李苗 牛方云：章起始課統(tǒng)領下的“深度探研課”教學實踐

［摘 要］ 隨著新課程標準的頒布實施，初中數學教學更加重視知識的結構化，注重讓學生在自主探索中運用類比、歸納、分析等數學思想靈活解決問題. 在此背景下，初中數學教學更加重視知識之間的關聯，大單元教學也逐步得以開展. 文章基于章起始課統(tǒng)領的“深度探研課”［1］，從“二次根式的加減”教學設計及實施出發(fā)，重構文本求聯動，啟發(fā)思維孕素養(yǎng)，從而踐行課堂設計的新理念.

［關鍵詞］ 二次根式的加減；教學設計；深度探研課

教學分析

“二次根式的加減”是人教版數學八年級下冊第十六章第三節(jié)的內容，本部分的主要內容是二次根式的加減運算和二次根式的加、減、乘、除混合運算. 學習本部分知識之前，學生已經學習了有理數、實數、整式、分式的加減運算，在本章中，學生也已經學習了二次根式的定義、性質及其乘除運算，有許多可以類比的數式學習活動經驗. 同時，本部分內容也為我們后續(xù)學習勾股定理、一元二次方程等知識奠定了基礎. 本節(jié)教學設計立足于大單元教學理念，是教育部中小學“雙名”領航工程邢成云名師工作室提出的“立足市域·走向全國：初中數學章起始課統(tǒng)領的大單元整體教學”之“1+n”結構（“1”指章起始課）中“n”的第二節(jié)課，是立足章起始對二次根式加減運算進行的“深度探研課”［1］. 要通過整合二次根式運算的內容，引導學生類比整式加減，通過觀察、分析、比較、歸納，總結二次根式加減的方法，能夠進一步進行混合運算，并在這一過程中引導學生體會有理數的運算、二次根式的運算，以及整式的運算之間的內在聯系，感受數的擴充過程中運算性質和運算律的一致性以及數式通性.

教學設計

1. 趣味導入，開拓思路

問題1 現有一塊長為7 dm，寬為5 dm的木板，能否采用如圖1所示的方式裁出兩個面積分別為8 dm2和18 dm2的正方形木板？

教學預設 相信學生經過思考能夠得出“能否采用”的含義就是比較和5的大小，以及+和7.5的大小.

設計意圖 通過此環(huán)節(jié)培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數學問題的能力，并通過實際問題引出+這種新的運算，讓學生體會到學習二次根式加減的必要性，進而激發(fā)學生的學習興趣，引入新課.

2. 類比歸納，掌握方法

問題2 上面問題中所涉及的兩個二次根式（，），能進一步實施運算嗎？怎樣才能實施運算？

設計意圖 由此引出二次根式加減運算進一步實施的條件——先化簡，看看是否屬于同一類，就和整式加減一樣，同類才能進一步運算，于是順勢提出問題3.

問題3 ，是最簡二次根式嗎？請先化成最簡二次根式，再觀察化簡后的兩個二次根式有什么共同特點.

教學預設 化簡后的兩個二次根式的被開方數相同.

追問1：在整式加減中，我們知道能夠合并的項被稱為同類項，那么同學們能不能類比同類項給，起個名字？

追問2：類比同類項，總結什么是同類二次根式.

教學預設 類比同類項歸納總結，化簡后，被開方數相同的二次根式，叫同類二次根式.

追問3：你能再列舉幾組同類二次根式嗎？

學生經過思考，紛紛舉手. （教學預設如下，上課時根據學生舉例情況具體對待）

（1），，，3；

（2），，，3；

（3），，，3.

問題4 請同學們用上面所列舉的二次根式組成幾個加減算式.

教學預設 學生所列舉二次根式加減運算如下：（1）+3；（2）+3；（3）-3；（4）++3；（5）-+；（6）+-3；（7）-+-3；（8）（+）-3

-

…

追問1：我們獲取知識的過程一般都是按照由易到難的順序，那么我們應該按照怎樣的順序來研究上面的算式呢？

教學預設 學生思考后決定先研究（1）（2）（3），再研究（4）（5）（6），最后研究（7）（8）.

追問2：請大家嘗試計算上面所列舉算式中的（1）（2）（3）.

追問3：你們這樣進行運算的依據是什么？

追問4：你們是基于我們以前學過的哪種運算產生的猜想？

設計意圖 通過層層追問督促學生明白算理，并且讓學生通過類比整式加減學習二次根式的加減，從而引導學生學會將未知的知識轉化為已經學習的知識來解決，這是注重學生學習能力提升的舉措. 另外，通過引導學生自設問題，開放思維，激活思維，意在發(fā)揮學生的主觀能動性.

問題5 你們能解決上面所列舉算式中的（4）（5）（6）嗎？

問題6 你們能解決上面所列算式中的（7）（8）嗎？

追問：你們能總結二次根式加減運算的一般步驟嗎？

教學預設 師生交流討論后得出，進行二次根式加減運算時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式逆用分配律進行合并. 即一化——化成最簡二次根式；二找——找同類二次根式；三并——合并同類二次根式.

設計意圖 引導學生按照由易到難的順序層層探究，逐步掌握二次根式加減運算的方法. 在注重學生思維能力培養(yǎng)的同時，及時引導學生對方法進行歸納總結，進一步規(guī)范解題步驟.

問題7 你們現在能解決課堂開始的木板問題了嗎？

教學預設 經過前面的學習，學生不難得出<5，+=2+3=5，因為5<7.5，所以+<7.5. 所以能夠截出.

設計意圖 這一回歸性設問做到了首尾呼應，能讓學生感受到數學來源于生活，服務于生活，能讓學生在問題解決過程中真正體會到數學的應用價值.

3. 單元整合，混合運算

問題8 上一節(jié)我們學習了二次根式的乘除運算，現在又學習了二次根式的加減運算，請大家類比前面有理數、整式和分式的運算部分，思考一下我們接下來應該學習什么.

教學預設 學生類比前面所學數式的主要內容，引出我們下一步的學習任務——二次根式的混合運算.

追問1：請繼續(xù)用前面所列舉的二次根式，組成幾個混合運算的算式.

教學預設 學生經過思考，編出以下算式：

（1）（+） ；

（2）（3-）÷；

（3）（-3）（+3）；

（4）（-）2.

追問2：請類比有理數和整式的加減乘除混合運算，思考一下如何進行二次根式的混合運算.

追問3：你們能正確解答以上題目嗎？

教學預設 學生根據此前的學習經驗，運用類比、歸納的數學思想，得出二次根式的混合運算的運算法則，并正確解答以上題目.

設計意圖 引導學生將單元所學內容加以整理，逐步建構起知識體系，運用已經掌握的數學思想和方法解決混合運算的問題，幫助學生更深入地理解和掌握二次根式的計算方法. 通過追問1，再次開放學生的思維；通過追問2，搭建類比支架，滲透策略性知識，創(chuàng)新課堂的組織形式，讓教學始終發(fā)生在系統(tǒng)中. 本環(huán)節(jié)的設計與實施注重引導學生體會有理數的運算、二次根式的運算以及整式的運算之間的聯系，感受數的擴充過程中運算性質和運算律的一致性以及數式通性，能提高學生的數學運算能力和綜合素養(yǎng).

4. 總結感悟 聯動升華

問題9 （1）本節(jié)課你有哪些知識、技能上的收獲？談談你是如何獲取這些知識、技能的？

（2）你在學習過程中用到了哪些數學思想方法？

（3）請你結合本章內容談談數式學習的一般路徑.

設計意圖 本環(huán)節(jié)引導學生全面盤點并反思本節(jié)課學習的知識技能及使用的思想方法，通過讓學生回顧數式學習的研究路徑，使學生更加深入地了解知識間的內在聯系，促進了學生對數式研究內容的整體化認識，關聯了數式學習的通性，注重了學生思維能力的培養(yǎng).

反思評價

1. 整體建構，層層深入

“二次根式的加減”中所蘊含的知識并不是孤立的，它和這一單元前兩節(jié)的內容以及此前有理數、整式計算的內容都有著必然的聯系. 本教學設計秉承大單元整體化教學理念，立足整體，前銜后聯，進行了系統(tǒng)化布局，通過開放性的設問和追問，引導學生層層深入、自主探究，從而有效掌握二次根式的加減運算及加減乘除混合運算方法，形成與整式、分式運算的呼應之勢，可謂串數式聯動之珠，成數學素養(yǎng)之美.

2. 善用類比，激活思維

“二次根式的加減”和整式的加減具有一致性，本教學設計精準把握它們之間的關聯，進一步引導學生采用類比、歸納的數學思想，將已經掌握的數學知識和方法遷移到新的知識學習情境中來，引導學生舉一反三，不斷創(chuàng)新，激發(fā)其思維活力. 在這個過程中，教師充分借助類比引發(fā)學生思考，讓學生循著認知脈絡，步步進階，實現了“四基”的和諧共進，進一步促進了學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻：

［1］邢成云. “整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學［J］. 中國教師，2021（10）：38-41.