幾何背景下線段最值問題的求解方法

【摘要】本文通過對垂線段最短問題、將軍飲馬問題和旋轉(zhuǎn)最值問題等的研究，結(jié)合相關(guān)定理和性質(zhì)，深入探討在幾何背景下線段最值問題的求解策略．通過豐富的實(shí)例詳細(xì)闡述了這些方法的應(yīng)用，旨在幫助讀者更好地理解和掌握求解線段最值問題的技巧．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；線段最值；求解方法

在數(shù)學(xué)的幾何領(lǐng)域中，線段最值問題是一個(gè)重要且常見的研究課題．這類問題不僅在數(shù)學(xué)理論中具有重要地位，還在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．因此，掌握線段最值問題的求解方法對于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力具有重要意義．

1 垂線段最短問題

例1 如圖1，在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，∠BAC=90°，其中D是斜邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，連接NM，那么線段MN的最小值為（ ）

（A）125. （B）52. （C）3. （D）4.

解析 因?yàn)椤螧AC=90°，且AB=3，AC=4，

所以BC=AB2+AC2=5.

因?yàn)镈M⊥AB，DN⊥AC，

所以∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，

所以四邊形DMAN是矩形，可得MN=AD.

根據(jù)垂線段最短可知，AD⊥BC時(shí)AD最小.

此時(shí)，SABC=12AB×AC=12BC×AD，

所以AD=AB×ACBC=125，MN的最小值為125，

所以選項(xiàng)（A）正確．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的主要知識(shí)點(diǎn)有：矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、垂線段最短、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解決本題的基礎(chǔ)．本題首先根據(jù)勾股定理可以求出BC，然后證明DMAN為矩形，進(jìn)一步得到MN=AD，最后由垂線段最短即可解題．

2 將軍飲馬問題

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)C在直線MN上，∠BCN=60°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP．

（1）使AP+BP取最小值的動(dòng)點(diǎn)P的位置在點(diǎn)C的 側(cè)（填“左”或“右”）；

（2）當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，∠CBP= ．

解析 （1）如圖3所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線MN對稱的點(diǎn)D，再連接AD，交直線MN于點(diǎn)P，此時(shí)AP+BP有最小值，此時(shí)點(diǎn)P的位置在點(diǎn)C的左側(cè)．

（2）當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，

因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線MN對稱，

所以∠BCN=∠DCN=60°，

BC=DC，∠CBP=∠D，

所以∠BCD=∠BCN+∠DCN=120°.

因?yàn)椤螦CB=90°，

所以∠ACD=360°－∠ACB－∠BCD=150°.

因?yàn)锳C=BC，BC=DC，

所以AC=DC，

所以∠CAD=∠D=15°，

所以∠CBP=∠D=15°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求將軍飲馬問題、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．第（1）問中，作點(diǎn)B關(guān)于直線MN對稱的點(diǎn)D，連接AD，交直線MN于點(diǎn)P，此時(shí)AP+BP有最小值，即可得到點(diǎn)P的位置在點(diǎn)C的左側(cè)；第（2）問中，當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到∠BCD=120°，進(jìn)而得到∠ACD=150°，再證明AC=DC，得到∠CAD=∠D=15°，即可得到∠CBP=15°．

3 旋轉(zhuǎn)最值問題

例3 如圖4所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，E點(diǎn)為BC邊上任意一點(diǎn)，那么MA+MD+ME的最小值為 ．

解析 將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，如圖5.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：MD=M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，

所以AM=MM′，

所以MA+MD+ME=D′M′+MM′+ME，

所以D′M′、MM′、ME共線時(shí)距離和最短.

由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，

所以當(dāng)D′E⊥BC時(shí)距離和最短，如圖6，D＇E與AD交于點(diǎn)G，

此時(shí)易求得D′E=D′G+GE=4+33，

所以MA+MD+ME的最小值為4+33．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軸對稱、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形等知識(shí)點(diǎn)，屬于中考填空題中的壓軸題．添加常用輔助線、構(gòu)造等邊三角形解決問題、用轉(zhuǎn)化的思想思考問題是解決本題的關(guān)鍵，本題中，△AM′D′是將△AMD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的，所以MD=M′D′，在等邊三角形ADD′和AMM′中，容易得出AM=MM′，進(jìn)而可得MA+MD+ME=D′M+MM′+ME，容易得：當(dāng)D′E⊥BC時(shí)距離和最短，進(jìn)而得出D′E，即為MA+MD+ME的最小值．

4 結(jié)語

幾何背景下線段最值問題的求解需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法．通過深入理解相關(guān)定理和性質(zhì)，結(jié)合具體的問題情境，選擇恰當(dāng)?shù)那蠼獠呗?，能夠有效地解決這類問題．在學(xué)習(xí)和研究過程中，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力，將有助于更好地應(yīng)對各種數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)，并將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活中．同時(shí)，隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展和創(chuàng)新，線段最值問題的研究也將不斷深入和發(fā)展，為解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)和實(shí)際問題提供有力的支持．

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