例談空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建

引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法中煩瑣的分析運(yùn)算過程，只需建立空間直角坐標(biāo)系便可輕松求解。要建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是利用向量解題的第一步，也是關(guān)鍵步驟之一。下面談?wù)劷ㄏ档脑瓌t及常見模型，供同學(xué)們參考。

一、建立直角坐標(biāo)系的原則

1.z 軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)線面垂直的判定定理，即z 軸要與坐標(biāo)平面xOy 垂直，在幾何體中也很直觀，坐標(biāo)原點(diǎn)即為z 軸與底面的交點(diǎn)。

2.x 軸，y 軸的選取對坐標(biāo)是否易于寫出非常關(guān)鍵，下面幾個原則值得參考。

（1）盡可能地讓底面上更多的點(diǎn)位于x軸，y 軸上;

（2）因?yàn)閤 軸，y 軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件;

（3）要利用好對稱關(guān)系，尋找底面上的點(diǎn)是否存在軸對稱。

3.同一個幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會對應(yīng)不同，但是通過坐標(biāo)運(yùn)算所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。

二、常見模型

1.墻角模型：已知條件中有過一點(diǎn)且兩兩相互垂直的三條直線，就是墻角模型。

以該點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以兩兩垂直的三條直線為x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系;當(dāng)條件不明顯時，要先證明過一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直（即一個線面垂直+底面內(nèi)兩條直線垂直），然后建系。

2.垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個平面，此情形包括垂足在平面圖形的頂點(diǎn)處、垂足在平面圖形的邊上（多為中點(diǎn)）和垂足在平面圖形內(nèi)部三種情況。

第一種建系方法以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦 軸的正方向，平面圖形的一邊為x 軸或y 軸，在平面圖形中，過原點(diǎn)作x 軸或y軸的垂線，對應(yīng)為y 軸或x 軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn)），建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1。

第二種建系方法以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦 軸的正方向，垂足所在的一邊為x軸或y 軸，在平面圖形中，過原點(diǎn)作x 軸或y 軸的垂線，對應(yīng)為y 軸或x 軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn)），建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2。

第三種建系方法以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦 軸的正方向，連接垂足與平面圖形的一頂點(diǎn)所在直線為x 軸或y 軸，在平面圖形中，過原點(diǎn)作x 軸或y 軸的垂線，對應(yīng)為y 軸或x 軸（其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn)），建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3。

三、?？碱}型

例1 （2023年全國高考新課標(biāo)Ⅰ卷）如圖4，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，AA1=4。點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1 上，AA2 =1，BB2 =DD2=2，CC2=3。

（1）證明：B2C2∥A2D2;

（2）點(diǎn)P 在棱BB1 上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2 為150°時，求B2P 的值。