摘要：針對白骨頂雞優(yōu)化算法（COOT）全局搜索能力差、優(yōu)化精度低和易陷入局部最優(yōu)等缺陷，提出了一種融合翻筋斗覓食和正余弦策略的白骨頂雞優(yōu)化算法，引入一種翻筋斗覓食策略，增加了白骨頂雞個體的多樣性。此外，在領(lǐng)導(dǎo)者位置更新過程中采用正余弦策略和隨機(jī)因子，以提高算法的搜索能力。通過10個標(biāo)準(zhǔn)檢驗函數(shù)，以及Wilcoxon秩和檢驗，對改進(jìn)的COOT性能進(jìn)行了全面評估，并將其與其他幾種算法進(jìn)行了比較。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的COOT在迭代速度和收斂精度方面取得了顯著的提升，并展現(xiàn)了出色的魯棒性。

關(guān)鍵詞：改進(jìn)白骨頂雞優(yōu)化算法；翻筋斗覓食策略；正余弦策略；隨機(jī)因子

中圖分類號：TP301.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言（Introduction）

近年來，深度學(xué)習(xí)以及智能優(yōu)化算法成為解決工程應(yīng)用或管理領(lǐng)域中復(fù)雜任務(wù)問題的有力工具［1＼|2］。隨著人工智能的興起，智能優(yōu)化算法的研究與應(yīng)用更顯得尤為重要。白骨頂雞優(yōu)化算法（CootOptimizationAlgorithm，COOT）是NARUEI等［3］在2021年提出的一種新型智能優(yōu)化算法，通過模仿白骨頂雞的運動習(xí)性，包括其在水上游動時的協(xié)調(diào)性、快速轉(zhuǎn)向能力和在復(fù)雜環(huán)境中的靈活性。COOT具有簡明易懂、易于實施的特點，并且擁有出色的全局優(yōu)化能力。盡管COOT已經(jīng)在某些工程優(yōu)化問題中展現(xiàn)了其應(yīng)用價值并得到了成功應(yīng)用［4］，但是仍然存在與其他智能優(yōu)化算法相同的搜索能力不足和易陷入局部最優(yōu)等問題［5］。目前，許多學(xué)者引入了多種策略以期改進(jìn)其性能。例如，MEMARZADEH等［6］為了優(yōu)化風(fēng)電功率預(yù)測模型的參數(shù)，提出了一種基于長短期記憶和白骨頂雞優(yōu)化算法的風(fēng)力發(fā)電企業(yè)新型最優(yōu)儲能系統(tǒng)模型。同樣，DIAB等［7］為了準(zhǔn)確估計各種光伏模型，使用平衡白骨頂雞優(yōu)化算法和人工生態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化算法對光伏模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。GOUDA等［8］為了優(yōu)化太陽能機(jī)組在各種運行和負(fù)載場景下的性能，提出了基于白骨頂雞優(yōu)化算法的太陽能發(fā)電機(jī)組的性能評估。

針對COOT的缺陷，本文提出融合翻筋斗覓食和正余弦策略的白骨頂雞優(yōu)化算法（SSFCOOT）。首先，通過白骨頂雞個體的翻筋斗覓食策略，使算法跳入新的位置，擴(kuò)大了搜索范圍并避免陷入局部最優(yōu)解。其次，在領(lǐng)導(dǎo)者位置更新中引入正余弦策略，并通過隨機(jī)因子對正余弦算法進(jìn)行改進(jìn)，以加快收斂速度和增強(qiáng)算法的搜索能力。

1白骨頂雞優(yōu)化算法（CootOptimizationAlgorithm）

COOT借鑒了白骨頂雞群在水面上的移動習(xí)性，主要有4種不同的運動行為，分別是個體隨機(jī)運動、鏈?zhǔn)竭\動、跟隨領(lǐng)導(dǎo)者移動和領(lǐng)導(dǎo)者移動。

1.1初始化種群

根據(jù)公式（1）隨機(jī)初始化白骨頂雞種群位置：

CootPos（i）=rand（1，d）×（ub－lb）+lb[JZ）][JY]（1）

其中：CootPos（i）是第i個白骨頂雞的位置，rand為0到1的隨機(jī)數(shù)，d表示維度，ub和lb分別是搜索空間的上限和下限。ub和lb的定義分別如公式（2）和公式（3）所示：3eKiJMxWVv3SPbbioq9Yvg==

ub=［ub1，ub2，…，ubd］[JZ）][JY]（2）

lb=［lb1，lb2，…，lbd］[JZ）][JY]（3）

初始化種群后，根據(jù)以下4種運動行為更新白骨頂雞的位置。

1.2個體隨機(jī)運動

在個體隨機(jī)運動中，使用公式（4）隨機(jī)初始化位置Q：

Q=rand（1，d）×（ub－lb）+lb[JZ）][JY]（4）

個體隨機(jī)運動探索了搜索空間的不同部分。為了避免陷入局部最優(yōu)，根據(jù)公式（5）更新位置：

CootPos（i）=CootPos（i）+A×R2×（Q－CootPos（i））[JZ）][JY]（5）

其中：R2為［0，1］區(qū)間中的隨機(jī)數(shù)，A是迭代的隨機(jī)函數(shù)，更新方式如下：

A=1－L×〖SX（〗1〖〗Iter〖SX）〗[JZ）][JY]（6）

其中：L為當(dāng)前的迭代次數(shù)，Iter為最大的迭代次數(shù)。

1.3鏈?zhǔn)竭\動

鏈?zhǔn)竭\動通過使用兩個個體的平均位置實現(xiàn)。首先計算兩個個體之間的距離向量，其次將其中的一個個體向另一個個體移動大約距離向量的一半，個體的新位置如下：

CootPos（i）=0.5×（CootPos（i－1）+CootPos（i））[JZ）][JY]（7）

其中，CootPos（i）是第二個個體。

1.4跟隨領(lǐng)導(dǎo)者移動

白骨頂雞根據(jù)小組中領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新自己的位置，每組中的白骨頂雞跟隨者向領(lǐng)導(dǎo)者移動。領(lǐng)導(dǎo)者的選擇如公式（8）所示：

K=1+（iMODNL）[JZ）][JY]（8）

其中：i是當(dāng)前個體的位置索引，NL是領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)量，K表示選定的第K個領(lǐng)導(dǎo)者。個體的位置更新如下：

[JZ]CootPos（i）=[WB]LeaderPos（k）+2×R1×cos（2Rπ）×

[DW]（LeaderPos（k）－CootPos（i））[JY]（9）

其中：CootPos（i）是個體的當(dāng)前位置，LeaderPos（k）是選中的領(lǐng)導(dǎo)者位置，R1是［0，1］區(qū)間中的隨機(jī)數(shù)，R是［-1，1］區(qū)間中的隨機(jī)數(shù)。

1.5領(lǐng)導(dǎo)者移動

為了找到最優(yōu)位置，領(lǐng)導(dǎo)者必須從現(xiàn)有的局部最優(yōu)位置跳轉(zhuǎn)到全局最優(yōu)位置。利用公式（10）更新領(lǐng)導(dǎo)者的位置。

LeaderPos（i）=〖JB（{〗B×R3×cos（2Rπ）×（gBest－

LeaderPos（i））+gBest，R4<0.5

B×R3×cos（2Rπ）×（gBest－

LeaderPos（i））－gBest，R4≥0.5〖JB）〗[JY]（10）

其中：gBest為領(lǐng)導(dǎo)者種群內(nèi)最優(yōu)個體的位置，R3和R4均為［0，1］區(qū)間中的隨機(jī)數(shù)，R為［-1，1］區(qū)間中的隨機(jī)數(shù)，B是迭代的隨機(jī)函數(shù)，其更新方式如下：

2[ZK（][JP3]融合翻筋斗覓食和正余弦策略的白骨頂雞優(yōu)化算法（CootOptimizationAlgorithmbasedonsomersaultforagingandsine＼|cosinestrategy）[HJ][BT）]

2.1翻筋斗覓食策略

為了增強(qiáng)COOT的跳出局部最優(yōu)解能力，引入了一種獨特的翻筋斗覓食策略。該策略將獵物的位置視為一個支點，并通過圍繞支點旋轉(zhuǎn)和翻滾的方式不斷尋找新的位置。翻筋斗覓食策略如公式（12）所示：

CootPos（i）=[WB]Cootpos（i）+s×（rand×gBestScore－rand×[DW]CootPos（i））[JY]（12）

其中：CootPos（i）是白骨頂雞跟隨者的當(dāng)前位置，s代表空翻因子，gBestScore表示目前的最優(yōu)位置，rand為［0，1］區(qū)間中的隨機(jī)數(shù)。圖1為白骨頂雞的翻筋斗覓食行為。

根據(jù)公式（12）和圖1可知，白骨頂雞的移動范圍取決于當(dāng)前位置與其對稱位置之間的新搜索域。該搜索域是圍繞迄今為止發(fā)現(xiàn)的最佳白骨頂雞位置而確定的。白骨頂雞越接近最佳位置，對當(dāng)前位置的擾動就越小，使得所有個體在搜索空間中逐漸趨近最優(yōu)解。因此，隨著迭代次數(shù)的增加，白骨頂雞翻筋斗覓食的范圍會逐漸縮小，實現(xiàn)自適應(yīng)的調(diào)整。

2.2正余弦策略

MIRJALILI提出了一種基于種群的優(yōu)化算法，即正余弦算法［9］（SCA），用于解決各種優(yōu)化問題。該算法基于正弦和余弦函數(shù)的數(shù)學(xué)模型搜索空間中的不同區(qū)域，并要求它們朝著最優(yōu)解振蕩。為了使這一階段的領(lǐng)導(dǎo)者群體運動更加隨機(jī)，避免陷入局部優(yōu)化，引入了隨機(jī)因子p∈（0，1）。得到新的領(lǐng)導(dǎo)者位置更新公式如下：

LeaderPos（i）=〖JB（{〗B×R3×cos（2Rπ）×（gBest－LeaderPos（i））+

p×gBest，R4<0.5

B×R3×sin（2Rπ）×（gBest－LeaderPos（i））－

p×gBest，R4≥0.5〖JB）〗[JZ）][JY]（13）

2.3SSFCOOT算法步驟

綜上改進(jìn)策略，本文所提的SSFCOOT，其計算步驟如下。

步驟1：初始化算法的相關(guān)參數(shù)，即種群規(guī)模N、空間維度dim、種群的搜索空間［lb，ub］、最大迭代次數(shù)Iter等。

步驟2：根據(jù)公式（1）初始化種群并劃分領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者。

步驟3：根據(jù)公式（4）隨機(jī)生成位置Q。

步驟4：根據(jù)公式（7）、公式（8）、公式（9）、公式（12）更新追隨者位置。

步驟5：計算追隨者適應(yīng)度并更新領(lǐng)導(dǎo)者。

步驟6：根據(jù)公式（13）更新領(lǐng)導(dǎo)者位置。

步驟7：計算領(lǐng)導(dǎo)者適應(yīng)度。

步驟8：對迭代終止條件進(jìn)行判斷，若滿足條件，則進(jìn)行下一步操作；否則，繼續(xù)執(zhí)行步驟3。

3實驗結(jié)果分析（Analysisofexperimentalresults）

3.1基準(zhǔn)測試函數(shù)

為了驗證本文改進(jìn)算法（SSFCOOT）的尋優(yōu)能力，將SSFCOOT與標(biāo)準(zhǔn)COOT、鯨魚優(yōu)化算法（WhaleOptimizationAlgorithm，WOA）［10］、蟻獅優(yōu)化算法（AntLionOptimizer，ALO）［11］、阿基米德優(yōu)化算法（ArchimedesOptimizationAlgorithm，AOA）［12］、海鷗優(yōu)化算法（SeagullOptimizationAlgorithm，SOA）［13］，分別選取5個單峰函數(shù)和5個多峰函數(shù)［14］進(jìn)行對比仿真實驗。此外，6種算法均采用相同的軟件和硬件平臺，實驗是在配備32GBRAM與i7＼|12700H處理器的個人計算機(jī)上進(jìn)行的。

3.2收斂精度分析[HJ2.4mm]

為了評估SSFCOOT的優(yōu)化精度，本研究對比了改進(jìn)算法與其他5種算法在10個測試函數(shù)（空間維數(shù)dim=30/50/100）上的性能。每種算法針對每個測試函數(shù)獨立運行30次，并使用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差評估它們的優(yōu)化性能。表1展示了各種算法在10個測試函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果對比。

由表1可知，從縱向來看，SSFCOOT的求解精度明顯優(yōu)于其他5種算法，其中ALO的求解精度是其他5種對比算法中表現(xiàn)最差的，AOA次之。從維度方面來看，隨著測試函數(shù)維度的增加，COOT、WOA、ALO、AOA、SOA的尋優(yōu)能力整體呈現(xiàn)下降趨勢，這是因為維度增加使測試函數(shù)的復(fù)雜度增大，導(dǎo)致尋優(yōu)過程需要更大的計算量。WOA和SSFCOOT在求解函數(shù)F6和F8時，能夠準(zhǔn)確地找到理論最優(yōu)值0，顯示出卓越的優(yōu)化能力。對于單峰函數(shù)來說，SSFCOOT的求解精度最高，也從側(cè)面表明了翻筋斗覓食和正余弦策略的引進(jìn)提高了SSFCOOT的魯棒性。

3.3收斂曲線分析

為了深入分析各種算法的收斂性能，圖3展示了6種算法在10個測試函數(shù)上的收斂曲線。

如圖3（a）、圖3（b）、圖3（c）和圖3（d）中的單峰收斂曲線所示，SSFCOOT的收斂曲線一開始迅速減小，接近理論最優(yōu)值，并且其收斂速度隨著迭代次數(shù)的提升而提升。然而，對于其他5種算法，它們的收斂曲線呈現(xiàn)平緩的變化趨勢，并陷入局部最優(yōu)。這表明翻筋斗覓食策略可以有效地探索算法的理論最優(yōu)解，防止其陷入局部最優(yōu)。此外，圖3（f）、圖3（h）中的多峰收斂曲線表明，SSFCOOT和WOA在尋找最優(yōu)值時，收斂速度非?？欤⒆罱K獲得理論最優(yōu)解。然而，COOT似乎處于停滯狀態(tài)并陷入局部最優(yōu)，驗證了引入正余弦策略和隨機(jī)因子可以幫助提高算法的全局優(yōu)化能力。同樣，如圖3（e）、圖3（i）和圖3（j）中的收斂曲線所示，SSFCOOT、WOA、COOT和AOA都表現(xiàn)出良好的搜索精度，但SSFCOOT的收斂速度明顯快于其他3種算法。綜上，與其他5種算法相比，SSFCOOT在收斂精度和收斂速度方面都具有優(yōu)勢，證實了本文提出的改進(jìn)方法的有效性。

3.4Wilcoxon秩和檢驗

為了全面評估SSFCOOT在全局尋優(yōu)方面的優(yōu)越性，僅憑平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為性能指標(biāo)是不足以充分說明問題的。為了確定SSFCOOT與其他5種算法之間是否存在顯著差異，本文采用Wilcoxon秩和檢驗進(jìn)行性能測試。設(shè)定原假設(shè)H0：兩種算法在尋優(yōu)性能上基本相同。此外，提出了備選假設(shè)H1：兩種算法在性能上存在顯著差異。通過Wilcoxon秩和檢驗，可以更準(zhǔn)確地評估SSFCOOT與其他算法之間的差異，以進(jìn)一步驗證其優(yōu)越性。

當(dāng)P<0.05時，可以被認(rèn)為拒絕H0假設(shè)，說明兩種算法在性能上存在顯著差異；當(dāng)P>0.05時，可以被認(rèn)為接受H0假設(shè)，說明兩種算法在尋優(yōu)性能上基本相同。

表2為10個測試函數(shù)在搜索空間維度dim=30時，獨立運行30次的SSFCOOT與COOT、WOA、ALO、AOA、SOA的Wilconxon秩和檢驗對比分析。其中，“NaN”表示不適用，即無法進(jìn)行顯著性判斷。“+”“=”“-”分別表示SSFCOOT的性能“優(yōu)于”“相當(dāng)于”“劣于”其他算法。

由表2可知，大部分P值都小于0.05，總體上SSFCOOT的性能與其他5種算法的差異顯著，從而表明SSFCOOT相對于其他算法具有一定的優(yōu)越性。

4結(jié)論（Conclusion）

本文提出了一種融合翻筋斗覓食和正余弦策略的白骨頂雞優(yōu)化算法（SSFCOOT），旨在找到全局最優(yōu)解，提高收斂速度。首先，翻筋斗覓食策略的引入使SSFCOOT能夠擴(kuò)大搜索范圍，增強(qiáng)種群多樣性。其次，在領(lǐng)導(dǎo)者位置中使用正余弦策略，并引入隨機(jī)因子，提高了算法的搜索能力。通過對10個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行的仿真實驗，以及基于Wilcoxon秩和檢驗的性能比較，驗證了SSFCOOT在收斂精度和速度方面的優(yōu)越性，同時該算法表現(xiàn)出較小的標(biāo)準(zhǔn)偏差，具有極強(qiáng)的穩(wěn)定性。

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作者簡介：

張志飛（1999＼|），男，碩士生。研究領(lǐng)域：智能算法，計算機(jī)視覺。

孔維賓（1990＼|），男，博士，副教授。研究領(lǐng)域：信號處理，微波技術(shù)。本文通信作者。

杜義（2000＼|），男，碩士生。研究領(lǐng)域：智能檢測。

張婷琳（1988＼|），女，博士，講師。研究領(lǐng)域：信號處理，人工智能。

王玉婷（2003＼|），女，本科生。研究領(lǐng)域：電子信息。

高薪越（2004＼|），女，本科生。研究領(lǐng)域：電子信息。