=][∠BAD]時,點F與點A重合;② 當(dāng)[∠ADC>][∠BAD]時,點F在線段AB上;③ 當(dāng)[∠ADC<∠BAD]時,點F在線段BA的延長線上. 此變式的解法還是通過圖形的軸對稱變化,將線段AC和線段BD轉(zhuǎn)化到同一個三角形中,證明該三角形與[△AEF]相似.

      變式4:在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC和BD是四邊形ABCD的對角線,[AD<AC]. 在線段AD上取點E,在直線AB上取點F,連接EF,且滿足[EFBD=AEAC],探究[∠AFE]與[∠ADC]的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

      與變式3相比,變式4將條件和結(jié)論進行了對換. 此時[∠AFE]和[∠ADC]之間的數(shù)量關(guān)系有兩種情況,即[∠AFE=∠ADC]或[∠AFE+∠ADC=180°].

      五、對試題命制的評析

      《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(以下簡稱《標準》)對第四學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W業(yè)質(zhì)量描述中指出,知道運動過程中的不變量、圖形運動的變化特征,能運用幾何圖形的基本性質(zhì)進行推理證明,初步掌握幾何證明方法,進一步增強幾何直觀、空間觀念和推理能力. 幾何試題的評價要凸顯幾何直觀、空間觀念和推理能力等核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn).

      首先,素養(yǎng)立意下的適度創(chuàng)新. 通過對上述解法的分析與拓展,發(fā)現(xiàn)命題者以素養(yǎng)立意為導(dǎo)向來選擇合適的素材. 近年來,各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中壓軸題的命制傾向于以圓為背景的綜合性試題,聚焦對圓內(nèi)部圖形的性質(zhì)探究. 但此題的命制卻另辟蹊徑,將圓的內(nèi)接四邊形延伸到圓外的三角形,以圓為關(guān)聯(lián),架構(gòu)對圓的內(nèi)接四邊形與圓外部三角形關(guān)系的研究. 看似“年年歲歲花相似”,但“歲歲年年花不同”. 由于立意不同,試題內(nèi)涵與同類試題也大相徑庭,有效地避免了學(xué)生對同類型題的重復(fù)練習(xí).

      其次,聚焦對“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心內(nèi)容進行考查. 基于平行線、直角三角形、圓、等腰三角形等幾何基本圖形,考查了學(xué)生對平行線的判定定理、圓周角定理、圓心角定理、全等三角形等基礎(chǔ)知識的掌握情況,以及綜合利用圓的內(nèi)接四邊形的對角互補、直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定定理、相似三角形的性質(zhì)等知識解決問題的能力.

      在具體設(shè)問上,第(1)小題設(shè)置圓心在圓的內(nèi)接四邊形的一條邊上,由已知圓外三角形的一個外角探索圓內(nèi)的圓周角. 第(2)小題由兩個小問組成. 第①問中,由圓心在圓的內(nèi)接四邊形的邊上這個特殊位置到一般位置的變化,體現(xiàn)了從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想,讓學(xué)生探究圓外三角形的主要元素邊EF與圓的內(nèi)接四邊形ABCD的主要元素邊BC的位置關(guān)系;第②問中,讓學(xué)生繼續(xù)探究圓外三角形的主要元素邊EF與圓的內(nèi)接四邊形ABCD的相關(guān)元素對角線BD的數(shù)量關(guān)系,重視對數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查.

      最后,設(shè)問前后連貫、層次分明. 整道題的設(shè)問聚焦圓的內(nèi)接四邊形ABCD的主要元素及相關(guān)元素與圓外部三角形的主要元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 各小問進階層次分明、前后連貫、邏輯一致,很好地體現(xiàn)了邏輯推理的傳遞性. 解答的起點低、入口寬,各小問之間層層推進. 最后一問的證明方法多樣,在構(gòu)造全等三角形、相似三角形和等腰三角時,蘊含尺規(guī)作圖或幾何變換等方法,不僅考查了學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容和通法通性,也考查了學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力,更凸顯了思維的深刻性和靈活性,能很好地引領(lǐng)教與學(xué).

      那么,什么樣的試題才是好的試題呢?吳增生認為,好的試題有以下三個特征:試題的有效性與可靠性;試題的教育性;試題的教學(xué)導(dǎo)向性. 通過上述分析,發(fā)現(xiàn)該題具有這些特征.

      六、教學(xué)建議

      《標準》在學(xué)業(yè)水平考試中,明確要求問題的設(shè)置要有利于考查對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律的理解、表達和應(yīng)用,注重考查學(xué)生的思維過程. 2024年中考浙江卷的幾何壓軸題條件簡潔、內(nèi)涵豐富而又深刻. 問題聚焦對“圖形與幾何”領(lǐng)域基本概念和基本性質(zhì)的考查,在幾何推理過程中顯露了學(xué)生的思維過程,考查了學(xué)生的幾何直觀和推理能力等素養(yǎng),彰顯了“堅持素養(yǎng)立意,凸顯育人價值”的命題原則. 對于在日常的幾何教學(xué)中如何提高學(xué)生的推理能力,筆者給出如下建議.

      1. 關(guān)注圖形的構(gòu)造過程

      圖形不僅是幾何題目的研究對象,對于很多與幾何沒有關(guān)系的題目,圖形也是一個重要的幫手. 如果一道幾何題中有很多細節(jié),我們不可能同時想象出所有的細節(jié),但它們卻能同時體現(xiàn)在一個圖形中. 當(dāng)題中沒有給出圖形時,我們要根據(jù)所給條件畫出對應(yīng)圖形,并將題中所給的條件盡可能多地標注在圖形上. 當(dāng)題中給出圖形時,也要引導(dǎo)學(xué)生思考圖形的要素是如何構(gòu)造出來的,即思考:先確定什么要素,再確定什么要素?圖形的結(jié)構(gòu)(形狀)是唯一確定的嗎?圖形的大小確定嗎?例如,對于圖2,教師可以追問學(xué)生:“點E和點F是如何確定的?你能根據(jù)題中所給的四邊形ABCD畫出△AEF嗎?”作圖就是確定點的位置,通過兩條軌跡的交點來作出這個點. 點E容易找,但是點F的位置不好確定,需要將[∠AFE=][∠ADC]的條件轉(zhuǎn)化為[EF∥BC]的位置關(guān)系. 對于變式1和變式2,需要構(gòu)造△AEF;對于變式3,則需要構(gòu)造出全部圖形,同時點F的位置有三種情況,結(jié)論不變;對于變式4,根據(jù)條件可知滿足要求的點F的位置有兩個,所以[∠AFE和∠ADC]之間的數(shù)量關(guān)系存在兩種情況. 思考作圖的先后順序可以有效引導(dǎo)解題思路,為解題提供重要線索. 因此,關(guān)注圖形的構(gòu)造過程,可以培養(yǎng)學(xué)生有序思考的習(xí)慣和嚴謹?shù)倪壿嬎季S,提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

      2. 關(guān)注圖形的對稱結(jié)構(gòu)

      幾何證明題的難點在于轉(zhuǎn)化已知條件,建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系. 這需要教師從中“牽線搭橋”.“造橋”的靈感來自于哪?是否有跡可循?章建躍博士認為,我們應(yīng)該追求解決問題的“根本大法”——基本概念所蘊含的思想方法,強調(diào)思想指導(dǎo)下的解題操作. 圓的對稱性是圓最基本的性質(zhì),基于對稱性可以推導(dǎo)出垂徑定理等性質(zhì). 同時,圖形的軸對稱變化也是圖形變化、轉(zhuǎn)化條件的重要方法. 因此,在日常教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的整體結(jié)構(gòu). 例如,在圓的單元復(fù)習(xí)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)可以設(shè)置如下問題:“圓是軸對稱圖形,在圓中添加任意一條弦還是軸對稱圖形. 如果在圓中添加兩條弦,你能得到哪些軸對稱圖形?盡可能多地畫出不同圖形并標出對稱軸.”學(xué)生在進行充分地思考、畫圖、交流、補充后,可以得到如圖13 ~ 圖16這四種對稱結(jié)構(gòu),而題目最后一問的基本圖形結(jié)構(gòu)就是圖15和圖16. 與圓相關(guān)的問題往往是這些圖形的分解和重組. 因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的對稱結(jié)構(gòu).

      [圖13] [圖14]

      [圖15] [圖16]

      七、結(jié)束語

      正如羅素所說,數(shù)學(xué),如果正確地看,不但擁有真理,而且具有至高的美. 對于這道以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的中考試題,從軸對稱的視角看圖形的整體結(jié)構(gòu),不但多種解法油然而生,而且能使學(xué)生從中感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)、解題的通性通法和圖形結(jié)構(gòu)的對稱美.

      參考文獻:

      [1]波利亞. 怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 涂泓,馮承天,譯. 上海:上??萍冀逃霭嫔纾?011.

      [2]章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄(下卷)[M]. 杭州:浙江教育出版社,2017.

      [3]吳增生. 初中數(shù)學(xué)畢業(yè)考試命題變革的思考與實踐[J]. 數(shù)學(xué)通報,2021,60(1),41-51.

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