［摘 要］數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及積極的情感態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。教師應(yīng)將提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)落實到具體的教學(xué)過程中，設(shè)計遞進性探究問題，開展探究、合作、自主性數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、驗證的過程，讓學(xué)生自主探究、思考、反思，逐漸養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和形成數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］過程教學(xué)；核心素養(yǎng)；方差公式

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1674-6058（2024）26-0011-03

在學(xué)習(xí)方差的概念時，部分學(xué)生會提出疑問：為什么方差的定義為取其平方，而不是直接取絕對值呢？一些教師僅簡單解釋：取絕對值也是衡量數(shù)據(jù)波動的方式，但取平方應(yīng)用更廣泛。這種解釋只是單方面的告知，未能讓學(xué)生理解知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，也缺乏對知識結(jié)果合理性的深刻體會，導(dǎo)致他們對方差概念的形成過程感到模糊，這種模糊性加大了學(xué)生對方差公式的理解難度，導(dǎo)致應(yīng)用時頻繁出錯。那么，如何有效引導(dǎo)學(xué)生去探究方差公式的產(chǎn)生和形成過程呢？筆者認(rèn)為，可從實際問題出發(fā)，對數(shù)據(jù)進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)等統(tǒng)計量在區(qū)分兩組數(shù)據(jù)的集中程度上失效，同時凸顯出平均差在反映數(shù)據(jù)波動程度方面的不足；讓學(xué)生通過不斷嘗試、探究，發(fā)現(xiàn)已有知識無法解決問題，從而體會到知識的局限性，感受到方差產(chǎn)生的必要性。在驗證方差公式形式合理性的過程中，讓學(xué)生進一步理解和感受方差公式結(jié)構(gòu)的形成，深化對方差概念的理解。下面以“探究方差公式的產(chǎn)生和形成”為例對此過程進行詳細(xì)闡述，希望能為同行提供有益的參考。

一、教學(xué)過程

（一）問題引入，感受方差產(chǎn)生的必要性

教師通過聯(lián)系生活中的實際問題引導(dǎo)學(xué)生探究方差公式，使他們感受到方差產(chǎn)生的必要性。

教學(xué)片段如下：

師：我們已經(jīng)學(xué)會了用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來刻畫一組數(shù)據(jù)的集中程度，請同學(xué)們嘗試解決以下問題。

問題：城北學(xué)校即將舉行校八年級數(shù)學(xué)競賽，801班的甲、乙兩名同學(xué)都想?yún)⒓?，但由于人?shù)限制，只能選一人。甲、乙兩名同學(xué)本學(xué)期的測試成績列表如下：

[甲 100 85 98 93 94 乙 100 88 90 94 98 ]

如果你是老師，你認(rèn)為挑選哪一名同學(xué)參加競賽比較合適？請說明理由。

生1：甲和乙的測試成績無法通過眾數(shù)衡量，兩人的中位數(shù)都是94，那肯定是平均數(shù)不一樣。

師：請兩位同學(xué)上黑板來計算甲、乙的平均成績。

兩位學(xué)生的板書如下：

生2：[x甲=100+85+98+93+945=94]，[x乙=100+88+90+94+985=94]。

生3：[x甲=95+5-10+3-2-15=94]，[x乙=95+5-7-5-1+35=94]。

生4：甲、乙兩位同學(xué)的平均數(shù)是一樣的，這是不對的。

師：也就是說眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)無法區(qū)分甲、乙兩組數(shù)據(jù)的集中程度，請同學(xué)們回顧統(tǒng)計活動的基本過程，想一想可以借助什么來繼續(xù)探究這個問題。

生5：統(tǒng)計活動的基本過程包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)，我們可以借助統(tǒng)計圖來探究這個問題。

評析：在剛學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的統(tǒng)計意義后，學(xué)生面對這個問題，首先會思考能否用這三個統(tǒng)計量來衡量甲、乙兩人成績的集中程度。經(jīng)過一番嘗試與排除，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用這三個統(tǒng)計量難以有效區(qū)分甲、乙兩人的成績特點。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生借助統(tǒng)計圖這一工具深入探究問題。這一過程，不僅復(fù)習(xí)了衡量數(shù)據(jù)集中程度的常用統(tǒng)計量，還啟發(fā)了學(xué)生在遇到現(xiàn)有統(tǒng)計量無法直接解決問題時，靈活調(diào)整思路，探究新的研究方法。

（二）基于認(rèn)知，了解方差概念的產(chǎn)生過程

師：請同學(xué)們選擇合適的統(tǒng)計圖來描述甲、乙兩位同學(xué)的成績。

（利用希沃白板展示學(xué)生所選擇的統(tǒng)計圖，如圖1、圖2所示）

師：觀察這些統(tǒng)計圖，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：從折線統(tǒng)計圖來看，甲數(shù)學(xué)成績的波動程度比乙大。

師：不錯。從統(tǒng)計圖來看，甲、乙數(shù)學(xué)成績的波動情況不同。那么從圖中看出的結(jié)果能否用數(shù)據(jù)來描述或者通過算式來體現(xiàn)呢？

（學(xué)生思考）

評析：此環(huán)節(jié)從貼近學(xué)生生活的實際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生深入探究。在探究過程中，學(xué)生嘗試運用所學(xué)知識解決問題，但很快發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識并不能直接解決問題。隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生繪制并仔細(xì)分析統(tǒng)計圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以通過觀察數(shù)據(jù)的波動程度來有效區(qū)分兩組數(shù)據(jù)。這為方差的引入做好鋪墊。對于一組數(shù)據(jù)，經(jīng)過統(tǒng)計圖表的整理和描述，其分布特征得以清晰地呈現(xiàn)出來。然而，直接從圖表中讀取結(jié)論只是第一步，學(xué)生更需建立數(shù)據(jù)分析的觀念。因此，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生思考，并鼓勵他們計算出能表示數(shù)據(jù)分布特征和規(guī)律的特征量，從而推動他們對方差公式及其結(jié)構(gòu)做進一步的探究。

（三）探索思考，把握方差公式的結(jié)構(gòu)

教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何更好地刻畫一組數(shù)據(jù)的波動程度，并逐步引導(dǎo)他們探究方差公式的結(jié)構(gòu)。

教學(xué)片段如下：

師：數(shù)據(jù)的波動程度反映了各個數(shù)據(jù)偏離其中心值的程度。對此，同學(xué)們有什么想法？

生7：老師，可不可以比較甲、乙成績與平均數(shù)的差或和。

師：可以嘗試一下。

（學(xué)生計算）

生8：甲為[6-9+4-1+0=0]，乙為[6-6-4+0+4=0]，計算結(jié)果都是0。

師：出現(xiàn)這種情況的原因是什么？

生9：正數(shù)和負(fù)數(shù)相互抵消。

師：有什么辦法可以解決這個問題？

生10：改為用大數(shù)減小數(shù)。

生11：給作差的結(jié)果添上絕對值。

師：繼續(xù)嘗試一下。

（學(xué)生計算）

生10：甲為[6+9+4+1+0=20]，乙為[6+6+4+0+4=20]。

生11：甲為[6+-9+4+-1+0=20]，乙為[6+-6+-4+0+4=20]。

生12：老師，計算結(jié)果又相同了。

師：你們采用大數(shù)減小數(shù)和給作差的結(jié)果添加絕對值的方法是想將負(fù)數(shù)調(diào)整為正數(shù)，使之不再出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù)相互抵消的情況，思路是對的。那么還有沒有其他方法同樣能達(dá)到這個效果呢？

（學(xué)生思考）

生13：進行平方。

師：方法可行，請同學(xué)們嘗試計算，并思考三種處理方法的異同點和優(yōu)缺點。

（學(xué)生計算并思考）

生14：甲為[62+（-9）2+42+（-1）2+02=134]，乙為[62+（-6）2+（-4）2+02+42=104]。

生15：這三種方法都能避免出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù)相互抵消的問題，然而采用大數(shù)減小數(shù)和添加絕對值的方法在某種情況下會導(dǎo)致兩組數(shù)據(jù)求和的結(jié)果相同，從而無法區(qū)分它們的波動程度。而平方法的優(yōu)點在于它能夠?qū)⒃静钪递^大的結(jié)果進一步放大，從而達(dá)到區(qū)分兩組數(shù)據(jù)波動程度的目的。

師：非常不錯。同學(xué)們通過不斷地思考、探究，成功找到了區(qū)分兩組數(shù)據(jù)波動程度的方法，教科書對你們的計算方法進行了優(yōu)化調(diào)整，具體做法是將計算結(jié)果除以測試次數(shù)，以得到平均值。請同學(xué)們分別計算、觀察兩種方法所得的計算結(jié)果，看看哪一種方法更好。

生16：如果求平均值，則可以使計算結(jié)果的數(shù)值變小，更美觀。

師：不錯。同學(xué)們通過思考、探究得出的區(qū)分兩組數(shù)據(jù)波動程度的方法，也是衡量數(shù)據(jù)波動程度的一種非常重要的數(shù)學(xué)工具，我們稱之為方差，記作[S2]。在一般情況下，假設(shè)有[n]個數(shù)據(jù)[x1]，[x2]，…[xn]，且這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是[x]，那么描述這組數(shù)據(jù)波動程度的方差公式如何表示呢？

生17：[S2=（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n]。

師：根據(jù)計算結(jié)果，兩組數(shù)據(jù)中是方差越小波動越小，還是方差越小波動越大？

生18：方差越小，波動越小。

評析：此環(huán)節(jié)中，教師根據(jù)學(xué)生在解決問題的過程中遇到的困難，適時引導(dǎo)學(xué)生探究并嘗試可行的解決方法。當(dāng)學(xué)生得出不同的解題策略時，教師進一步引導(dǎo)他們分析這些方法的優(yōu)劣，從而確定解決問題的最優(yōu)方案。這樣的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷了“思考—嘗試探究—反思—繼續(xù)探究—歸納總結(jié)”的完整過程，從而對方差的產(chǎn)生背景有了深刻的理解，對方差公式的結(jié)構(gòu)也形成了更加清晰的認(rèn)知。

二、教學(xué)反思

數(shù)據(jù)觀念主要是指對數(shù)據(jù)的意義和隨機性有比較清晰的認(rèn)識。數(shù)據(jù)觀念是學(xué)生在參考數(shù)據(jù)相關(guān)活動的過程中逐漸建立起來的，具體表現(xiàn)為對數(shù)據(jù)的一種獨特“領(lǐng)悟”，即能夠基于數(shù)據(jù)進行合理推測的意識，以及對數(shù)據(jù)思維方法的獨特性和應(yīng)用價值的深刻體會和認(rèn)識。形成數(shù)據(jù)觀念有助于理解和表達(dá)生活中隨機現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，感知大數(shù)據(jù)時代數(shù)據(jù)分析的重要性，養(yǎng)成重數(shù)據(jù)、講道理的科學(xué)態(tài)度。

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)觀念的最佳途徑是讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全過程，包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析。在這一過程中，學(xué)生能夠認(rèn)識到在解決眾多實際問題時，數(shù)據(jù)的收集是首要步驟，隨后通過細(xì)致分析可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊藏的信息。更為重要的是，學(xué)生將會運用多種方法來分析同一組數(shù)據(jù)，根據(jù)具體問題的實際背景做出準(zhǔn)確的判斷，并選擇最合適的方法解決問題。這一系列的實踐體驗，讓學(xué)生深刻感受到了統(tǒng)計學(xué)的實際價值，進而促進他們應(yīng)用意識的發(fā)展。

本課教學(xué)，首先從與學(xué)生生活緊密相關(guān)的實際問題切入，使學(xué)生在嘗試運用已有知識解決問題卻遭遇困境的矛盾沖突中，深刻感受方差產(chǎn)生的必要性。其次，引導(dǎo)學(xué)生回顧并深入思考數(shù)據(jù)處理的基本流程，幫助學(xué)生建立起數(shù)據(jù)分析的初步觀念。再次，引導(dǎo)學(xué)生借助統(tǒng)計圖及細(xì)致觀察圖表，分析兩組數(shù)據(jù)的差異，進而引出利用數(shù)據(jù)的波動程度作為衡量兩組數(shù)據(jù)差異的新方法。最后，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出方差的公式。一開始，學(xué)生想要通過計算各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和來反映數(shù)據(jù)的波動程度，但他們遇到了困難：由于數(shù)據(jù)既有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，這些差值在相加時往往會相互抵消，導(dǎo)致最終的計算結(jié)果均為0，無法有效反映數(shù)據(jù)的真實波動情況。對此，教師并未直接給出答案，而是引導(dǎo)學(xué)生自主思考并探索可行的解決方案。經(jīng)過學(xué)生的積極思考與熱烈討論，最終形成了三種主要的方法：一是采用大數(shù)減小數(shù)的方式；二是將數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差取絕對值；三是求數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方。通過對比和總結(jié)三種方法的異同點和優(yōu)缺點，學(xué)生得出了方差公式的形式，這不僅加深了學(xué)生對方差概念的理解，還培養(yǎng)了他們的邏輯推理能力和問題解決能力。

這種以生為本的教學(xué)模式，十分重視學(xué)生的思維發(fā)展。在此模式下，教師作為引導(dǎo)者，要設(shè)計一系列富有探究性的問題，以有效引導(dǎo)學(xué)生自主、積極地投入探究與合作學(xué)習(xí)中。教師要不斷啟發(fā)學(xué)生，促使他們將新知識與已有的知識經(jīng)驗建立聯(lián)系，形成知識的融會貫通；引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題以及反思?xì)w納的過程，深入了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，進而構(gòu)建穩(wěn)固的知識框架。這一系列活動，不僅有助于學(xué)生形成良好的自我意識，更重要的是能夠真正促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展。

培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是一個循序漸進、日積月累的過程。教師需將提升學(xué)生的核心素養(yǎng)作為教學(xué)的核心目標(biāo)，并將其貫穿于日常教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)中。教師應(yīng)設(shè)計具有探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生積極參與觀察、實驗、猜想、驗證等數(shù)學(xué)活動，從而實現(xiàn)從習(xí)題到問題、從問題到思維、從思維到素養(yǎng)的深層次轉(zhuǎn)變。在這一過程中，學(xué)生將逐漸養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣，掌握數(shù)學(xué)的思想方法，最終促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效落地。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2011年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 李繼選.解二元一次方程組教學(xué)要突出消元思想[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（9）：44-46.

[3] 邢介鵬.融入核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（10）：92-93.

[4] 羅綿景.滲透數(shù)學(xué)思想，提升核心素養(yǎng)：基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（2）：56-57.

（責(zé)任編輯 黃春香）