摘要： 針對四旋翼吊掛運輸系統(tǒng)，本文引入了四繩吊掛運輸方式，開展了四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的動力學(xué)建模、軌跡規(guī)劃與控制研究。根據(jù)四旋翼和負載的相對位姿推導(dǎo)了繩索張力，建立了四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的動力學(xué)模型。為平衡運輸時間與負載擺動抑制，引入時間和負載擺幅作為復(fù)合性能指標，利用偽譜法將原本的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，求解了四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的最優(yōu)位置軌跡，設(shè)計了軌跡跟蹤算法，并通過數(shù)值仿真和實驗驗證了這一軌跡的合理性。

關(guān)鍵詞： 無人機吊掛運輸； 非線性規(guī)劃； 擺動抑制； 偽譜法

中圖分類號： V279； O322 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）10-1747-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.013

引 言

無人機是通過無線遙控裝置或機載計算機內(nèi)置程序控制的無人駕駛飛行器。在過去的30多年里，無人機的普及度以前所未有的速度持續(xù)增長。目前有50多個國家正在開發(fā)超過1000種無人機型號，無人機已成為軍事和民用領(lǐng)域的重要組成部分，其作用不容忽視［1］。

無人機的回收技術(shù)有多種選擇，從空中懸停、傘降、起飛架滑行、攔阻網(wǎng)或天鉤懸停、氣墊懸停到垂直懸停［2?7］，都能夠滿足不同的需求。由于復(fù)雜的地形條件和多種規(guī)則的約束，垂直著陸的回收效率要遠遠高于其他回收方式。因此，無人機回收越來越趨向于垂直起降的設(shè)計，最常見的垂直起降型無人機為多旋翼無人機。

鑒于欠驅(qū)動、強耦合和非線性等特點，大量學(xué)者關(guān)注了四旋翼運輸系統(tǒng)［8］。四旋翼運輸負載的方法有兩種。一種是裝配夾持器，但這種附加機構(gòu)會顯著提高四旋翼的附加慣性，從而減緩其姿態(tài)反應(yīng)的速度［9］。另一種方法是通過繩索連接四旋翼和負載，保持了四旋翼的敏捷性［10］。

本文針對第二種方法開展研究。采用四旋翼吊掛運輸系統(tǒng)能夠有效避免負載外形與夾具的不匹配，減少負載對四旋翼轉(zhuǎn)動慣量的影響，提升其靈活性，使其能夠在復(fù)雜的環(huán)境中迅速、有效地完成作業(yè)，而且無需考慮陸上交通的限制。

四旋翼吊掛運輸系統(tǒng)按連接負載的繩索數(shù)量可分為四旋翼單繩吊掛運輸系統(tǒng)和四旋翼多繩吊掛運輸系統(tǒng)。四旋翼單繩吊掛運輸系統(tǒng)是利用四旋翼位置運動和負載振蕩之間的自然耦合來實現(xiàn)對負載的擺動抑制。文獻［11］研究了弱非線性條件下受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并設(shè)計了一個實驗系統(tǒng)，以便更好地控制繩系單體系統(tǒng)的面內(nèi)運動。文獻［12］提出了一種新的方法，將機器人的振動控制轉(zhuǎn)換為模態(tài)空間，以便更好地控制柔性機器人的低階振動，該方法通過規(guī)劃支桿的局部運動實現(xiàn)這一目標。文獻［13］提出了一種非線性有限時間控制策略來解決四旋翼吊掛運輸系統(tǒng)的運動控制問題，實現(xiàn)了存在擾動情況下四旋翼吊掛運輸系統(tǒng)的高性能運動控制。Guerrero?Sánchez等［14］提出了一種基于阻尼分配?無源控制策略，以穩(wěn)定四旋翼繩索吊掛負載的擺動。Foehn等［15］將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一種具有互補約束的數(shù)學(xué)模型，從而實現(xiàn)了期望的軌跡規(guī)劃。

與只有單繩的四旋翼吊掛運輸系統(tǒng)相比，四旋翼多繩吊掛運輸系統(tǒng)中負載擺動與四旋翼姿態(tài)運動也存在耦合，因此負載擺動可以得到更有效的抑制。文獻［16］研究了一種新型四旋翼航空運輸系統(tǒng)，討論了繩索不同狀態(tài)下的穩(wěn)定條件，以顯示四根繩索系統(tǒng)的優(yōu)點，并在李群SO（3）上設(shè)計了一種分層自適應(yīng)控制器以完成四旋翼負載運輸。

四旋翼吊掛運輸系統(tǒng)的負載擺動幅值依賴于期望的運輸路徑，本文將通過路徑規(guī)劃來實現(xiàn)負載擺動抑制。路徑規(guī)劃旨在尋求一條特定目標函數(shù)的最佳路線，以便實現(xiàn)從起點到目的地的運動［17］。基于數(shù)學(xué)模型的算法可以分為線性規(guī)劃法（Linear Programming，LP）和非線性規(guī)劃法（Nonlinear Programming，NLP）。

Fiaz等［18］提出了一種混合組合方法，將度量時態(tài)邏輯規(guī)范轉(zhuǎn)化為線性約束，并使用混合整數(shù)線性規(guī)劃求解器求解所需路徑的相關(guān)最優(yōu)控制問題。Tang等［19］提出了一種基于混合整數(shù)二次規(guī)劃的方法，通過優(yōu)化運動軌跡，實現(xiàn)了在已知障礙環(huán)境中對四旋翼吊掛負載運輸?shù)目刂?。根?jù)文獻［18?19］的研究結(jié)果，線性規(guī)劃算法具有結(jié)構(gòu)緊湊、運行效率極高、操作便捷等特性，然而，由于計算能力受到局部變量的影響，其處理能力受到一定的限制。文獻［20］描述了一種基于非線性模型預(yù)測控制和閉環(huán)局部軌跡規(guī)劃的在線方法，實現(xiàn)了動態(tài)環(huán)境下無人機吊掛負載系統(tǒng)的避障控制。Liang等［21］將原來的時間最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，使用非線性規(guī)劃技術(shù)對四旋翼運輸系統(tǒng)進行動力學(xué)分析和時間優(yōu)化運動規(guī)劃。

綜上所述的文獻研究都是圍繞四旋翼單繩吊掛運輸系統(tǒng)的，目前針對四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的研究相對較少，本文在文獻［21］的基礎(chǔ)上研究了四旋翼四繩吊掛運輸問題，引入時間和負載擺幅作為復(fù)合性能指標，求解了最優(yōu)軌跡。首先，給出繩索張力約束下的四旋翼和負載的動力學(xué)方程；其次，通過偽譜法將四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的運動軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為一類非線性規(guī)劃問題，求解得到最優(yōu)軌跡；最后，通過數(shù)值仿真與飛行實驗驗證最優(yōu)軌跡的合理性。本文針對四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)，建立了高精度動力學(xué)模型，給出了最優(yōu)路徑規(guī)劃方法，四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)通過此方法準確地運輸負載到達了目標點。

1 飛行控制建模

圖1展示了一種四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)。坐標系為固定在地面上的慣性坐標系，坐標系為固定在四旋翼機身上的體坐標系。

1.1 動力學(xué)模型

本文將所運輸?shù)呢撦d近似為一個質(zhì)點，因此，四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)中無人機和負載的運動學(xué)模型可以分別表示為：

（1）

（2）

（3）

式中 和分別為四旋翼質(zhì)心和負載在慣性系中的位置矢量；和分別為四旋翼和負載在慣性系中的速度矢量；表示滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角構(gòu)成的向量；為四旋翼角速度矢量；為角速度對應(yīng)Xb，Yb和Zb軸轉(zhuǎn)換為姿態(tài)角的變換矩陣，具體表達式如下：

（4）

四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)中無人機和負載的動力學(xué)模型在慣性坐標系下可以分別表示為：

（5）

（6）

（7）

式中 和分別為四旋翼和負載在慣性坐標系中的加速度矢量；為四根繩索在慣性坐標系下的張力之和；和分別為四旋翼和負載的重力，其中，g為重力加速度；m1和m2分別為四旋翼和負載的質(zhì)量；為四旋翼轉(zhuǎn)動慣量；為升力對四旋翼質(zhì)心產(chǎn)生的力矩；為四根繩索對四旋翼質(zhì)心產(chǎn)生的力矩之和；FT表示四旋翼在慣性坐標系下的升力，其具體表達式為：

（8）

式中 為四旋翼在體坐標系下的升力；R為體坐標系轉(zhuǎn)換為慣性坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

1.2 繩索的張力、阻力和力矩

第l根繩索的方向矢量記為。繩索的方向矢量及其導(dǎo)數(shù)可由三角形的矢量關(guān)系獲得，關(guān)系式如下式所示：

（9）

（10）

式中 表示第l根繩索在機體坐標系下連接點的位置矢量。第l根繩索的長度和變化率分別如下式所示：

（11）

（12）

繩索有張力的條件是被拉伸，為此可以引入函數(shù)，其定義為：

當繩索緊繃時：

（13）

當繩索松弛時：

（14）

第l根繩索的張力和四根繩索的合力可以表示為：

（15）

式中 bl表示第l根繩索的初始長度；表示繩索的彈性系數(shù)。本文阻力假設(shè)為零。

第l根繩索的張力力矩τl和四根繩索的合力矩τ可以表示為：

（16）

式中 Tl表示四旋翼在機體坐標系下第l根繩索的張力，其具體表達式為：

（17）

式中 R1為慣性坐標系轉(zhuǎn)換為體坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

2 最優(yōu)軌跡求解

2.1 偽譜法

本文的飛行器軌跡優(yōu)化是一個非線性，且受到繩長、推力、力矩、角度、速度等約束的最優(yōu)控制問題。通過直接優(yōu)化性能指標，軌跡優(yōu)化的數(shù)值方法可以分為間接法和直接法，以滿足不同的需求。間接法通過Lagrange算子法［22］和變分法［23］推導(dǎo)最優(yōu)控制一階必要條件，將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為Hamiltonian多點邊值問題［24］。直接法將優(yōu)化軌跡問題通過變量離散化離散為非線性規(guī)劃問題。因為間接法在處理小規(guī)模問題時與直接法求解的優(yōu)化結(jié)果相差無幾，卻需要更長的計算時間和成本，同時間接法受初始條件的影響較大，而直接法通常受初始條件的影響不大［25］，因此本文采用直接法來解決軌跡優(yōu)化問題，以達到更好的效果。

根據(jù)配點法，直接法可以分為歐拉法、Runge?Kutta法、Hermit?Simpson法以及偽譜法［26?29］，它們各自具有獨特的優(yōu)勢。鑒于偽譜法具有出色的計算性能，且在航空航天領(lǐng)域中已成為一種有力的解決方案，因此本文將采用它來實現(xiàn)軌跡優(yōu)化的目標。偽譜法有Legendre，Radau以及Gauss等多種方法［30?32］，它們都能夠提供準確的信息。Radau偽譜法是一種有效的NLP算法，它可以通過協(xié)態(tài)映射定理和NLP算法的最優(yōu)解來確定初始點的控制變量，因此被廣泛用于解決軌跡優(yōu)化問題。Radau偽譜法在網(wǎng)格優(yōu)化時采用的3種方法分別為h方法、p方法和hp方法［33?35］。本文采用hp自適應(yīng)Radau偽譜法，它將h方法和p方法的優(yōu)勢結(jié)合以求解軌跡優(yōu)化問題，從而獲得更好的效果。本文選取的軟件是采用hp自適應(yīng)Radau偽譜法的MATLAB最優(yōu)控制軟件GPOPS?Ⅱ ［36］。

2.2 優(yōu)化軌跡模型

將式（1）～（3）中變量組成一組狀態(tài)向量x=［x1 y1 z1 x2 y2 z2 vx1 vy1 vz1 vx2 vy2 vz2 ? θ ψ wx wy wz］T18×1，可以把方程（1）～（3），（5）～（7）轉(zhuǎn)化為下式中的狀態(tài)空間形式：

（18）

式中 和分別為關(guān)于狀態(tài)向量x的向量和矩陣；U=［06×1 u1 u1 u1 06×1 u2 u3 u4］18×1；；h（y）18×1為關(guān)于狀態(tài)向量y的矩陣；為重力和力矩的組合矩陣。

2.3 優(yōu)化性能指標

本文的性能指標是四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的負載擺幅。因此，性能指標函數(shù)定義如下：

（19）

式中 tf為終端時間；x20，y20分別為負載在Xe，Ye方向上的初始坐標。

2.4 路徑約束

考慮到工程中無人機的驅(qū)動能力有限，本文限制了無人機的推力和力矩以及姿態(tài)角。主要考慮的約束如下：

（1）推力u1和力矩u2，u3，u4約束如下：

（20）

（2）角度?，θ，ψ的約束如下：

（21）

（22）

（23）

2.5 Radau偽譜法求解

Radau偽譜法的工作原理是將系統(tǒng)問題的狀態(tài)變量、控制變量和離散約束條件通過在一系列Legendre?Guass?Radau（LGR）點上構(gòu)建Lagrange插值多項式轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題，然后利用IPOPT求解器對這些非線性問題進行求解得到最優(yōu)方案。由于LGR配置點位于半開區(qū)間中，首先需要把τ轉(zhuǎn)換為四旋翼飛行的連續(xù)時間，轉(zhuǎn)換公式如下：

（24）

式（18）～（23）相應(yīng)地轉(zhuǎn)換為：

微分狀態(tài)方程：

（25）

優(yōu)化性能指標：

（26）

路徑約束：

（27）

（28）

（29）

（30）

然后對上述公式進行近似，標準Legendre? Gauss?Radau（LGR）點定義為多項式的根，其中為N階Legendre多項式：

（31）

（1）狀態(tài)向量的近似

記優(yōu)化軌跡上的N個標準LGR點分別為，同時增加節(jié)點為插值節(jié)點，則狀態(tài)向量可由Lagrange全局插值多項式近似：

（32）

（33）

式中 表示狀態(tài)變量x在插值節(jié)點處的取值；表示一個Lagrange插值基函數(shù)，它具有正交性，并且具有如下的分布特征：

（34）

（2）控制變量的近似

（35）

式中 。

（3）微分狀態(tài)方程約束的近似

（36）

在標準LGR點處，式（38）可以整理為：

（37）

式中 Dji為N×（N+1）維Radau偽譜微分矩陣：

（38）

式中 。

將式（39）代入微分狀態(tài)方程（26）的左端，即可在配點處將微分狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程：

（39）

（4）性能指標的近似

根據(jù)Gauss?Radau積分法則，需要在標準LGR點上進行積分，以計算出性能指標式（27）右側(cè)的積分項：

（40）

式中 wi為標準LGR點τi的積分權(quán)重系數(shù)：

（41）

通過將式（40）等式右端替換為式（26），可以獲得一個近似的性能指標表示方法：

（42）

（5）路徑約束條件離散

（43）

（44）

（45）

（46）

通過以上變換，連續(xù)最優(yōu)控制問題就轉(zhuǎn)換成非線性規(guī)劃問題，通過求解器尋找參數(shù)，，在滿足參數(shù)化的代數(shù)方程（35），（39）以及約束條件（43）～（46）的前提下，使得性能指標（42）最小。

3 跟蹤優(yōu)化軌跡

為了驗證GPOPS求得的Xe，Ye，Ze軸方向的最優(yōu)軌跡的可行性，采用了外環(huán)PD控制＋內(nèi)環(huán)PID控制的控制系統(tǒng)來跟蹤四旋翼的軌跡。系統(tǒng)的外環(huán)位置控制器根據(jù)最優(yōu)軌跡確定期望的俯仰角和偏航角，并將二者和控制力輸入到內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器中。通過這種方式可以調(diào)整四旋翼的姿態(tài)，從而驗證最優(yōu)軌跡的可行性。本文控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

3.1 外環(huán)位置控制器

根據(jù)前面建立的四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的模型，在去除負載和繩子的作用下，外環(huán)四旋翼位置模型可以由下式描述：

（47）

（48）

（49）

設(shè)分別為四旋翼在Xe，Ye，Ze軸上的期望位置，分別為的PD虛擬位置控制輸入。如下式所示：

（50）

（51）

（52）

式中 分別為四旋翼位置的比例系數(shù)；分別為四旋翼位置的微分系數(shù)。

因為在四旋翼PID控制中的期望控制量是，所以設(shè)計推力的期望控制量，即外環(huán)控制器如下式所示：

（53）

3.2 內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器

內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器的輸入是期望滾轉(zhuǎn)角?d和期望俯仰角θd，根據(jù)式（49），（50），（52），（53）推導(dǎo)獲得，推導(dǎo)結(jié)果如下式所示：

（54）

（55）

同理，根據(jù)推導(dǎo)外環(huán)四旋翼位置模型的方式，推導(dǎo)得內(nèi)環(huán)姿態(tài)模型如下式所示：

（56）

（57）

（58）

設(shè)分別為四旋翼在Xb，Yb，Zb軸上的期望姿態(tài)角，建立的PID虛擬姿態(tài)控制輸入如下式所示：

（59）

（60）

（61）

式中 分別為四旋翼姿態(tài)角的比例系數(shù)；分別為四旋翼姿態(tài)角的積分系數(shù)；分別為四旋翼姿態(tài)角的微分系數(shù)。

考慮到轉(zhuǎn)動慣量很小，為了簡化計算和提高計算效率，忽略了姿態(tài)角一階導(dǎo)項對姿態(tài)角動力學(xué)模型的影響。因此，在時姿態(tài)角一階導(dǎo)項不存在，推導(dǎo)式（58）～（63）分別得到力矩的期望控制量，設(shè)計內(nèi)環(huán)控制器如下式所示：

（62）

（63）

（64）

4 數(shù)值仿真

4.1 軌跡優(yōu)化仿真結(jié)果

通過數(shù)值仿真，本節(jié)對前述軌跡優(yōu)化方法進行了詳細的驗證和評估。表1為四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的物理參數(shù)。

為了不影響實驗無人機的攝像機正常工作，四根繩子的連接點A1，A2，A3，A4位置分布如圖3所示，其中，d2，d3分布如圖3所示。

設(shè)變量下標加“0”為初始狀態(tài)值，變量下標加“f”為末端狀態(tài)值，四旋翼和負載變量的初、末狀態(tài)值如表2所示，四旋翼的旋翼控制力和控制力矩以及姿態(tài)角的約束范圍如表3所示。

在數(shù)值仿真中，利用GPOPS對優(yōu)化問題進行離散化處理。本文四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的最優(yōu)位置軌跡如圖4所示，從圖中可以看出四旋翼運輸負載到達期望位置的時間為10 s。為更好地觀察負載的擺動，建立了一個誤差擺動的變量：

（65）

求出的擺動幅值如圖5所示。其最大值為0.01279 m，平均值為0.000347 m。本文通過設(shè)置控制器跟蹤軌跡和實驗驗證來證明此軌跡的合理性。

4.2 軌跡跟蹤結(jié)果

采用先調(diào)節(jié)內(nèi)環(huán)后調(diào)節(jié)外環(huán)的方法調(diào)節(jié)系統(tǒng)各個PID控制器的參數(shù)。經(jīng)過精心調(diào)試，表4顯示了最終的成果。

四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)運輸負載到達期望位置的軌跡跟蹤如圖6～9所示。

由圖6～8可知，PID控制跟蹤軌跡在10 s內(nèi)到達目標位置，Xe，Ye，Ze方向的最終跟蹤誤差分別小于0.143，0.036，0.026 m。

由圖9可知，PID控制跟蹤軌跡在10 s后最大擺動誤差小于0.058 m，因此仿真結(jié)果表明，控制系統(tǒng)實現(xiàn)了四旋翼對最優(yōu)軌跡的跟蹤。

5 飛行實驗

為了驗證本文所得到的優(yōu)化軌跡，開展了室內(nèi)四旋翼無人機吊掛運輸系統(tǒng)飛行實驗，該實驗平臺主要由三部分組成：一是四旋翼無人機吊掛運輸系統(tǒng)，包括TELLO四旋翼和吊掛負載，其中為了實現(xiàn)運動捕捉，四旋翼上設(shè)置了3個標記點，負載上設(shè)置了1個標記點來跟蹤軌跡，如圖10所示；二是運動捕捉系統(tǒng)，由8個型號為OptiTrack PrimeX13的動作捕捉相機組成，測量四旋翼飛行器和負載的位置，并通過TCP/IP通信協(xié)議傳輸?shù)降孛婀ぷ髡?，如圖11所示；三是地面工作站，用來連接TELLO四旋翼和接收來自運動捕捉系統(tǒng)的位置信息。表5為四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)實驗時所用的參數(shù)。

通過MATLAB發(fā)送指令到TELLO確定初始位置，令初始位置為［0； 0； 0］，使TELLO沿著最優(yōu)軌跡向目標點［1； 1 ；0］飛行。飛行軌跡如圖12～15所示。

從圖12～14中可以看出，TELLO飛行軌跡與GPOPS飛行軌跡在Xe，Ye，Ze方向，10 s后的跟蹤誤差分別小于0.14，0.171和0.136 m。

由圖15可知，負載飛行擺動曲線在10 s后最大擺動誤差小于0.039 m。因為在飛行實驗中，四旋翼達到期望位置的擺幅較小，所以得出了最優(yōu)軌跡被跟蹤的結(jié)論，這證明了求解的最優(yōu)軌跡是有效且合理的。

6 結(jié) 論

本文建立了四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的三維模型，有效地改善了四旋翼飛行的軌跡。用偽譜法將連續(xù)時間最優(yōu)飛行軌跡問題離散為非線性規(guī)劃問題，通過GPOPS求解得到了四旋翼四繩吊掛運輸系統(tǒng)的最優(yōu)飛行軌跡，最后進行了軌跡跟蹤仿真和飛行實驗。通過仿真和實驗可以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)飛行軌跡是可行且合理的。

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Dynamics and control of UAV transportation system with a four-cable-suspended payload

MO Lan，WANG Yan-kai，WEI Ming-hong，CHEN Ti

（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Aerospace Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

Abstract： This paper considers a quadrotor transportation system with a four-cable-suspended payload. The relative position between quadrotor and payload is introduced and used to derive the tension of cables and describe the transportation system. A cost function inspired by payload and time is built to equipoise rapid UAV positioning and payload swing elimination. Then，the pseudo-spectral method is applied to transform the optimal control problem into a nonlinear programming problem and solve the optimal trajectory. A quadrotor transportation system’s trajectory tracking is facilitated by a PID controller. The optimal trajectory is validated through the presentation of both simulation and experimental results at last.

Key words： UAV transportation with a cable-suspended payload；nonlinear programming；swing suppression； the pseudo-spectral method

作者簡介： 莫 蘭（1998―），女，碩士研究生。E-mail： molsz2101026@nuaa.edu.cn。

通訊作者： 陳 提（1989―），男，博士，教授。E-mail： chenti@nuaa.edu.cn。