［摘 要］文章從不同的視角對(duì)一道直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合題進(jìn)行解讀，以使學(xué)生從中感悟解題的真諦，提升思維品質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］直線(xiàn)；圓錐曲線(xiàn)；綜合題；解讀

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2024）26-0017-03

題不在多，而在于精。把一道好題弄懂、想全、做透，能達(dá)到“解一題，通一片”的效果?；诖?，本文以一道直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合題為例，從不同的視角對(duì)其加以解讀，以使學(xué)生從中感悟解題的真諦，提升思維品質(zhì)。

一、試題呈現(xiàn)

已知雙曲線(xiàn)[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4[2]，3），且焦距是10。

（1）求曲線(xiàn)[C]的方程；

（2）已知點(diǎn)[B（42，-3）]，[D（22，0）]，[E]是線(xiàn)段[AB]上一點(diǎn)，直線(xiàn)[DE]與曲線(xiàn)[C]相交于[G]，[H]兩點(diǎn)。求證：[GDGE=HDHE]。

二、解法探究

本題第（1）問(wèn)屬于基礎(chǔ)題，只需根據(jù)題意列方程組求出[a]，[b]，即可得出曲線(xiàn)[C]的方程，主要考查待定系數(shù)法和方程思想。解法如下：

由題意可得[32a2-9b2=1 ]，[2c=10 ]，則由[32a2-9b2=1，2c=10，c2=a2+b2，]解得[a2=16]，[b2=9]，所以曲線(xiàn)[C]的方程為[x216-y29=1]。

本題的難點(diǎn)在于第（2）問(wèn)，先畫(huà)出示意圖（如圖1），求解時(shí)，需注意[A]和[B]的坐標(biāo)[（42，3）]和[（42，-3）]，揭示兩者間的位置關(guān)系，以及[D]，[E]，[H]，[G]四點(diǎn)共線(xiàn)的幾何特征。根據(jù)[D]，[E]，[H]，[G]四點(diǎn)共線(xiàn)可知，要證[GDGE=HDHE]，即證：斜率相等、共線(xiàn)或[GD·HE=GE·DH]。本題第（2）問(wèn)有多種證法，技巧性很強(qiáng)，能綜合考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。下面讓我們帶著問(wèn)題來(lái)探究它的多種解法。

方法1：（聯(lián)立法+韋達(dá)定理式法）

設(shè)[E（42，t）]，[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，當(dāng)[x=42]時(shí)，即[3216-y29=1]，解得[y=±3]，則[t<3]（這里請(qǐng)大家思考：為什么要求“[t<3]”？），又因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為[y=±34x]，所以當(dāng)直線(xiàn)[DE]與漸近線(xiàn)平行時(shí)，其和雙曲線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)[DE]的方程為[y=±34（x-22）]，令[x=42]，則[y=±322]，故[t≠322]，則直線(xiàn)[DE]的方程為[y=t22（x-22）]（這里請(qǐng)大家思考：設(shè)定的依據(jù)是什么？），由[y=t22（x-22），x216-y29=1，]得[（9-2t2）x2+82t2x-16t2-144=0]，所以[x1+x2=82t22t2-9]，[x1x2=16t2+1442t2-9]。

[GD·HE-GE·DH]

[=（22-x1，-y1）（42-x2，t-y2）-（42-x1，t-y1）（x2-22，y2）]

[=2x1x2+2y1y2-62（x1+x2）-t（y1+y2）+32]

[=2+t24x1x2-324t2+62（x1+x2）+4t2+32]

[=4（t2+8）（t2+9）2t2-9-4t2（3t2+24）2t2-9+4t2+32=0]

（這里請(qǐng)大家思考：如何用好根與系數(shù)關(guān)系式？），所以[GD·HE=GE·DH]，所以[GDHEcos0=GEDHcos0]，即[GDGE=HDHE]。

說(shuō)明：本題第（2）問(wèn)不能直接計(jì)算長(zhǎng)度，否則計(jì)算量過(guò)大，于是轉(zhuǎn)化為證明向量數(shù)量積之間的關(guān)系，采取設(shè)[E（42，t）]，從而得到直線(xiàn)[DE]的方程，再使用經(jīng)典的聯(lián)立法，得到韋達(dá)定理式，然后證明[GD·HE-GE·DH=0]。

方法2：（反設(shè)直線(xiàn)聯(lián)立法）

設(shè)直線(xiàn)[DE]的方程為[x=my+22]（請(qǐng)大家思考：這樣設(shè)定的優(yōu)點(diǎn)有哪些？），令[x=42]得[y=22m]，故[E42，22m]，設(shè)[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[x=my+22，x216-y29=1，]得[（9m2-16）y2+362my-72=0]，則[y1+y2=-362m9m2-16]，[y1y2=-729m2-16]，①

要證[GDGE=HDHE]，只需證[y1y1-22m=y222m-y2]，即證[2m（y1+y2）=y1y2]，據(jù)①式易驗(yàn)證，此式成立，故[GDGE=HDHE]成立。

方法3：（設(shè)點(diǎn)不聯(lián)立法）

設(shè)[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[D，H，G]三點(diǎn)共線(xiàn)可得[y1x1-22=y2x2-22]（這里請(qǐng)大家思考：如何注意并用好對(duì)稱(chēng)性？），兩邊平方得[y21（x1-22）2=y22（x2-22）2]，②

又由[x2116-y219=1，x2216-y229=1，]得[y21=9x2116-1，y22=9x2216-1，]將其代入②式化簡(jiǎn)得[x1x2+16=32（x1+x2）]，

要證[GDGE=HDHE]，只證[x1-2242-x1=22-x242-x2]，即證[x1x2+16=32（x1+x2）]，故得證。

方法4：（設(shè)點(diǎn)不聯(lián)立法）

設(shè)[G（x1，y1）]，[H（x2，y2）]，由[D，H，G]三點(diǎn)共線(xiàn)可得[y1x1-22=y2x2-22]，所以[x2y1-x1y2=22（y1-y2）]，又由[x2116-y219=1，x2216-y229=1，]得[x21=16y219+1，x22=16y229+1]要證[GDGE=HDHE]，只要證[y1-y2=42-x242-x1]，即證[x1y2+x2y1=42（y1+y2）]，③

[而x1y2+x2y1 =x21y22-x22y21x1y2-x2y1 =16y219+1y22-16y229+1y2122（y1-y2） =42（y1+y2），]

即③式成立，故[GDGE=HDHE]得證。

方法5：（三角萬(wàn)能公式換元不聯(lián)立法）

設(shè)[G4·1+t211-t21，3·2t11-t21]，[H4·1+t221-t22，3·2t21-t22]（這里請(qǐng)大家注意：標(biāo)準(zhǔn)方程[x216-y29=1]與三角萬(wàn)能公式[sec2α-tan2α=1]的關(guān)聯(lián)，利用三角萬(wàn)能公式表示[secα]，[tanα]），由[D]，[H]，[G]三點(diǎn)共線(xiàn)可得[3·2t11-t214·（1+t22）1-t21-22=3·2t21-t224·（1+t22）1-t22-22]，化簡(jiǎn)得[t1t2=3-22]④，要證[GDGE=HDHE]，只要證[yG-yH=42-xG42-xH]，即證[3·2t11-t21-3·2t21-t22=42-4·1+t211-t2142-4·1+t221-t22]，即證[-t1t2=42-4-（42+4）t2142-4-（42+4）t22]，即證[（42-4）（t1+t2）=（42+4）（t1+t2）t1t2]，即證[42-4=（42+4）t1t2]，⑤

將④式代入⑤式，成立，故[GDGE=HDHE]得證。

三、解后反思

一般而言，解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)綜合題的方法主要有以下三種：

（一）根與系數(shù)的關(guān)系法（主流方法）

設(shè)出動(dòng)直線(xiàn)的方程并與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立消元得到關(guān)于[x（y）]的一元二次方程，進(jìn)而得出兩根之和與兩根之積，同時(shí)兼顧[Δ>0]或[Δ=0]的要求，利用兩根之和與兩根之積進(jìn)行整體代換、整體變形而求解。

（二）多變量多參數(shù)聯(lián)動(dòng)變換法（圓曲不聯(lián)立）

此種方法不聯(lián)立方程消元求解，而是直接將所設(shè)出的點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)（直線(xiàn)）的方程和題設(shè)中，得到若干個(gè)關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)間的關(guān)系式，對(duì)這些關(guān)系式進(jìn)行整體變形、整體代換而求解。如弦中點(diǎn)問(wèn)題常用點(diǎn)差法處理，此種方法是對(duì)駕馭多變量多參數(shù)代數(shù)式的能力及變換技巧的考驗(yàn)。

（三）設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法

上述兩種方法都采用了設(shè)而不求的策略。當(dāng)問(wèn)題中直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)易求時(shí)，可考慮直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解。

四、一點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)題量無(wú)限，而學(xué)習(xí)時(shí)間有限。因此，為了提高學(xué)生的解題能力，教師在解題過(guò)程中必須注重選題的針對(duì)性和解題的有效性?；诖?，筆者產(chǎn)生了以下幾點(diǎn)思考：

（一）選好題

新高考年年創(chuàng)新，力求全面考查學(xué)生的能力素養(yǎng)。因此，精選試題尤為重要。作為教師，我們每日都能接觸來(lái)自四面八方的各種資料中的試題，但不難發(fā)現(xiàn)，這些試題中大多含金量不高，有的僅是知識(shí)的簡(jiǎn)單拼湊，有的解法生硬嫁接，有的則過(guò)于繁難偏怪。若全盤(pán)接收，顯然失之偏頗。因此，我們應(yīng)對(duì)這些試題進(jìn)行甄別，精心篩選整理，分類(lèi)選優(yōu)，優(yōu)中取優(yōu)。只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)“以一當(dāng)十，以十當(dāng)百，以百當(dāng)千”，從而顯著提升教學(xué)與學(xué)習(xí)的針對(duì)性和有效性。

（二）做對(duì)題

低層次重復(fù)訓(xùn)練和高強(qiáng)度無(wú)效訓(xùn)練，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩大“頑疾”。為了真正實(shí)現(xiàn)給學(xué)生減負(fù)并增效的目標(biāo)，我們應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生做對(duì)題。而做對(duì)題的前提在于選對(duì)方法，這就要求我們引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度深入探究問(wèn)題，以培養(yǎng)他們思維的靈活性和求異性。在探究過(guò)程中，應(yīng)淡化對(duì)特殊方法技巧的依賴(lài)，追求本原性方法的掌握。同時(shí)，注意思維與表述的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)潔性，以及解答的規(guī)范性，這些要素是提高解題有效性的重要保證。

（三）悟透題

知識(shí)在于積累，方法在于感悟。每解完一道題后，我們應(yīng)徹底領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念、原理和思想方法；反思解題中的易錯(cuò)點(diǎn)；感悟不同解法之間的區(qū)別與聯(lián)系。通過(guò)反思與感悟，將整個(gè)解題過(guò)程內(nèi)化為自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的一部分，進(jìn)而達(dá)到“解一題，通一片”的學(xué)習(xí)效果。

（責(zé)任編輯 黃春香）