章起始課統(tǒng)領(lǐng)下的“深度探研課”教學(xué)實(shí)踐

［摘 要］ 文章以“二次根式的乘除”為例，探討了章起始課統(tǒng)領(lǐng)下“深度探研課”的教學(xué)內(nèi)容與方法、效果評(píng)價(jià)，以及遇到的問題與解決策略. 研究者通過類比推理和邏輯推理，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、積極參與，加深對(duì)二次根式乘除運(yùn)算的理解，為后續(xù)研究二次根式的加減運(yùn)算做好引領(lǐng).

［關(guān)鍵詞］ 深度探研課；二次根式的乘除；教學(xué)設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）指出：“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力. 通過經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生能夠理解基本數(shù)學(xué)概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系［1］”. 對(duì)此，邢成云老師在《“化歸思想”應(yīng)用舉隅》［2］一文中已給出了很好的展示與解讀. 本文在以上研究背景下，對(duì)“二次根式的乘除法”這一深度探研課［3］進(jìn)行了設(shè)計(jì).

教學(xué)背景分析

本節(jié)課順承章起始課，是教育部中小學(xué)“雙名”領(lǐng)航工程邢成云名師工作室提出的“立足市域·走向全國(guó)：初中數(shù)學(xué)章起始課統(tǒng)領(lǐng)的大單元整體教學(xué)”之“1+n”結(jié)構(gòu)（“1”指章起始課）中“n”的第一節(jié)課，是立足起始課，對(duì)二次根式運(yùn)算進(jìn)行的“深度探研”課. 在起始課中，教師已引導(dǎo)學(xué)生利用二次根式的概念得出二次根式的性質(zhì)，再通過性質(zhì)探究出積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，接著由等式的對(duì)稱性得到二次根式的乘法法則. 本節(jié)課立足起始課，引導(dǎo)學(xué)生在類比乘法法則的基礎(chǔ)上完成對(duì)二次根式除法運(yùn)算法則的推理證明，以及對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的理解，幫助學(xué)生建立起比較完善的代數(shù)式及其運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為后續(xù)勾股定理、一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

教學(xué)目標(biāo)

1. 類比二次根式乘法，完成二次根式除法法則的推理驗(yàn)證，從不同角度理解二次根式的乘除運(yùn)算法則.

2. 借助具體例子，總結(jié)并得出最簡(jiǎn)二次根式的概念，能準(zhǔn)確利用積（商）的算術(shù)平方根對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn).

3. 通過對(duì)二次根式乘除運(yùn)算法則的推理驗(yàn)證，提高推理能力；從不同角度理解二次根式的乘除運(yùn)算法則，提高概括與抽象能力.

教學(xué)過程及設(shè)計(jì)

1. 復(fù)習(xí)回顧，體現(xiàn)本質(zhì)

問題1 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次根式的性質(zhì)，并猜想出=·（a≥0，b≥0），你們是如何證明的？

教學(xué)預(yù)設(shè) （）2=ab，（·）2=（）2·（）2=ab，所以=·（a≥0，b≥0）.

追問：根據(jù)等式的對(duì)稱性，由=·（a≥0，b≥0），得·=（a≥0，b≥0）. 你能用文字語(yǔ)言描述一下二次根式的乘法法則嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè) 兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的積等于這兩個(gè)數(shù)的積的算術(shù)平方根.

追問：如果是，又會(huì)有什么樣的結(jié)果？請(qǐng)說明理由.

學(xué)生探究活動(dòng)略.

設(shè)計(jì)意圖 通過回顧章起始課對(duì)二次根式乘法法則的推導(dǎo)過程，再次激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考. 并借助對(duì)的探究，加深對(duì)積的算術(shù)平方根的理解，為下一環(huán)節(jié)研究商的算術(shù)平方根的性質(zhì)與二次根式的除法運(yùn)算做好鋪墊.

2. 類比遷移，探索新知

問題2  前面已經(jīng)證明出=·，回顧上一節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，你能對(duì)=這一猜想進(jìn)行證明嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè) 類比前面所學(xué)，分別對(duì)等式的左、右兩邊進(jìn)行平方，即可得出.

追問：還有其他的證明方法嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè) 可以把除法變成乘法進(jìn)行驗(yàn)證.

追問：這是從另外一個(gè)角度認(rèn)識(shí)商的算術(shù)平方根的性質(zhì). 由等式的對(duì)稱性，就會(huì)得到=，你現(xiàn)在對(duì)二次根式的除法有什么新的認(rèn)識(shí)？對(duì)于上面的式子，你們還有補(bǔ)充嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè) 應(yīng)該加上a，b的取值范圍. 因?yàn)閎在分母位置，所以a≥0，b>0.

追問：嘗試用文字語(yǔ)言描述一下.

教學(xué)預(yù)設(shè) 兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根之商等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根.

設(shè)計(jì)意圖 這里二次根式乘除運(yùn)算法則的探究過程與教材不同. 教材是通過具體實(shí)例由特殊到一般總結(jié)出規(guī)律，這樣做雖然大部分學(xué)生容易接受，但是不能幫助學(xué)生理解運(yùn)算規(guī)律背后的本質(zhì)，學(xué)生也不知道如何利用演繹推理對(duì)其進(jìn)行證明. 本環(huán)節(jié)通過類比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并推理證明，這樣不僅能加深學(xué)生對(duì)“平方與開平方”互逆運(yùn)算的理解，而且能提高學(xué)生的類比能力，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力.

3. 學(xué)以致用，提高能力

問題3 計(jì)算：（1）×； （2）2×； （3）÷； （4）÷.

學(xué)生嘗試解答，過程略.

設(shè)計(jì)意圖 本題是二次根式乘除運(yùn)算的直接應(yīng)用，被開方數(shù)由簡(jiǎn)單的數(shù)字到字母，題目設(shè)計(jì)由易到難，能幫助學(xué)生加深對(duì)二次根式乘除法的理解. 其中，第（2）題學(xué)生在做的過程中可能會(huì)展示兩種不同的做法，一種是2×=××==2，另一種是2×=2×=2. 教師讓學(xué)生體會(huì)兩種做法，在“擇優(yōu)”中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

問題4 化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）； （4）.

學(xué)生嘗試解答，過程略.

追問：請(qǐng)觀察問題4的化簡(jiǎn)結(jié)果20，，4c，，它們有什么共同特征？給它們起個(gè)什么名字比較合適？

教學(xué)預(yù)設(shè) 被開方數(shù)是整數(shù)或者整式，被開方數(shù)中所有能開方的數(shù)都要被開出來. 滿足這樣特點(diǎn)的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式.

設(shè)計(jì)意圖 本題是用積（商）的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，性質(zhì)服務(wù)于運(yùn)算，運(yùn)算依賴于性質(zhì). 通過讓學(xué)生觀察化簡(jiǎn)后的結(jié)果，總結(jié)這些二次根式的共同特征，引出最簡(jiǎn)二次根式的概念.

問題5 結(jié)合本節(jié)所學(xué)，自己編寫一道二次根式乘除混合運(yùn)算的題目，小組展示并解答所編題目.

設(shè)計(jì)意圖 通過開放性問題的設(shè)計(jì)，加深學(xué)生對(duì)二次根式乘除運(yùn)算法則的理解. 學(xué)生在編題過程中對(duì)所學(xué)內(nèi)容融會(huì)貫通，有助于提高創(chuàng)新能力. 對(duì)所編題目進(jìn)行計(jì)算，能提高計(jì)算能力.

4. 課堂小結(jié)，升華新知

問題6 這節(jié)課學(xué)習(xí)了二次根式的哪些內(nèi)容？我們是通過什么方式獲取這些知識(shí)的？如何證明二次根式乘除運(yùn)算法則？在學(xué)習(xí)過程中用到了哪些思想方法？對(duì)于二次根式，你還想學(xué)什么？

歸納總結(jié) 積（商）的算術(shù)平方根的性質(zhì)：=·（a≥0，b≥0）； =（a≥0，b>0）；

二次根式的乘（除）運(yùn)算法則：·=（a≥0，b≥0）； =（a≥0，b>0）.

設(shè)計(jì)意圖 通過問題提出，引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課的相關(guān)知識(shí)，在梳理知識(shí)的同時(shí)感悟用到的思想方法，逐步形成指向理解的立體結(jié)構(gòu)，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 最后的問題“你還想學(xué)什么”給出了學(xué)習(xí)展望，以此突出學(xué)習(xí)的連貫性.

教學(xué)設(shè)計(jì)立意闡釋

1. 基于推理，走向邏輯

《課標(biāo)（2022年版）》中指出：課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)的代數(shù)推理和幾何直觀，需要體現(xiàn)螺旋上升. 初中階段，學(xué)生要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)道理，并會(huì)基于這樣的道理證明一些數(shù)學(xué)命題. 推理能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ). 在章起始課的統(tǒng)領(lǐng)下，類比積的算術(shù)平方根的性質(zhì)得出商的算術(shù)平方根，并類比積的算術(shù)平方根的證明方法得出商的算術(shù)平方根的邏輯推理過程. 這些都是對(duì)學(xué)生代數(shù)推理加強(qiáng)的體現(xiàn)，從猜想到證明，能使學(xué)生更好地理解二次根式乘除運(yùn)算法則的本質(zhì).

2. 立足整體，乘除統(tǒng)一

本節(jié)課是在理解二次根式概念、性質(zhì)以及學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的平方和開平方運(yùn)算基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究二次根式的運(yùn)算，密切了它與整式和分式的運(yùn)算關(guān)系，為后續(xù)的相關(guān)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ). 二次根式乘除法若按照原來的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)教學(xué)，要用兩個(gè)課時(shí)完成（一節(jié)乘法、一節(jié)除法），而本節(jié)課循章起始課的全景布局，立足整體，順承而下，把二次根式的乘除運(yùn)算有機(jī)地結(jié)合在一起，用一個(gè)課時(shí)即可完成. 通過引導(dǎo)學(xué)生類比歸納得出商的算術(shù)平方根，再類比積的算術(shù)平方根性質(zhì)的證明方法證明商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，體現(xiàn)了乘除的對(duì)立統(tǒng)一性. 如此設(shè)計(jì)，降低了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，有助于學(xué)生更好地理解二次根式的運(yùn)算法則.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］邢成云. “化歸思想”應(yīng)用舉隅［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（29）：23-26.

［3］邢成云. “整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學(xué)［J］. 中國(guó)教師，2021（10）：38-41.