［摘 要］ 文章用生活情境統(tǒng)攝二次根式整章復(fù)習(xí)，明確二次根式研究?jī)?nèi)容以及研究路徑，構(gòu)建二次根式章節(jié)知識(shí)框架. 從算術(shù)平方根到二次根式，由整式加減運(yùn)算到二次根式加減運(yùn)算，由分式化簡(jiǎn)到二次根式乘除，通過(guò)類(lèi)比遷移打通數(shù)與式之間的聯(lián)系，由點(diǎn)帶面，深化學(xué)生對(duì)“數(shù)式通性”的理解，從宏觀角度構(gòu)建數(shù)與式部分的知識(shí)體系.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)式通性；結(jié)構(gòu)化；整體觀；二次根式

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2022年版）》）在教學(xué)建議條目二整體把握教學(xué)內(nèi)容中指出：在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系. 數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化落實(shí)于教學(xué)實(shí)踐，要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化. 對(duì)于復(fù)習(xí)課而言，邢成云團(tuán)隊(duì)提出的“整體化教學(xué)”在文章《“整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學(xué)》中是這樣定位的：復(fù)習(xí)課是對(duì)整章內(nèi)容進(jìn)行再次整體認(rèn)知，加固并重構(gòu)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，多角度形成對(duì)本章“終端”的認(rèn)知［1］. 下面以人教版八年級(jí)下冊(cè)“二次根式”為例，談一下如何在復(fù)習(xí)課中落實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化.

厘定教學(xué)內(nèi)容

本單元章起始課已從宏觀和微觀的角度分析了本章的主要內(nèi)容，并進(jìn)行了宏觀規(guī)劃，將本章分為7個(gè)課時(shí)，本節(jié)課屬于第6課時(shí)統(tǒng)攝復(fù)習(xí)課. 統(tǒng)攝復(fù)習(xí)課是以大單元教學(xué)設(shè)計(jì)為根基，以結(jié)構(gòu)化教學(xué)方式為手段，強(qiáng)化知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)脈絡(luò)體系，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力. “數(shù)”與“式”是初中代數(shù)的兩大內(nèi)容，教材編排是以交叉螺旋上升的方式呈現(xiàn)的. 二次根式是學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)、實(shí)數(shù)，整式、分式之后的一章，屬于“數(shù)與式”部分的最后一章，學(xué)生已積累了一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)類(lèi)比、遷移運(yùn)用等學(xué)習(xí)策略，形成了數(shù)與式學(xué)習(xí)的基本套路，對(duì)數(shù)式通性有了較為深刻的認(rèn)識(shí). 基于統(tǒng)攝復(fù)習(xí)課的定位以及學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，可確定本復(fù)習(xí)課基本內(nèi)容為：借助情境復(fù)習(xí)二次根式的定義、性質(zhì)、運(yùn)算以及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，其重點(diǎn)在于加固二次根式章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，厘清“數(shù)與式”部分的知識(shí)脈絡(luò)，形成“數(shù)式一致性”的整體觀，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)式通性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，為后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理、一元二次方程等知識(shí)奠定基礎(chǔ).

確定教學(xué)目標(biāo)

基于《課標(biāo)（2022年版）》分析和學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，以及復(fù)習(xí)課的功能定位，可確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

（1）通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活情境，再次經(jīng)歷從數(shù)（數(shù)的算術(shù)平方根）到式（二次根式）的知識(shí)生長(zhǎng)過(guò)程，厘清其本質(zhì)聯(lián)系，鞏固二次根式的定義、有意義的條件、性質(zhì)、運(yùn)算以及應(yīng)用等知識(shí). 通過(guò)支架問(wèn)題，建構(gòu)二次根式的知識(shí)框架，體會(huì)類(lèi)比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

（2）經(jīng)歷建構(gòu)二次根式知識(shí)結(jié)構(gòu)過(guò)程，完善“數(shù)與式”部分的知識(shí)框架，進(jìn)一步明確“數(shù)與式”研究的路徑和研究方法，理解數(shù)式通性，鞏固研究“數(shù)與式”的基本經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展抽象能力.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 以境為繩，串聯(lián)貫通

情境1 為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，讓教育返璞歸真，某學(xué)校七年級(jí)六班在班主任的帶領(lǐng)下開(kāi)墾了96 m2的試驗(yàn)田作為本班的勞動(dòng)基地.

（1）若試驗(yàn)田為正方形，那么試驗(yàn)田的每條邊長(zhǎng)為_(kāi)_____m.

（2）為便于管理，現(xiàn)對(duì)試驗(yàn)田進(jìn)行分割，每塊小試驗(yàn)田的長(zhǎng)為大試驗(yàn)田的長(zhǎng)，寬為 m，那每塊小試驗(yàn)田的面積為多少平方米？小試驗(yàn)田的長(zhǎng)是寬的多少倍？

（3）（2）中小試驗(yàn)田的周長(zhǎng)為多少米？長(zhǎng)比寬長(zhǎng)多少米？

數(shù)學(xué)思考 （1）在問(wèn)題（1）中，你是怎樣求試驗(yàn)田的邊長(zhǎng)的？若把96換成字母，邊長(zhǎng)又怎樣表示呢？你能說(shuō)出數(shù)的算術(shù)平方根與二次根式之間的關(guān)系嗎？二次根式的性質(zhì)有哪些？什么是最簡(jiǎn)二次根式？

（2）問(wèn)題（2）體現(xiàn)了二次根式的哪些內(nèi)容？相對(duì)應(yīng)的法則是什么？這部分內(nèi)容你是怎樣開(kāi)展研究的？

（3）根據(jù)問(wèn)題（3），請(qǐng)說(shuō)出如何進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算，它與整式加減運(yùn)算之間有什么區(qū)別與聯(lián)系？

功能分析 以實(shí)際問(wèn)題情境引入，讓學(xué)生再次體會(huì)二次根式在生活中的應(yīng)用. 通過(guò)三個(gè)支架問(wèn)題的設(shè)置，貫穿二次根式的定義、性質(zhì)、運(yùn)算以及應(yīng)用等知識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)二次根式與數(shù)的算術(shù)平方根、整式、分式之間的關(guān)系，厘清知識(shí)發(fā)展脈絡(luò)，建構(gòu)“數(shù)與式”部分的知識(shí)框架，深化學(xué)生對(duì)數(shù)式通性的理解. 對(duì)于“數(shù)學(xué)思考（1）”，根據(jù)算術(shù)平方根的意義得x2=96，則x=，進(jìn)而得，學(xué)生再次體會(huì)了從數(shù)到式的自然過(guò)渡（用式的眼光看待），同時(shí)體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，感受由數(shù)到式的生長(zhǎng)與發(fā)展. 通過(guò)追問(wèn)二次根式的性質(zhì)有哪些，進(jìn)一步明確了二次根式的定義與三個(gè)性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系. 另外，在求解正方形邊長(zhǎng)時(shí)，若學(xué)生把化簡(jiǎn)為4，教師可順勢(shì)復(fù)習(xí)最簡(jiǎn)二次根式的概念；若學(xué)生沒(méi)有化簡(jiǎn)，教師就通過(guò)追問(wèn)把這一概念調(diào)出來(lái). 對(duì)于“數(shù)學(xué)思考（2）”，把二次根式的乘除運(yùn)算擺出來(lái)，在追問(wèn)運(yùn)算依據(jù)的基礎(chǔ)上喚起二次根式乘除運(yùn)算法則，繼而在“怎樣開(kāi)展研究的”的追問(wèn)中突出乘除運(yùn)算法則之間的聯(lián)系以及二次根式與分式運(yùn)算的同構(gòu)關(guān)系. “數(shù)學(xué)思考（3）”的設(shè)置是為了引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)二次根式的加減運(yùn)算，進(jìn)一步體會(huì)它與整式加減之間的關(guān)系. 二次根式的加減是在化簡(jiǎn)之后合并同類(lèi)二次根式，實(shí)際上相當(dāng)于合并同類(lèi)項(xiàng)，從中能體會(huì)式與式之間的關(guān)聯(lián)，同時(shí)類(lèi)比分式研究能進(jìn)一步明確二次根式的研究路徑和研究?jī)?nèi)容（如圖1所示）.

2. 乘勝追擊，加固結(jié)構(gòu)

情境2 （1）在情境1中，我們體會(huì)到了二次根式與數(shù)的算術(shù)平方根、整式、分式之間的關(guān)系，回憶曾經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)（有理數(shù)、實(shí)數(shù)），學(xué)過(guò)的代數(shù)式（整式、分式、二次根式），你能說(shuō)出這些“數(shù)與式”之間的關(guān)系嗎？

（2）根據(jù)它們之間的關(guān)系，嘗試建構(gòu)“數(shù)與式”部分的知識(shí)框圖.

功能分析 基于本章是“數(shù)與式”部分的最后一章，所以本節(jié)課不但肩負(fù)著本章知識(shí)的復(fù)習(xí)，同時(shí)肩負(fù)著數(shù)與式整個(gè)板塊的知識(shí)建構(gòu)，需將分散在各個(gè)年級(jí)不同冊(cè)中的相關(guān)知識(shí)之間的縱向聯(lián)系勾勒出來(lái)，使這種隱形的大單元浮出水面，讓學(xué)生見(jiàn)木見(jiàn)林，發(fā)揮復(fù)習(xí)課的價(jià)值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，發(fā)展學(xué)生“數(shù)式一致性”的整體觀，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成. 問(wèn)題（1）引導(dǎo)學(xué)生回憶從數(shù)到式的研究歷程，由整數(shù)到整式，分?jǐn)?shù)到分式，從無(wú)理數(shù)到二次根式，加強(qiáng)知識(shí)之間的縱向聯(lián)系，體會(huì)數(shù)式通性，以及運(yùn)用的類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想策略. 皮亞杰在《結(jié)構(gòu)主義》中提出“結(jié)構(gòu)就是圖式體系”的論斷，認(rèn)為新知學(xué)習(xí)是新、舊圖式體系相互作用的過(guò)程. 因此在新知的教學(xué)中，教師要把零碎的知識(shí)有效結(jié)成網(wǎng)、組成圖式體系，讓知識(shí)模塊化［2］. 因此設(shè)置問(wèn)題（2），引導(dǎo)學(xué)生把本章知識(shí)融入可視化的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中，形成“數(shù)與式”模塊的知識(shí)網(wǎng)（如圖2所示），厘清“數(shù)與式”部分知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，體會(huì)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程. 教師有套路地教，學(xué)生有方向地學(xué).

3. 以題為擎，深化認(rèn)知

（1）如果ab>0，a+b<0，那么下列各式正確的是（ ）

A.=

B.×=1

C.×=a

D.

2 =-ab

（2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖3所示，則化簡(jiǎn)+-a的結(jié)果是（ ）

A. 2a B. 2b C. -2b D. -2a

（3）計(jì)算：

①-+×；

②÷+（3-）.

（4）閱讀下面的材料：

=

=

=

=-.

以上這種化簡(jiǎn)的方法叫分母有理化.觀察上面的解答過(guò)程，回答下列問(wèn)題：

①求的值，并直接寫(xiě)出=____________；

②利用上面提供的解法，化簡(jiǎn)：++++…+；

③化簡(jiǎn)：+++…+.

功能分析 為進(jìn)一步深化認(rèn)知，補(bǔ)白在上一環(huán)節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)練習(xí)不夠深入的問(wèn)題，針對(duì)本章主要內(nèi)容，設(shè)置了4道題，第（1）題主要考查二次根式的乘除運(yùn)算法則，第（2）題則綜合考查二次根式的性質(zhì)，第（3）題考查二次根式的加減乘除混合運(yùn)算，第（4）題通過(guò)閱讀材料設(shè)置新情境——分母有理化，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，遷移到二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算中，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想. 4道題由淺入深，由易到難，層層遞進(jìn)，讓不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都能得以提升.

4. 類(lèi)比遷移，聚焦整體

（1）通過(guò)復(fù)習(xí)你對(duì)二次根式有哪些新的認(rèn)識(shí)？獲得了怎樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？

（2）你是怎樣研究二次根式的？運(yùn)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

（3）請(qǐng)進(jìn)一步完善“數(shù)與式”知識(shí)的框架圖.

功能分析 通過(guò)支架問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行回顧總結(jié)，加固“數(shù)與式”學(xué)習(xí)的路徑與策略，知識(shí)框架的完善使學(xué)生形成對(duì)知識(shí)理解的可視化（如圖4所示），實(shí)現(xiàn)知其然—知其所以然—何由以知其所以然的轉(zhuǎn)變，最終達(dá)到綱舉目張的整體效果.

教學(xué)設(shè)計(jì)整體立意

1. 融知現(xiàn)實(shí)情境，厘定研究路徑

本節(jié)課以學(xué)生熟悉的生活情境引入，設(shè)置了幾個(gè)問(wèn)題，依次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次根式的定義，性質(zhì)以及加、減、乘、除運(yùn)算進(jìn)行復(fù)習(xí). 每個(gè)問(wèn)題針對(duì)不同的知識(shí)點(diǎn)，以點(diǎn)帶面地進(jìn)行整章知識(shí)的復(fù)習(xí)與鞏固，幫助學(xué)生進(jìn)行二次根式知識(shí)脈絡(luò)的梳理，厘清二次根式的研究路徑，體會(huì)由數(shù)到式的自然遷移. 本環(huán)節(jié)在處理上沒(méi)有穿插具體的鞏固練習(xí)，目的是為了保持知識(shí)系統(tǒng)的完整性，以利于知識(shí)的整體建構(gòu).

2. 基于數(shù)式通性，類(lèi)比促成結(jié)構(gòu)

“數(shù)與式”從整體性上看，“式”繼承了“數(shù)”的運(yùn)算法則與運(yùn)算律；從思想方法上看，“式”是“數(shù)”的進(jìn)一步抽象，是“數(shù)”的一般化，在式的運(yùn)算中，數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)不變. 關(guān)聯(lián)數(shù)式通性，從“數(shù)”向“式”自然遷移，將“數(shù)”與“式”從認(rèn)知上進(jìn)行統(tǒng)一，有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣［3］. 本節(jié)課正是基于“數(shù)與式”之間的這種聯(lián)系展開(kāi)復(fù)習(xí)的，通過(guò)嵌入二次根式知識(shí)的情境創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生在知識(shí)不斷同化與順應(yīng)中完成二次根式的復(fù)習(xí)與鞏固，通過(guò)支架問(wèn)題的設(shè)置，由二次根式自然遷移到“數(shù)與式”大知識(shí)體系中，引導(dǎo)學(xué)生在宏觀上對(duì)“數(shù)與式”進(jìn)行整體的二次建構(gòu)，深化數(shù)式通性，實(shí)現(xiàn)思維的高通路遷移.

3. 基于系統(tǒng)思維，落實(shí)首尾呼應(yīng)

數(shù)學(xué)本然是整體的，自然需要整體地教. 小結(jié)課是《課標(biāo)（2022年版）》所倡導(dǎo)的也是邢成云“整體化教學(xué)”團(tuán)隊(duì)所定位的“整—分—整”教學(xué)鏈條上的第二個(gè)整［1］，是在系統(tǒng)思維指導(dǎo)下，踐行橫向上從碎片到體系、縱向上從孤立到聯(lián)結(jié)的規(guī)整與升華，是對(duì)章起始課之整體建構(gòu)的進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再“生長(zhǎng)”，從而落實(shí)好“生書(shū)熟講”與“熟書(shū)生溫”的首尾呼應(yīng).

參考文獻(xiàn)：

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［2］劉世雄. 胸中有丘壑，方能繪山河——基于整體性和結(jié)構(gòu)化的“二次根式”教學(xué)思考［J］. 數(shù)理天地（初中版），2023（7）：54-56.

［3］應(yīng)佳成. 用好數(shù)式通性，從“數(shù)”向“式”自然過(guò)渡［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2020（23）：8-12.