【摘要】數(shù)學(xué)抽象是一種數(shù)學(xué)化的能力、素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的培育指向、培育方式和培育旨?xì)w。數(shù)學(xué)抽象具有一般化、理想化、模型化的特征。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不僅要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，更要引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象的意識、能力、品質(zhì)和素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生形成數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的根本性策略。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)抽象；“學(xué)科眼光”；根本策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要“引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思想考量、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)”。從“數(shù)學(xué)觀照”到“數(shù)學(xué)思考”再到“數(shù)學(xué)表達(dá)”，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本過程、路徑、策略。其中，“數(shù)學(xué)觀照”是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根基。沒有“數(shù)學(xué)觀照”，學(xué)生的“數(shù)學(xué)思考”“數(shù)學(xué)表達(dá)”就難以發(fā)生。所謂的“數(shù)學(xué)觀照”，筆者認(rèn)為，即“從數(shù)學(xué)視角、基于數(shù)學(xué)立場、用數(shù)學(xué)方法和思想等來看事物、看世界的一個過程”。培育學(xué)生“數(shù)學(xué)觀照力”，其實也就是要培育學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”。“數(shù)學(xué)的眼光”是一種“學(xué)科眼光”。數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生形成數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的根本性策略。

一、抽象：數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的培育指向

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有三：即“抽象”“推理”和“建?！?。筆者認(rèn)為，所謂的“抽象”即是要培育學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”；所謂的“推理”即是要培育學(xué)生“數(shù)學(xué)的大腦”；所謂的“建?！奔词且嘤龑W(xué)生“數(shù)學(xué)的語言”?！俺橄蟆笔恰巴评怼薄敖！钡幕A(chǔ)，“推理”是勾連“抽象”和“建?！钡臉蛄?、紐帶，而“建模”則是“抽象”“推理”的最終結(jié)果。數(shù)學(xué)抽象，追求學(xué)生數(shù)學(xué)思維的清晰性、合理性、有效性，追求學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的深刻性、嚴(yán)密性，追求學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的靈活性、綜合性、創(chuàng)新性等。

抽象是學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”生成的重要策略。作為一種認(rèn)識手段、認(rèn)識策略，抽象是學(xué)生從對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的感性認(rèn)識飛躍到理性認(rèn)識的一種方法。抽象的過程，就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程。根據(jù)荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的觀點，“數(shù)學(xué)化”分為“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”兩個過程?！皺M向數(shù)學(xué)化（水平數(shù)學(xué)化）”就是引導(dǎo)學(xué)生從“生活世界”過渡到“數(shù)學(xué)符號”；而“縱向數(shù)學(xué)化（垂直數(shù)學(xué)化）”則是在“數(shù)學(xué)世界”中“數(shù)學(xué)符號”的生成、重塑和被使用。數(shù)學(xué)化的抽象，不僅要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化過程，更要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化的過程。通過抽象，能讓學(xué)生舍棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的非本質(zhì)屬性，提煉、概括出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性。如“三角形的高”是一個抽象性、學(xué)生不容易理解到位的概念，教學(xué)“三角形的高”這一部分內(nèi)容時，筆者不僅呈現(xiàn)了銳角三角形，而且呈現(xiàn)了直角三角形、鈍角三角形，引導(dǎo)學(xué)生作三角形的高。在具象化、豐富性操作中，學(xué)生逐步歸納、概括出“高”的典型特征，即從頂點到底邊的垂直線段的長度”。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)視角、用數(shù)學(xué)立場去觀察學(xué)習(xí)對象、探究學(xué)習(xí)對象。要引導(dǎo)學(xué)生借助于多樣化的學(xué)習(xí)策略，逐步將學(xué)習(xí)對象的“非本質(zhì)屬性”剝離，如三角形的形狀、方位等。為此，教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用比較的策略，讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)對象的本質(zhì)與非本質(zhì)屬性；可以應(yīng)用一般化的策略，讓學(xué)生從研究“一個事物”入手，進(jìn)而過渡到“一類事物”的研究，也可以直接從“一類事物”的研究開始。在這個過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比的策略、歸納的策略和演繹的策略。通過對學(xué)習(xí)對象的簡約化、一般化、理想化的處理，讓學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象。

數(shù)學(xué)抽象位居數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，位于數(shù)學(xué)基本思想之首，它是形成學(xué)生理性思維的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)抽象是培育學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的重要策略、路徑。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象可以逐步地、緩緩地展開，也可以一次達(dá)成。數(shù)學(xué)抽象也是學(xué)習(xí)的一種過程形態(tài)或結(jié)果樣態(tài)，數(shù)學(xué)抽象留下的是學(xué)習(xí)對象的“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”（恩格斯語）。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)抽象，其實也就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”“公理化”“形式化”“符號化”的一個過程。

二、抽象：數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的培育方式

抽象不僅是一種思想，更是一種方法。根據(jù)抽象對象的性質(zhì)，可以分為“表征型抽象”“原理型抽象”“建構(gòu)型抽象”。根據(jù)抽象的過程，可以分為“弱抽象”“強抽象”“等置抽象”“理想化抽象”等。數(shù)學(xué)抽象可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)、關(guān)聯(lián)，可以幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)學(xué)科知識的層次、建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科知識系統(tǒng)，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力等。

在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，對事物特征的抽象就是一種表征型抽象；對事物內(nèi)在因果性、規(guī)律性、關(guān)系性等的抽象就是一種原理性抽象；通過引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)活動而進(jìn)行的抽象就是建構(gòu)性抽象……而數(shù)學(xué)學(xué)科中的“直線”“射線”“線段”等就是理想化抽象的結(jié)果。抽象，就是培育學(xué)生“學(xué)科的眼光”。培育學(xué)生的“學(xué)科眼光”，不僅要引導(dǎo)學(xué)生看，更要引導(dǎo)學(xué)生思考、想象。如教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)“認(rèn)識直線、射線和線段”這一部分內(nèi)容時，教師不僅要應(yīng)用學(xué)生生活世界中的毛線、手電筒射出的光線等物品引導(dǎo)學(xué)生直觀感知，更要引導(dǎo)學(xué)生思考“什么是端點”“線段有幾個端點”“射線有幾個端點”“射線的一端可以無限延長是什么意思”等。在數(shù)學(xué)抽象的過程中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生充分感知，通過豐富的感知，幫助學(xué)生積累、積淀表象，表象是學(xué)生從認(rèn)識對象過渡到數(shù)學(xué)概念的一個中間橋梁。其次在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的過程中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生表象的中間橋梁作用。如教師在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識線段、直線和射線的過程中，在黑板上或者引導(dǎo)學(xué)生在作業(yè)紙上畫出的線段、直線和射線等。作為教師，要在數(shù)學(xué)教學(xué)中精心設(shè)計、研發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)科知識逐步抽象的過程。對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)抽象水平越高，其抽象思維力就越強。如在“認(rèn)識直線、射線和線段”教學(xué)中，學(xué)生通過逐步抽象，會逐步認(rèn)識到，線段只有長度，沒有寬度和高度；射線的一端可以無限延長，不可以度量；直線的兩端都可以無限延長，不可以度量；線段是直線、射線的一個部分，等等。最后，在引導(dǎo)學(xué)生抽象的過程中，教師要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)語言的功能、作用。要通過引導(dǎo)學(xué)生積極主動地使用數(shù)學(xué)語言，一方面對表象進(jìn)行數(shù)學(xué)化的加工；另一方面對抽象過程進(jìn)行適度的、適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，以便讓抽象教學(xué)更科學(xué)、更有效。

數(shù)學(xué)抽象具有廣泛性、模型性的特質(zhì)、特性、特征。在引導(dǎo)學(xué)生抽象的過程中，教師要努力讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去觀察、思考，從而培育學(xué)生“學(xué)科眼光”，幫助學(xué)生邁過一道道抽象的“坎”，如上述案例中的“無限長”“無限延長”“沒有端點”等的認(rèn)知、理解，讓學(xué)生突破數(shù)學(xué)抽象的困惑、障礙、問題等，給學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象引導(dǎo)、啟發(fā)、點撥，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

三、抽象：數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的培育過程

培育學(xué)生的數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”，筆者認(rèn)為，一般來說需要經(jīng)歷兩個步驟：一是要讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)意識”，即要讓學(xué)生形成從數(shù)學(xué)學(xué)科視角去觀察事物、對象、世界的傾向、心向等；二是要引導(dǎo)學(xué)生提出“數(shù)學(xué)化”的問題、“數(shù)學(xué)化”的任務(wù)。提出數(shù)學(xué)化的問題、設(shè)置數(shù)學(xué)化的任務(wù)，這一過程是“數(shù)學(xué)意識”外化、顯性化的過程，它能強化學(xué)生的數(shù)學(xué)意識。

培育學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光，關(guān)鍵是要讓學(xué)生從生活世界中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)素材、數(shù)學(xué)資源等。在教學(xué)中，教師要精心設(shè)計研發(fā)具有生活味的數(shù)學(xué)素材，讓學(xué)生能夠經(jīng)歷將生活素材數(shù)學(xué)化的過程。要致力于在培育學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”的過程中，培育學(xué)生定量、精確、客觀的數(shù)學(xué)的理性思維特質(zhì)，讓數(shù)學(xué)的理性思維推動學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的形成。要致力于培育學(xué)生的質(zhì)疑品質(zhì)、批判精神，培育學(xué)生超前、抽象的認(rèn)知取向。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在“生活世界”與“數(shù)學(xué)世界”之間來回穿行。要引導(dǎo)學(xué)生從生活世界、生活事件、生活事物中看到其中蘊含著的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。同時，要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)科知識中觀察到其中隱藏著的生活事件、生活事物、生活世界的影子。一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生從生活世界中建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科知識；另一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科知識進(jìn)行生活意義的賦予。如教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)“加法交換律”這一部分內(nèi)容，從學(xué)生的生活世界中的實際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生猜想、驗證，并通過若干個具體的“加減交換律”算式的比較、概括，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“a+b=b+a”抽象性的公式。這樣的一個抽象過程，符合學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知從具體到抽象、從特殊到一般的過程。這個過程是一個生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)算式表征“雙向互動”的過程。通過這樣的“雙向互動”，不僅引導(dǎo)學(xué)生形成抽象思維，而且引導(dǎo)學(xué)生“理解抽象”“應(yīng)用抽象”。在引導(dǎo)學(xué)生抽象的過程中，當(dāng)學(xué)生在“具象”與“抽象”之間形成鴻溝的時候，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生返回抽象的本源，從具象中獲得對抽象的理解支撐、支持。對學(xué)生抽象思維能力的培育過程是一個由此及彼、由表及里、由淺入深的逐步深化的過程。

數(shù)學(xué)抽象要經(jīng)歷簡約化、符號化、普適化三個層次。在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握一些學(xué)習(xí)策略，如“對應(yīng)策略”“排列策略”“比較策略”“分類策略”“刻畫策略”等。“對應(yīng)”是開啟學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的大門，“排序”是讓學(xué)生抽象思維精密化、精致化、有序化的手段、策略，而“比較”“分類”則是學(xué)生擁有抽象思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，“刻畫”則是學(xué)生學(xué)會抽象的重要標(biāo)識。學(xué)生的抽象化能力不是一朝一夕所能形成的，更不是一蹴而就形成的。學(xué)生的抽象能力的形成是一個緩慢的過程，“欲速則不達(dá)”。在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的過程中，教師不僅要鼓勵學(xué)生“看”，更要鼓勵學(xué)生“想”。要讓學(xué)生穿梭在“現(xiàn)實世界”與“數(shù)學(xué)世界”之中，讓學(xué)生從“現(xiàn)實世界”中看到數(shù)學(xué)內(nèi)涵，同時也讓學(xué)生從“數(shù)學(xué)世界”中想到現(xiàn)實性的案例。

四、抽象：數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的培育旨?xì)w

抽象不僅僅是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式、方法，同時也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一種重要確證與表征。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握“抽象化”的思考方法，同時要追求培育學(xué)生形成抽象化的思維樣態(tài)。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，抽象化的思維是他們高階學(xué)習(xí)的條件、保障。一個善于展開抽象化思維的學(xué)生，才能展開高質(zhì)量、高品質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。抽象化的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”的培育旨?xì)w。

偉大的革命導(dǎo)師列寧曾經(jīng)這樣說：“物質(zhì)的抽象、自然規(guī)律的抽象、價值的抽象及其他等等，一句話，那一切科學(xué)的（正確的、鄭重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然?！背橄笫侨祟惿鐣l(fā)展、進(jìn)步的一個階梯。培育學(xué)生的抽象素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義、應(yīng)然之舉。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能讓學(xué)生的思維、認(rèn)知停留在直觀、形象、具象等的層面，不能讓學(xué)生的認(rèn)知停留在對個別事物的認(rèn)知上面，而應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生追求普遍性的認(rèn)知。這種普遍性的認(rèn)知，也就是“抽象”。數(shù)學(xué)抽象，是一種對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)性、關(guān)聯(lián)性的概括。數(shù)學(xué)抽象追求的是一種“放置于四海而皆準(zhǔn)”的客觀真理。用德國思想家黑格爾的話語來表達(dá)，就是從“個別”到“一般”的過程；而從中國古代哲學(xué)思想來看，抽象就是善于從“殊”中看到普遍存在著的“相”。數(shù)學(xué)抽象，就是要讓學(xué)生形成對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)性、關(guān)聯(lián)性的認(rèn)知，就是要讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)學(xué)科知識的普遍的數(shù)量關(guān)系、空間形式等。如教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生概括“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的法則，而且要將“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”的法則引入其中，并引導(dǎo)學(xué)生比較，從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對抽象的法則進(jìn)行再抽象，歸納、概括出“數(shù)的加減法的一般性法則”，即“只有計數(shù)單位相同才能直接相加或相減”。這樣的一個抽象性法則，不僅適應(yīng)于“整數(shù)加減法”運算，而且適用于“小數(shù)加減法”“分?jǐn)?shù)加減法”運算。當(dāng)然，在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，要求學(xué)生善于進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，也并非讓學(xué)生展開純粹的甚至是空洞的思辨。作為教師，要鼓勵學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程“深入淺出”，即鼓勵學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)過程中能“用形象詮釋抽象”。如鼓勵學(xué)生善于舉例、鼓勵學(xué)生善于提問、鼓勵學(xué)生善于優(yōu)化。舉例，就是將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科知識用具體的形象來承載；提問，就是鼓勵學(xué)生針對自我抽象思維中的疑點、阻礙點等進(jìn)行自我反思、質(zhì)疑、批判、修正；優(yōu)化，就是鼓勵學(xué)生對自我數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動精心設(shè)計、打磨。通過引導(dǎo)學(xué)生舉例、提問、優(yōu)化，有效地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的大腦。

在數(shù)學(xué)抽象的過程中，教師要力圖讓學(xué)生的認(rèn)知、思維具有嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性等的品質(zhì)、品格。在培育學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會抽象的過程中，教師不僅能要發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略，同時還要發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知策略。所謂“元認(rèn)知”，也就是“對認(rèn)知的認(rèn)知”。元認(rèn)知能力，能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的過程中，對抽象過程的科學(xué)性、合理性等進(jìn)行審視，以便不斷優(yōu)化自我的認(rèn)知過程。這樣的一種對認(rèn)知優(yōu)化的自覺，能有效地發(fā)展學(xué)生的抽象思維，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象更加科學(xué)、更加合理。

數(shù)學(xué)抽象具有一般化的特征、理想化的特征、模型化的特征。數(shù)學(xué)抽象其運行方式實質(zhì)是人類心智的一種運算，能有效地培育學(xué)生數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”。因此，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，歸根結(jié)底就是要讓學(xué)生養(yǎng)成良好的思維機制、思考習(xí)慣等?！皶脭?shù)學(xué)的眼光觀察世界”是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的主旨、內(nèi)涵與目標(biāo)。數(shù)學(xué)“學(xué)科眼光”是學(xué)生理性認(rèn)識手段的必然選擇，是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的一種最實用的方法，也是數(shù)學(xué)學(xué)科教育價值的核心體現(xiàn)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐周亞.新課標(biāo)導(dǎo)向下小學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)策略研究[J].課程教學(xué)研究，2022（09）.

[2]顧愷旻.小學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力培養(yǎng)策略探索[J].啟迪與智慧（上），2023（03）.