雙曲型法向圓弧齒輪傳動的動力學分析

摘要：為探究嚙合剛度、傳動誤差及側(cè)隙對雙曲型法向圓弧齒輪傳動動態(tài)響應(yīng)的影響，建立齒輪副的動力學方程，并在數(shù)值計算的基礎(chǔ)上進行仿真分析。運用有限元方法，計算接觸位置處的載荷及變形，并對時變嚙合剛度、靜態(tài)傳動誤差和側(cè)隙進行量化分析。仿真結(jié)果表明：對振動位移響應(yīng)影響最大的是側(cè)隙，其次是時變嚙合剛度；對動態(tài)嚙合力影響最大的則是時變嚙合剛度和側(cè)隙。

關(guān)鍵詞：圓弧齒輪；時變嚙合剛度；傳動誤差；側(cè)隙；動力學

中圖分類號： TH132.416" " " " " " " " " " "文獻標志碼： A文章編號： １６７３－２３４０（２０24）０1－００66－０7

Abstract： To investigate the effects of meshing stiffness， transmission error， and backlash on the dynamic response of hyperboloidal-type normal circular-arc gears （HNCGs）， a dynamical equation of the gear pair is established， and simulation analysis is conducted based on numerical calculations. The finite element method is used to calculate the load and deformation at the contact position， and a quantitative analysis of time-varying meshing stiffness （TVMS）， static transmission error （STE）， and backlash is performed. Simulation results show that backlash has the greatest impact on the vibration displacement response， followed by time-varying meshing stiffness; whereas the time-varying meshing stiffness and backlash have the most significant effects on the dynamic meshing force.

Key words： circular-arc gear; time-varying meshing stiffness; transmission error; backlash; dynamics

齒輪傳動在工程機械、車輛、船舶、航空航天等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。作為核心部件之一，齒輪系統(tǒng)的動力學特性直接影響整機的工作性能和使用壽命。

對齒輪系統(tǒng)動力學的研究，齒輪理論界已經(jīng)取得較為豐碩的成果?？紤]時變嚙合剛度和側(cè)隙，Al-Shyyab等建立二級直齒輪組集中參數(shù)動力學模型，通過多尺度諧波平衡法、離散傅里葉變換和參數(shù)延續(xù)法，求解出一階穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和受迫響應(yīng)[1-2]。以正交面齒輪系統(tǒng)為對象，林騰蛟等[3]建立多因子彎-扭耦合非線性動力學模型，以4～5階變步長龍格-庫塔法來求解系統(tǒng)的無量綱動力學微分方程組。王立華等[4]對動態(tài)激勵下準雙曲面齒輪系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)進行分析，實測出齒輪箱軸承座的橫向、縱向和軸向振動響應(yīng)及箱體表面振動加速度響應(yīng)，研究了齒輪系統(tǒng)的完全耦合振動問題。在精確齒面幾何建模的基礎(chǔ)上，Cheng等[5]提出一種線性動力學模型來研究傳動誤差激勵下準雙曲面齒輪副的動力學行為，分析了設(shè)計參數(shù)、工況對振動模態(tài)及響應(yīng)的影響[5]。之后，他們還建立了一個考慮時變嚙合剛度、傳動誤差和側(cè)隙等因素的14自由度動力學模型，明確了傳動誤差是振動的主要激振源[6]。綜合考慮時變嚙合剛度、嚙合阻尼和側(cè)隙等因素，Wang等[7]提出一種準雙曲面齒輪系統(tǒng)非線性時變動態(tài)模型來研究不對稱嚙合剛度對輪齒工作側(cè)和非工作側(cè)動態(tài)響應(yīng)的影響。引入動態(tài)嚙合剛度，Shi等[8]通過一個準雙曲面齒輪非線性動力學模型來量化嚙合剛度和動態(tài)嚙合力之間的相互作用。楊宏斌等[9]闡述了多齒嚙合條件下在不同嚙合區(qū)域內(nèi)嚙合力和阻尼力產(chǎn)生的扭矩，進一步豐富了準雙曲面齒輪非線性系統(tǒng)動力學方程。在混合彈流潤滑狀態(tài)下，馮治恒等[10]通過準雙曲面齒輪14自由度非線性動力學模型分析了時變摩擦系數(shù)對動態(tài)嚙合力和傳動誤差的影響。

自圓弧齒輪問世以來，其一度在高速、重載的平行軸傳動中得到工業(yè)應(yīng)用，但硬齒面漸開線齒輪的出現(xiàn)阻礙了其推廣進程。然而，相交軸和交錯軸條件下漸開線直齒錐齒輪和弧齒錐齒輪（含準雙曲面齒輪）的空間嚙合關(guān)系和加工工藝復雜，綜合優(yōu)勢并不明顯。為了滿足車輛領(lǐng)域?qū)Υ笃?、?yōu)NVH（noise-vibration-harshness）性能交錯軸傳動技術(shù)的需求，在“Basic principle of moulding-surface conjugation[11]”指引下，陳厚軍等提出雙曲型法向圓弧齒輪傳動[12-13]。目前，雙曲型法向圓弧齒輪尚處在理論發(fā)展期，需要通過動力學研究來揭示多源激勵下齒輪系統(tǒng)動力學行為的演變規(guī)律，闡明動力學特性與齒輪幾何參數(shù)、傳動誤差之間的映射關(guān)系，為后續(xù)的參數(shù)優(yōu)化、故障診斷提供依據(jù)。

1" "齒輪副的動態(tài)激勵

1.1" "時變嚙合剛度

剛度是構(gòu)件抵抗變形的能力，通常用力與變形量的比值[14]表示為

K = ，（1）

式中：F為齒面法向接觸力；δ為輪齒總變形。

根據(jù)雙曲型法向圓弧齒輪齒面數(shù)學模型[13]及表1數(shù)據(jù)，構(gòu)造單齒對三維模型，并將其導入ANSYS軟件進行網(wǎng)格劃分（見圖1）。設(shè)齒輪材料為45號鋼，加載轉(zhuǎn)矩為100 Nm。以小齒輪單個齒從嚙入到嚙出的轉(zhuǎn)角量160°為一個計算周期，以每5°為角位移增量來分別仿真計算齒輪副在32個不同嚙合位置處的載荷及位移量，再利用式（1）計算得到雙曲型法向圓弧齒輪副（hyperboloidal-type normal circular-arc gears，HNCGs）單齒嚙合剛度。將單齒嚙合剛度并聯(lián)耦合，則獲得綜合嚙合剛度

k = ∑K， （2）

式中n為瞬時嚙合齒對數(shù)?？紤]小齒輪齒數(shù)為9，則小齒輪單齒嚙合剛度可按分齒角度40°進行平移疊加，進而獲得綜合嚙合原始剛度曲線[15]，見圖2。

為了兼顧傅里葉級數(shù)展開式的復雜程度和擬合的精度，利用三階傅里葉級數(shù)對嚙合原始剛度曲線進行擬合，得到擬合近似曲線（圖2中紅色虛線）。這時，綜合嚙合剛度的三階傅里葉級數(shù)展開式[16]可表示為

k（t） = ∑（acos（jωt） + bsin（jωt）），（3）

式中： j為傅里葉級數(shù)的階數(shù)；a、b為各階傅里葉系數(shù)（見表2）；ω為齒輪副的嚙合角頻率。

嚙合角頻率ω可以表示為

ω = "= 2πωz = ， （4）

式中：T為齒輪嚙合周期；ω為齒輪工作頻率（i = 1 代表小齒輪，i = 2代表大齒輪）；n為齒輪轉(zhuǎn)速；z為齒數(shù)。

1.2" "靜態(tài)傳動誤差

靜態(tài)傳動誤差主要由輪齒受載變形和齒輪制造誤差組成[17]。其中，受載變形包含齒面接觸變形和輪齒彎曲變形，而制造誤差主要包括齒距誤差和齒形誤差。據(jù)此，靜態(tài)傳動誤差一般表示為

e（t） = δ（t） + e（t）， （5）

式中：δ（t）為輪齒的接觸變形與彎曲變形之和；e（t）為齒輪制造誤差。

首先，變形δ（t）由有限元接觸仿真計算獲得。如圖3所示，輪齒變形均值為4 μm左右，單齒變形曲線與單齒對剛度曲線的變化趨勢符合變形定理：在剛度較小的輪齒兩端，齒面變形迅速增大；而輪齒中段的變形基本隨著剛度的變小而緩慢增大。

其次，齒形誤差和齒距誤差是齒輪制造誤差中影響最大的部分，但齒形誤差的類型多樣，難以全部進行探討，這里考察齒距誤差，并利用齒距累積公差來作為制造誤差值。由于誤差的時變性，齒輪制造誤差通常以簡諧函數(shù)表示[18]，即

e（t） = （e + e）sin（ωt + γ）， （6）

式中：e、e為小齒輪、大齒輪的齒距累積公差值，參考7級圓弧齒輪的設(shè)計標準，分別取36、63 μm；γ為初始相位角，一般取0。

由于變形波動僅占誤差波動的5%，故重點考慮輪齒誤差的波動，并降低后續(xù)方程的求解難度。將e、e及ω的值代入式（6），最終靜態(tài)傳動誤差表示為

e（t） = 99sin（0.3πnt）。（7）

1.3" "側(cè)隙

忽略側(cè)隙的周期變化和隨機變化，將其設(shè)為0.06m。為了便于表達，假設(shè)側(cè)隙的一半用b表示，雙曲型法向圓弧齒輪副的非線性間隙位移函數(shù)[19]可表示為

f（x） = x（t） - b，x（t） gt; b0，-b≤x（t）≤bx（t） + b，x（t） lt; -b，（8）

式中，x（t）為輪齒傳動過程中的法向傳動誤差。

2" "齒輪副動力學分析

在嚙合過程中，齒間力可以分解為徑向、軸向和切向的分力，并分別引起齒輪的彎曲振動、軸向振動和扭轉(zhuǎn)振動?？紤]剛性支承和忽略摩擦力影響，以扭振模型來考察齒輪動態(tài)激勵對動態(tài)響應(yīng)的影響。

2.1" "動力學模型

如圖4所示，根據(jù)集中質(zhì)量法，將兩齒輪看作剛體，輪齒接觸情況由彈簧、阻尼元件、誤差元件和間隙參數(shù)表示，分別代表齒輪副的時變嚙合剛度、嚙合阻尼、靜態(tài)傳動誤差及側(cè)隙，建立齒輪副嚙合的離散數(shù)學模型。

基于牛頓第二定律，齒輪副的二自由度動力學微分方程[20]可表示為

I + Rc（t） + Rk（t）f（x） = TI - Rc（t） - Rk（t）f（x） = -T，（9）

式中：θ為角位移；I為轉(zhuǎn)動慣量（通過仿真計算確定，I = 2.42 × 10-3 kg·m2，I = 3.69 × 10-2 kg·m2）；R為方向回轉(zhuǎn)半徑，等于0.5zmcos 30°（即R = 1.559 × 10-2 m，R = 7.101 × 10-2 m）；c為平均嚙合阻尼，取0.79 Ns/m；T為轉(zhuǎn)矩。

經(jīng)整理，上述方程組可轉(zhuǎn)化為

m（t） + c（t） + k（t）f（x） =

m（ + "- （t）），（10）

式中，m為等效質(zhì)量，

m = 。（11）

在忽略摩擦的情況下，齒輪系統(tǒng)僅有嚙合力作用，即

F = k（t）f（x） + c（t）。（12）

2.2" "動力學方程求解

由于時變嚙合剛度和靜態(tài)傳動誤差，齒輪傳動動力學微分方程呈現(xiàn)時變性和強非線性，很難通過解析法獲得精確解，一般利用四階龍格-庫塔法進行數(shù)值求解。

在式（9）的基礎(chǔ)上設(shè)定初始位移及速度，并對二階微分方程進行降階處理，轉(zhuǎn)換為一階微分方程組的形式，則上述動力學模型的初值問題可表示為

x（t） = x（t）x（t） = （t）（t） = （ + "- （t）） -" "x（0） = 0x（0） = 0，（13）

利用MATLAB編制計算程序，積分步長取1 × 10-6 s，便可求解該非線性微分方程。

2.3" "動態(tài)響應(yīng)

參照汽車工況，設(shè)雙曲型法向圓弧齒輪副小齒輪轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，以此為基礎(chǔ)，對齒輪副動力學模型求解計算，獲得齒輪副的振動位移響應(yīng)曲線及動態(tài)嚙合力曲線，同時計算得到振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力的方均值x和F分別為0.119 89 mm和1.309 1 × 105 N。

如圖5所示，動態(tài)響應(yīng)曲線的較大幅度波動出現(xiàn)在齒輪副從靜止到啟動這一階段，之后振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力趨于穩(wěn)定，呈現(xiàn)出明顯的周期規(guī)律，說明齒輪副進入穩(wěn)定傳動狀態(tài)，對應(yīng)曲線反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。在上述工況下，齒輪副的旋轉(zhuǎn)周期為0.03 s，通過局部放大發(fā)現(xiàn)，在0.03 s的時域區(qū)間內(nèi)包含約9個周期。

小齒輪嚙合周期可以表示為

T = "= "= 0.003 33。（14）

可以發(fā)現(xiàn)，在一個旋轉(zhuǎn)周期0.03 s內(nèi)包含9個嚙合周期，與小齒輪齒數(shù)吻合，表明數(shù)值計算合理。

3" "動態(tài)激勵對齒輪副動態(tài)響應(yīng)的影響

3.1" "時變嚙合剛度的影響

在其他參數(shù)均不變的條件下，分別以原時變嚙合剛度值的80%、90%、100%、110%和120%來計算嚙合剛度變化對動態(tài)響應(yīng)的影響。如圖6所示，隨著嚙合剛度的增加，齒輪副振動位移響應(yīng)逐漸減小，動態(tài)嚙合力逐漸增大，波形均保持不變。這一結(jié)果表明時變嚙合剛度（time-varying meshing stiffness，TVMS）的增大有利于減小振動位移響應(yīng)，但同時也會增大動態(tài)嚙合力。

為了對時變嚙合剛度的影響程度進行定量分析，此處計算振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力的方均值，并以嚙合剛度的動態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)為基準，計算出80%k（t）、90%k（t）、110%k（t）和120%k（t）時振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力的相對變化率（見表3）?？梢园l(fā)現(xiàn)，當嚙合剛度以10%的增量遞增時，振動位移響應(yīng)變小程度不明顯，僅有0.15%左右的變化率；但動態(tài)嚙合力相對變化較大，達10%左右。表明時變嚙合剛度的變化對振動位移響應(yīng)影響較小，對動態(tài)嚙合力有較大影響。

3.2" "靜態(tài)傳動誤差的影響

在其他參數(shù)均不改變的條件下，以原靜態(tài)傳動誤差值的80%、90%、100%、110%和120%進行計算，獲得齒輪副的振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力，見圖7和表4。由圖7發(fā)現(xiàn)，隨著靜態(tài)傳動誤差（static transmission error，STE）的遞增，振動位移響應(yīng)的波形被略微縱向拉伸，其波動范圍逐漸增大，但變化量很?。欢鴦討B(tài)嚙合力區(qū)分度不明顯。

表4顯示，當靜態(tài)傳動誤差按10%的增量遞增時，振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力的相對變化率均小于0.02%，在均方差的數(shù)值上幾乎不發(fā)生改變，說明靜態(tài)傳動誤差對振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力在均值上影響甚微；但從振動位移響應(yīng)曲線上發(fā)現(xiàn)，靜態(tài)傳動誤差越大，齒輪副振動位移響應(yīng)波動越大。

3.3" "側(cè)隙的影響

以原側(cè)隙的80%、90%、100%、110%和120%進行計算，獲得齒輪副振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力，見圖8和表5。從圖8可看出，隨著側(cè)隙的遞增，振動位移響應(yīng)與動態(tài)嚙合力均存在明顯增大現(xiàn)象。

由表5發(fā)現(xiàn)，當側(cè)隙按10%的增量遞增時，振動位移響應(yīng)及動態(tài)嚙合力均發(fā)生明顯變化，變化率均達到10%左右，說明側(cè)隙對振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力的影響較大，是引起振動位移響應(yīng)和動態(tài)嚙合力增大的主要因素。

4" "結(jié)論

在動力學模型及動力學微分方程的基礎(chǔ)上，本文分別研究了時變嚙合剛度、靜態(tài)傳動誤差及側(cè)隙對雙曲型法向圓弧齒輪副動態(tài)響應(yīng)的影響。其中，對振動位移響應(yīng)影響最大的是側(cè)隙，其次是時變嚙合剛度，盡管靜態(tài)傳動誤差對振動位移響應(yīng)的方均值影響不大，但明顯改變振動位移響應(yīng)的波動范圍；對動態(tài)嚙合力影響最大的是側(cè)隙和時變嚙合剛度。若要減小齒輪副的振動位移響應(yīng)，首先要在合理范圍內(nèi)減小側(cè)隙，并從結(jié)構(gòu)參數(shù)方面考慮如何增大剛度，減小靜態(tài)傳動誤差。

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（責任編輯：仇慧）

收稿日期： 2022-06-22 接受日期： 2022-11-03

基金項目： 國家自然科學基金青年科學基金項目（51105210）

第一作者簡介： 陳厚軍（1977— ）， 男， 副教授， 博士， 主要研究方向為齒輪嚙合原理及應(yīng)用。E-mail：mrchj365@ntu.edu.cn