【摘 要】文章以教師A、教師B執(zhí)教的兩節(jié)視導(dǎo)課為載體，通過(guò)兩位教師的課堂教學(xué)，揣摩其課堂組織的立意，在講好運(yùn)算與推理故事的宏觀引領(lǐng)下，提出心納法則、選好起點(diǎn)、教好歸納、講好道理的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀點(diǎn)，并認(rèn)為教師要學(xué)會(huì)傾聽(tīng)，做好課堂教學(xué)忠實(shí)的組織者、引導(dǎo)者、發(fā)現(xiàn)者，呵護(hù)好學(xué)生的奇思妙想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算法則；教學(xué)起點(diǎn)；歸納推理；傾聽(tīng)

運(yùn)算與推理是數(shù)學(xué)的“兩條腿”，缺一不可，這就為日常教學(xué)提供了宏觀引領(lǐng)——講好運(yùn)算與推理的故事。代數(shù)的核心在于算（運(yùn)算），幾何的焦點(diǎn)在于證（推理），且推理與運(yùn)算是不可分割的整體。一定意義上說(shuō)，運(yùn)算也是一種推理，而推理是講依據(jù)的，要步步有依，言必有據(jù)，不可恣意而為。這就給我們透視出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)與推理無(wú)形中捆綁在一起。本文基于兩節(jié)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則課，對(duì)教學(xué)進(jìn)行思考，并提出一些建議。

一、心納法則：對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則及其教學(xué)的認(rèn)識(shí)

法則就是規(guī)則，“不以規(guī)矩，不能成方圓”，數(shù)學(xué)莫不如此。雖然這個(gè)規(guī)則是公理化體系下的設(shè)定，也就是數(shù)學(xué)內(nèi)部自圓其說(shuō)的一種規(guī)定，但教師需要讓這一規(guī)定深入學(xué)生內(nèi)心，讓學(xué)生深感認(rèn)同。因此，在教學(xué)中，教師要想方設(shè)法把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，增進(jìn)學(xué)生的心理認(rèn)同感，從現(xiàn)實(shí)生活到已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)學(xué)規(guī)則發(fā)展的角度，加強(qiáng)學(xué)生的規(guī)則意識(shí)，深入學(xué)生內(nèi)心，如此法則教學(xué)才算是到位。若“一個(gè)法則、三項(xiàng)注意、大量練習(xí)”式的教學(xué)必然讓學(xué)生陷入不講道理的死記硬背中，既固化了學(xué)生的思維，又給學(xué)生的記憶增加了外在心理負(fù)荷和認(rèn)知負(fù)荷。教師讓學(xué)生在沒(méi)有真正心理認(rèn)同下去守規(guī)則，其實(shí)就是一種教育教學(xué)的“強(qiáng)權(quán)”。“強(qiáng)權(quán)”下的霸道往往會(huì)引起人的反感，縱然能讓學(xué)生“屈從”，但如此屈從可想而知結(jié)果會(huì)如何。因此，法則課，尤其是法則起始課，重心就是想方設(shè)法贏得學(xué)生的認(rèn)同，以展現(xiàn)數(shù)學(xué)既要講推理，更要講道理的本色。

法則教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，如何讓學(xué)生真正理解法則、掌握法則是教學(xué)的難點(diǎn)。其“根”“本”就是讓學(xué)生親歷法則的形成過(guò)程，將帶有生硬規(guī)定性的法則變成學(xué)生的自然生成，充分淡化生硬的規(guī)定痕跡。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)立足學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、已有知識(shí)水平等現(xiàn)實(shí)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)巧妙設(shè)計(jì)的情境問(wèn)題的解決，有效促進(jìn)法則的生成。如此，不但讓學(xué)生感知到法則是已有知識(shí)自身發(fā)展的內(nèi)在邏輯（學(xué)術(shù)形態(tài)），讓法則順理成章，而且讓學(xué)生體悟到法則的“深情厚義”，入情、入心、入理，根植學(xué)生腦際（教育形態(tài)），從而讓法則的出現(xiàn)自然而然。誠(chéng)然，只有讓學(xué)生心納了，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到規(guī)則的脈絡(luò)相連，學(xué)生學(xué)得才有意思，教師的教才更有意義，學(xué)生才會(huì)心悅誠(chéng)服地去執(zhí)行、去落實(shí)，進(jìn)而增進(jìn)理解。

二、選好起點(diǎn)：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成敗的關(guān)鍵

本文選取兩節(jié)數(shù)學(xué)運(yùn)算法則課進(jìn)行論述，一節(jié)是教師A執(zhí)教的“有理數(shù)的乘法”起始課，使用了“蝸牛爬行”的生活情境展開(kāi)研究，并延伸到多個(gè)數(shù)相乘的法則及運(yùn)算；另一節(jié)是教師B執(zhí)教的“有理數(shù)的除法”起始課，直接給出“怎樣計(jì)算8÷（-4）”這一問(wèn)題。這兩節(jié)課均是典型的法則課。作為兩個(gè)法則的第一課時(shí)，獲得法則是教學(xué)的重點(diǎn)，如何獲得法則成為教學(xué)的關(guān)鍵，其中對(duì)隱匿于法則來(lái)龍去脈中的思想方法的挖掘是教學(xué)的難點(diǎn)所在。這兩節(jié)課的教學(xué)起點(diǎn)在哪里？具體是什么？這是值得我們深入思考并研究的關(guān)鍵問(wèn)題。

1.有理數(shù)的乘法

有理數(shù)乘法的教學(xué)起點(diǎn)主要取決于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，從邏輯起點(diǎn)來(lái)說(shuō)應(yīng)是有理數(shù)的加法和小學(xué)范圍內(nèi)非負(fù)數(shù)的乘法。選好了起點(diǎn)，教學(xué)才能更好地逼近學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生產(chǎn)生思維共振，使新、舊知識(shí)的界限變淡，使得新知成為舊知的自然生長(zhǎng)。如此，杜威“教育即生長(zhǎng)，教育即經(jīng)驗(yàn)的改造”的論斷就成為教師施教的理論依據(jù)。基于此，用好學(xué)生這些已有的認(rèn)知就成了教學(xué)的關(guān)鍵。教師A有了這種應(yīng)用意識(shí)，也對(duì)各種類(lèi)型進(jìn)行了歸類(lèi)，但最開(kāi)始的復(fù)習(xí)散而不聚焦，沖淡了本節(jié)課的教學(xué)，對(duì)關(guān)鍵的負(fù)數(shù)乘以正數(shù)揭示不夠，關(guān)于它的教學(xué)不夠凸顯。另外，教師A選擇了“蝸牛爬行”問(wèn)題，生活味較濃，一定程度上增進(jìn)了學(xué)生的興趣，但其中的表達(dá)比較繞，增大了學(xué)生的外部認(rèn)知負(fù)荷。從實(shí)驗(yàn)版教材實(shí)施的調(diào)研結(jié)果來(lái)看，很多學(xué)生對(duì)此認(rèn)識(shí)有難度，故現(xiàn)行人教版教材調(diào)整了這一入題的素材，變成當(dāng)下的全程規(guī)律“歸納”問(wèn)題，更具有數(shù)學(xué)味道。

基于此，對(duì)于“有理數(shù)的乘法”的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者建議如下：

一是基于有理數(shù)加法引入乘法?？捎谩埃?3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=？”借力小學(xué)學(xué)過(guò)的乘法意義，學(xué)生不難想到上式可轉(zhuǎn)換為“（-3）×7=？”。如此，一個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題呈現(xiàn)出來(lái)，使得小學(xué)與初中，初中的先與后密切地關(guān)聯(lián)起來(lái)。這展現(xiàn)的是整體化思維，對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展意義重大。

二是可基于小學(xué)的乘法引入，通過(guò)對(duì)小學(xué)乘法的分類(lèi)——正數(shù)乘以正數(shù)、正數(shù)乘以0，增補(bǔ)初中有了負(fù)數(shù)參與運(yùn)算后的負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)乘以正數(shù)、負(fù)數(shù)乘以0的分類(lèi)，讓有理數(shù)乘法悉數(shù)呈現(xiàn)。在排除正數(shù)乘以正數(shù)、正數(shù)乘以0兩類(lèi)情況下，展開(kāi)對(duì)其他類(lèi)型的研究。

2.有理數(shù)的除法

有理數(shù)除法的起點(diǎn)類(lèi)似于前面談到的乘法，一是小學(xué)學(xué)過(guò)的除法運(yùn)算，二是脫胎于有理數(shù)乘法，這種乘除互逆的運(yùn)算關(guān)系值得重視。教師B直接給出一個(gè)除法：怎樣計(jì)算8÷（-4）？這也是教材中開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的問(wèn)題，但如此直接呈現(xiàn)給人一種空降之感。此處無(wú)妨從乘法切入，通過(guò)互逆運(yùn)算關(guān)系順理成章地生長(zhǎng)出除法運(yùn)算，這樣才更體現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的邏輯性，更有數(shù)學(xué)韻味。即用“（-4）×？=8”“？×6=-36”提出問(wèn)題：“如何確定兩個(gè)算式中的問(wèn)號(hào)？”如此一來(lái)，“8÷（-4）=？”的除法運(yùn)算就自然呈現(xiàn)了。

如此瞻前顧后抓聯(lián)系、選起點(diǎn)的切入，乘除運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)再次被強(qiáng)化，數(shù)學(xué)運(yùn)算的發(fā)展就在這樣的脈絡(luò)上得以自然延伸。

三、教好歸納：“有理數(shù)的乘法”起始課的應(yīng)有之義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）在十大核心詞“創(chuàng)新意識(shí)”中指出，獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。［1］《課標(biāo)（2011年版）》把歸納與創(chuàng)新連接在一起，給了歸納重要的地位?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）同樣在“創(chuàng)新意識(shí)”核心素養(yǎng)中提出，初步學(xué)會(huì)通過(guò)具體的實(shí)例，運(yùn)用歸納和類(lèi)比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗(yàn)證。［2］可見(jiàn)，教好歸納是教師義不容辭的責(zé)任，而“有理數(shù)的乘法”就給了教師教好歸納的諸多機(jī)會(huì)。

數(shù)學(xué)中基本的思想主要有三類(lèi)：抽象（分類(lèi)、集合、數(shù)形結(jié)合、符號(hào)表示、對(duì)稱、對(duì)應(yīng)、有限與無(wú)限），推理（歸納、演繹、公理化、理性類(lèi)比、逐步逼近、代換），建模（簡(jiǎn)化、量化、函數(shù)、方程、優(yōu)化、隨機(jī)、抽樣統(tǒng)計(jì)）。這些均是史寧中教授提出的上位思想，它直接對(duì)接數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。其中，推理中的歸納法（歸納推理）是整個(gè)代數(shù)學(xué)的基本大法和基本功。因此，教好歸納就是落實(shí)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的行動(dòng)。對(duì)于“有理數(shù)的乘法”起始課，從人教版數(shù)學(xué)教材來(lái)看，通篇自始至終透射出歸納的痕跡，這種思想的揭示與涵育將成為這節(jié)課的重中之重。因此，本節(jié)課挖掘出歸納推理并教好歸納推理就映射出教師對(duì)教材的理解是否到位的問(wèn)題。“用教材教而不是教教材”，也就是要“教好教材”，把教材專(zhuān)家的集體智慧利用好，變成教學(xué)的智慧，如此才會(huì)有教學(xué)的豐實(shí)與扎實(shí)。

另外，歸納中必然有抽象、概括的助力，歸納的過(guò)程就是歸納推理、抽象概括等數(shù)學(xué)核心思想共情的過(guò)程。久而久之的歷練，學(xué)生就會(huì)慢慢積淀下這些思想的種子，再遇到類(lèi)似情境就可能讓遷移真實(shí)發(fā)生，并逐漸培養(yǎng)起數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

若把歸納放在“有理數(shù)”整章的高度去認(rèn)識(shí)，不難發(fā)現(xiàn)，“有理數(shù)”一章自始至終彰顯了歸納這一主線（歸納一詞顯性出現(xiàn)至少9次，隱性的地方更多，至少20次，僅在本節(jié)教材中就顯性出現(xiàn)了5次）。教材從相反數(shù)、絕對(duì)值、數(shù)軸等概念到有理數(shù)的加法法則（含運(yùn)算律）、減法法則、乘法法則（含運(yùn)算律）、除法法則、乘方法則，一貫而下，然后通過(guò)“乘方”一節(jié)的例題以及后面的“拓廣探索”，以歸納、探尋規(guī)律的方式具體化、顯性化?？梢?jiàn)，教材編寫(xiě)者的良苦用心，教師應(yīng)審慎地解讀教材，充分挖掘教材專(zhuān)家的集體智慧。

很多時(shí)候，教師責(zé)備學(xué)生不去思考、不會(huì)思考，其實(shí)是教師把學(xué)生思考的機(jī)會(huì)錯(cuò)失了或取代了，甚至是丟棄了。課堂教學(xué)中，教師只有善于挖掘教材、用好教材，并在施教過(guò)程中捕捉契機(jī)，讓學(xué)生在新知的探索與形成過(guò)程中，嘗試歸納與概括，經(jīng)歷抽象，使學(xué)生感知思維的脈動(dòng)，借機(jī)向?qū)W生展示思維之道，才能更好地解決學(xué)生“怎么想”“怎么想到”的問(wèn)題，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)理解的層次，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

四、講好道理：三個(gè)及以上數(shù)相乘法則從何而來(lái)

講道理離不開(kāi)推理，更離不開(kāi)經(jīng)驗(yàn)，杜威的教育觀點(diǎn)“教育即經(jīng)驗(yàn)的改造”很好地說(shuō)明了這一點(diǎn)。由兩個(gè)數(shù)相乘到多個(gè)數(shù)相乘，為什么能不加說(shuō)明地把兩個(gè)數(shù)相乘的法則搬用？其間的道理何在？把兩個(gè)數(shù)相乘的法則直接用到三個(gè)及以上的數(shù)相乘，依靠的是運(yùn)算的慣性，還是直接搬用了小學(xué)學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)的多個(gè)數(shù)相乘？諸多疑問(wèn)由此而生。其實(shí)教師不加說(shuō)明地沿用兩個(gè)數(shù)相乘的法則到多個(gè)數(shù)是不講道理的行為，不能認(rèn)為沒(méi)出狀況就可以這樣教（沒(méi)出狀況的原因是這個(gè)終極結(jié)果是對(duì)的），如此之教，會(huì)讓學(xué)生下意識(shí)地跟隨教師養(yǎng)成不講依據(jù)的習(xí)慣。教師應(yīng)先解決兩個(gè)有理數(shù)乘法的交換問(wèn)題，然后再解決乘法的結(jié)合問(wèn)題。由此，從左到右就可以把前兩個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果依次和下一個(gè)數(shù)結(jié)合，完成多個(gè)數(shù)的乘法運(yùn)算，也就是要把乘法運(yùn)算律前置至此（有理數(shù)的加法運(yùn)算律就是安排在多個(gè)數(shù)相加學(xué)習(xí)之前），才能更好地展示數(shù)學(xué)的講道理。故此，不管是為了講好道理的生活邏輯，還是為了講好推理的數(shù)學(xué)邏輯，都需要把教材進(jìn)行調(diào)適（《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)應(yīng)的七年級(jí)上冊(cè)教材已經(jīng)調(diào)了過(guò)來(lái)，把運(yùn)算律與多個(gè)數(shù)相乘的法則進(jìn)行了換位，與有理數(shù)加法運(yùn)算形成一致性）。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)著眼于兩數(shù)相乘法則的獲得及應(yīng)用，多個(gè)數(shù)相乘不應(yīng)該在本節(jié)出現(xiàn)，如此而為會(huì)沖淡教學(xué)重點(diǎn)。

五、學(xué)會(huì)傾聽(tīng)：教師在課堂上的應(yīng)有姿態(tài)

教師要學(xué)會(huì)傾聽(tīng)，既要聽(tīng)懂學(xué)生外化的語(yǔ)言，也要洞察學(xué)生內(nèi)心的思緒，這樣才能做出正確判斷，更好地落實(shí)“串聯(lián)”，以學(xué)定教才有可能。

課堂是師生思維碰撞的交互場(chǎng)，是教學(xué)相長(zhǎng)的生活共同體，一位教師面對(duì)的是眾多學(xué)生，學(xué)生的群體智慧遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越教師。在開(kāi)放的課堂上學(xué)生的思維活躍，有創(chuàng)意的奇思妙想不時(shí)出現(xiàn)，這些突如其來(lái)的生成如何面對(duì)，對(duì)教師來(lái)說(shuō)是一種挑戰(zhàn)，當(dāng)然，若把握好也是出彩的機(jī)會(huì)。特別是出現(xiàn)了意想不到且把握不準(zhǔn)的問(wèn)題時(shí)，教師不可輕易否決或肯定學(xué)生的認(rèn)識(shí)，此時(shí)不妨做一名忠實(shí)的傾聽(tīng)者，可通過(guò)追問(wèn)讓學(xué)生的想法顯現(xiàn)。教師在傾聽(tīng)中去識(shí)別、去判斷、去串聯(lián)，審思學(xué)生的想法，或把問(wèn)題拋給學(xué)生，組織學(xué)生討論交流。在這個(gè)過(guò)程中，群策群力澄明模糊認(rèn)識(shí)，能讓教師贏得主動(dòng)，從而做出合理的判斷，把隨機(jī)生成組織成一次探究活動(dòng)。在本次“有理數(shù)的除法”課堂上，就出現(xiàn)了這種“意外”。一個(gè)學(xué)生提出了一種看似怪誕的做法，對(duì)于分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，她使用了分子除以分子得分子，分母除以分母得分母的做法。這種做法看似荒誕，實(shí)則光點(diǎn)閃爍，創(chuàng)意躍然紙上，可惜創(chuàng)造的心門(mén)讓教師的一句“不可以”給斷然關(guān)閉了。故此，教師應(yīng)敬畏課堂、敬畏學(xué)生，不可輕言“不可以”，要調(diào)節(jié)好自己課堂上的姿態(tài)，真真切切地為學(xué)生的可發(fā)展性服務(wù)，做好課堂教學(xué)忠實(shí)的組織者、引導(dǎo)者、發(fā)現(xiàn)者，呵護(hù)好學(xué)生的奇思妙想。

對(duì)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的深度決定了教師教學(xué)立意的高度。教師只有理解好教材、理解好學(xué)生、理解好數(shù)學(xué)、理解好教學(xué)，才能更好地提升教學(xué)立意的高度。課堂是一門(mén)遺憾的藝術(shù)，我們永遠(yuǎn)行走在課堂優(yōu)化的路上，沒(méi)有最好，只有更好。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

［2］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責(zé)任編輯：羅小熒）