轉(zhuǎn)化思想在初中幾何問題中的運(yùn)用

【摘要】轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，它有助于培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.本文以初中幾何中的“圓”為例，探討轉(zhuǎn)化思想在幾何問題中的運(yùn)用.通過分析圓的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化、圓的位置條件轉(zhuǎn)化以及圓的應(yīng)用進(jìn)階轉(zhuǎn)化，旨在提高學(xué)生的幾何解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；圓的性質(zhì)

1 引言

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法，尤其在幾何問題中具有廣泛的應(yīng)用.初中幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念和邏輯思維能力的關(guān)鍵階段，而圓作為幾何中的重要組成部分，其性質(zhì)和位置條件的轉(zhuǎn)化對學(xué)生解決幾何問題具有重要意義[1].本文將從圓的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化、圓的位置條件轉(zhuǎn)化以及圓的應(yīng)用進(jìn)階轉(zhuǎn)化三個方面進(jìn)行探討.

2 試題呈現(xiàn)

2.1 圓的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化

例1 判斷：若圖1中的三個圓大小相同，則圖中陰影部分的周長相等.

解析 通過觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：在圖（1）中，陰影區(qū)域由四個弧組成，這些弧的總長度恰好等于整個圓的周長.在圖（2）中，陰影區(qū)域的外圍長度是圓周長的一半，而內(nèi)部的三個小半圓弧的總長度等同于一個大半圓的弧長，因此陰影區(qū)域的周長與圓周長相等.在圖（3）中，大半圓內(nèi)部的兩個白色小半圓弧的總長度同樣等于大半圓的弧長，這意味著陰影區(qū)域的周長也是圓的周長.由于這三個圖形中的圓大小相同，因此陰影區(qū)域的周長相等是正確的.本題主要考查了弧長與圓周長的轉(zhuǎn)換，可利用l=πd的周長公式，將弧長大小的比較轉(zhuǎn)化為直徑大小的比較.

2.2 圓的位置條件轉(zhuǎn)化

例2 如圖2所示，已知拋物線y=－316（x－1）（x－9）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，⊙C的半徑為2，G為⊙C上一動點(diǎn)，P為AG的中點(diǎn)，則DP的最大值為（ ）

（A）72. （B）23. （C）412. （D）5.

解析 如圖3所示，連接BG.已知P為AG的中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，所以PD是△ABG的中位線，則DP=12BG.當(dāng)BG最大時，則DP最大.由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)G，C，B三點(diǎn)共線時，BG最大.由題意可知C（5，3），B（9，0），所以BC=32+42=5，故BG的最大值為2+5=7，得到DP的最大值為72.故選（A）.

本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、三角形的中位線定理、二次函數(shù)的性質(zhì)以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，有一定難度.解答本題需學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

2.3 圓的應(yīng)用進(jìn)階轉(zhuǎn)化

例3 如圖4，四邊形ABCD是矩形，其中AB=8，AD=12，點(diǎn)E在線段DC上移動，已知四邊形DEFG和四邊形CEHI均為正方形，且在線段DC下方，此時連接GI，并過點(diǎn)B作BJ⊥GI于點(diǎn)J，連接AJ，則：在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，線段AJ的最大值.

解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以∠DAB=90°，

因?yàn)锽J⊥GJ，

所以A、B、J、G四點(diǎn)共圓，如圖5所示，

所以當(dāng)AJ為直徑時最大，

連接BG，因?yàn)椤螪AB=90°，

所以BG為直徑，

因?yàn)辄c(diǎn)E是DC上的一個動點(diǎn)，

所以當(dāng)DE最大時，即DE=AB=8時，BG最大，

此時AG=12+8=20，

所以BG=82+202=429，

所以AJ的最大值為429.

本題關(guān)鍵點(diǎn)在于找到輔助圓的位置，將幾何問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)圓最值問題，從而簡化解題思路.

3 思路解析

圓的周長和面積是圓的兩個基本性質(zhì).在解決問題時，可以將圓的周長和面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化[2].例如，可以利用圓的周長公式l=πd或者l=2πr，進(jìn)行周長與直徑、半徑之間的轉(zhuǎn)化，也可以之間由圓的面積公式S=πr2進(jìn)行面積和半徑之間的轉(zhuǎn)化.

圓的位置是指在坐標(biāo)系中的具體位置，這一概念在幾何問題中扮演著關(guān)鍵角色.圓在坐標(biāo)系中的位置是由圓心的坐標(biāo)和半徑共同確定的.在解決幾何問題時，圓的位置條件轉(zhuǎn)化是指將圓在坐標(biāo)系中的位置信息轉(zhuǎn)換為解題所需的其他幾何條件或代數(shù)關(guān)系，從而提高解題效率.

圓的應(yīng)用進(jìn)階是指在解決某些幾何問題時，通過人為添加的圓，以簡化問題結(jié)構(gòu)，揭示幾何關(guān)系，或者轉(zhuǎn)化為更易解決的問題[3].例如，輔助圓思想是一種高級的幾何解題策略，它通過在原有圖形之外添加一個或多個輔助圓幫助發(fā)現(xiàn)和利用幾何關(guān)系，從而解決原本難以直接解決的問題.

4 結(jié)語

轉(zhuǎn)化思想在初中幾何問題中有廣泛的應(yīng)用，尤其是在圓的相關(guān)試題里.通過本文的分析可以發(fā)現(xiàn)，掌握圓的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化、圓的位置條件轉(zhuǎn)化以及圓的應(yīng)用進(jìn)階轉(zhuǎn)化，有助于提高學(xué)生的幾何解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新能力.在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，提高幾何教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉文.初中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想的路徑探究[J].學(xué)周刊，2024（23）：92-94.

[2]蘇玉梅.轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2024（13）：36-37.

[3]張紅琴.“轉(zhuǎn)化思想”在初中幾何最值問題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友，2021（04）：90-92.