深度學(xué)習(xí)視域下初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐教學(xué)策略研究

［摘 要］ 深度學(xué)習(xí)是促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的有效途徑. 文章以“平面圖形的鑲嵌”為例，重點(diǎn)闡釋了深度學(xué)習(xí)背景下的數(shù)學(xué)問題探究型綜合與實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)策略，給出了具有可操作性的路徑參考.

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；綜合與實(shí)踐；策略研究

根據(jù)布魯姆對(duì)認(rèn)知水平的劃分，學(xué)習(xí)分為深度學(xué)習(xí)和淺層學(xué)習(xí). 北京師范大學(xué)教授李春密認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程［1］. 學(xué)者朱立明等認(rèn)為深度學(xué)習(xí)有三個(gè)基本特征：學(xué)科活動(dòng)有體驗(yàn)，學(xué)習(xí)理解有高度，結(jié)構(gòu)拓展有層次［2］. 結(jié)合學(xué)科特點(diǎn)、深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵及基本特征，筆者通過實(shí)踐，認(rèn)為深度學(xué)習(xí)視域下的數(shù)學(xué)問題探究型綜合與實(shí)踐教學(xué)可以嘗試用如圖1所示的路徑開展.

創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣

創(chuàng)設(shè)密切聯(lián)系日常生活的問題情境可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)思考. 初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)世界往往可以找到具體的問題情境，教師應(yīng)借助生活中的恰當(dāng)問題情境啟發(fā)學(xué)生在情境中感悟數(shù)學(xué).

教學(xué)設(shè)計(jì)

多媒體呈現(xiàn)校園中多處地磚、墻磚的拼鋪圖片，大自然中蜂巢、龜板等圖片. 問：你能從這些生活現(xiàn)象中提出什么數(shù)學(xué)問題？

說明：以校園、大自然中的現(xiàn)實(shí)情境引出課題——“平面圖形的鑲嵌”，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力.

注重抽象提煉，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的眼光

“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要目標(biāo). 初中階段，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)［3］. 能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)，理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理［3］等是“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”的具體表現(xiàn).

教學(xué)設(shè)計(jì)

問題1：觀察圖2中的兩張圖片，它們分別由哪些基本圖形構(gòu)成？同一種基本圖形的形狀、大小有什么關(guān)系？

問題2：兩張圖片都是平面圖形鑲嵌所形成的圖案，請(qǐng)嘗試給出平面圖形鑲嵌的定義.

活動(dòng)：合作學(xué)習(xí)，用若干全等的三角形紙片和四邊形紙片分別嘗試拼成鑲嵌圖案.

問題3：一種多邊形能鑲嵌平面需具備哪些條件？

問題4：任意一種三角形或四邊形能否分別單獨(dú)鑲嵌平面？

說明：該部分首先組織學(xué)生觀察圖片，抽象平面圖形鑲嵌的定義；然后組織學(xué)生進(jìn)行拼圖活動(dòng)，在活動(dòng)的基礎(chǔ)上討論鑲嵌的條件；最后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用鑲嵌的條件解釋任意一種三角形或四邊形都能單獨(dú)鑲嵌平面. 從現(xiàn)實(shí)世界中抽象研究對(duì)象，通過活動(dòng)掌握并運(yùn)用鑲嵌的條件，這樣，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)和習(xí)慣得到培養(yǎng).

扎實(shí)深度探索，發(fā)展數(shù)學(xué)的思維

培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，需要落實(shí)“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的育人目標(biāo). 能夠根據(jù)已知事實(shí)或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系［3］等是“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的具體表現(xiàn). 初中階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理能力［3］. 利用拓寬研究思路、搭建學(xué)習(xí)支架、完善結(jié)構(gòu)體系的教學(xué)路徑能夠很好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

1. 拓寬研究思路

一些心理學(xué)家認(rèn)為發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的最主要特點(diǎn). 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)倡導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，以培育邏輯思維能力.

教學(xué)設(shè)計(jì)

問題：僅用一種正多邊形鑲嵌平面，會(huì)有哪些情形？

枚舉：6個(gè)正三角形，4個(gè)正方形，3個(gè)正六邊形.

思路1：對(duì)于正n邊形，其內(nèi)角的度數(shù)隨著n的增大而增大，當(dāng)n不少于7時(shí)，所需要的數(shù)量為2個(gè)或1個(gè)，顯然不可能.

思路2：設(shè)正多邊形的邊數(shù)是n，則每一個(gè)拼接點(diǎn)處的數(shù)量為360÷=2+. 因?yàn)檫厰?shù)和數(shù)量均為正整數(shù)，所以n的值為3，4，6.

思路3：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，每一個(gè)拼接點(diǎn)處的數(shù)量為m，則m=360，整理后得到（m-2）（n-2）=4. 因?yàn)閙，n均是正整數(shù)，所以m-2=1，

n-2=4 或m-2=2，

n-2=2 或m-2=4，

n-2=1， 解得m=3，

n=6 或m=4，

n=4 或m=6，

n=3.

所以僅用一種正多邊形鑲嵌平面有如下三種情形：（6，6，6），（4，4，4，4），（3，3，3，3，3，3），數(shù)字代表正多邊形的邊數(shù)（下同）. 三種情形對(duì)應(yīng)的鑲嵌圖案如圖3所示.

說明：該環(huán)節(jié)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生枚舉并多角度說明猜想的正確性. 思路1的“定性分析”是靈活的；思路2將問題轉(zhuǎn)化為“整數(shù)+真分式”的整數(shù)解問題，思路3將問題轉(zhuǎn)化為二元方程整數(shù)解問題，既拓寬了研究思路，也為后續(xù)的研究提供了方法支持.

2. 搭建學(xué)習(xí)支架

教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成需要關(guān)注學(xué)習(xí)支架的搭建. 何時(shí)搭建、如何搭建都可能影響目標(biāo)的達(dá)成度. 為了實(shí)現(xiàn)更高的目標(biāo)，在組織學(xué)習(xí)之前，教師依據(jù)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)情等預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)支架至關(guān)重要.

教學(xué)設(shè)計(jì)

問題1：同時(shí)用兩種正多邊形鑲嵌平面，會(huì)有哪些情形？

支架1：根據(jù)正n邊形（3≤n≤12）每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，思考哪兩個(gè)度數(shù)組合能得到360°.

枚舉：（3，3，6，6），（3，3，3，3，6），（3，3，3，4，4），（3，12，12），（4，8，8），（5，5，10）.

支架2：設(shè)每一個(gè)拼接點(diǎn)處正x邊形和正y邊形分別為m個(gè)和n個(gè)，能列出怎樣的等式？

m·+n·=360，即m·+n·=2.①

追問：該如何求解？

支架3：正整數(shù)m，n，x，y的范圍分別是什么？（1≤m<6，1≤n<6，x≥3，y≥3）

支架4：m+n的范圍是什么？

由①得m+n=2+2

+

>2，進(jìn)一步分析得3≤m+n<6且為整數(shù).

支架5：不妨設(shè)m≥n，m和n的取值有哪些情況？

m=2，

n=1或m=3，

n=1或m=2，

n=2或m=4，

n=1或m=3，

n=2.

活動(dòng)：請(qǐng)類比上一環(huán)節(jié)的思路2，完成后續(xù)的推理.

當(dāng)m=2，

n=1 時(shí)，y=2+，得x=5，

y=10或x=8，

y=4 或x=12，

y=3. 當(dāng)m=3，

n=1 時(shí)，y=1+，無(wú)解. 當(dāng)m=2，

n=2 時(shí)，y=2+，得x=3，

y=6或x=6，

y=3.當(dāng)m=4，

n=1 時(shí)，y=，由x=3，

y=6或x=4，

y=2 或x=5，

y= ...得x=3，

y=6.當(dāng)m=3，

n=2 時(shí)，y=，同理得x=3，

y=4.

問題2：六種情形對(duì)應(yīng)的“鑲嵌”圖案見圖4. 觀察圖4，你有什么啟發(fā)？

共頂點(diǎn)內(nèi)角的和為360°不一定能鑲嵌平面，需要所有點(diǎn)的周圍內(nèi)角的和都達(dá)到360°.

所以用兩種正多邊形鑲嵌平面有如下五種情形：（4，8，8），（3，12，12），（3，3，6，6），（3，3，3，3，6），（3，3，3，4，4）.

說明：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)正n邊形（3≤n≤12）每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)組合得到360°，學(xué)生的“數(shù)感”得到訓(xùn)練. 可以預(yù)判，學(xué)生面對(duì)四個(gè)未知數(shù)的等式極有可能無(wú)從下手，所以教師要提前預(yù)設(shè)多個(gè)學(xué)習(xí)支架，輔以幾何直觀，讓學(xué)生順利突破難點(diǎn).

3. 完善結(jié)構(gòu)體系

數(shù)學(xué)知識(shí)具有系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性，是相互聯(lián)系的有機(jī)整體. 若把某一數(shù)學(xué)知識(shí)體系看作一臺(tái)“機(jī)器”，與其相關(guān)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是一個(gè)個(gè)“零件”. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)循序漸進(jìn)，組織學(xué)生有序?qū)W習(xí)，關(guān)注知識(shí)的整體性，不斷完善結(jié)構(gòu)體系.

教學(xué)設(shè)計(jì)

問題1：我們對(duì)用一種和兩種正多邊形鑲嵌平面做了研究. 接下來(lái)該研究什么？從哪個(gè)角度切入？

用三種正多邊形鑲嵌平面，從拼接點(diǎn)處正多邊形的數(shù)量切入.

追問1：每一個(gè)拼接點(diǎn)處正三角形和正方形分別至多有幾個(gè)？當(dāng)個(gè)數(shù)分別取最大值時(shí)，有哪些情形？

2個(gè)；（3，3，4，12），（3，4，4，6）.

追問2：當(dāng)正多邊形的邊數(shù)至少為5條時(shí)，在每一個(gè)拼接點(diǎn)處至多出現(xiàn)幾次？

1次，216°+60°+90°>360°.

追問3：若拼接點(diǎn)處每一種正多邊形只出現(xiàn)1次，有哪些情形？

支架1：設(shè)正多邊形的邊數(shù)分別為n，n，n（n<n<n），能列出怎樣的等式？

++=360，即++=.

支架2：當(dāng)變量太多時(shí)，我們可以采用什么方法解決？（控制變量法）

①當(dāng)n=3時(shí)，n=6+，得

n=7，

n=42 或

n=8，

n=24 或

n=9，

n=18 或

n=10，

n=15.②當(dāng)n=4時(shí)，n=knEmoSpSzvCFkOWRap3/KogjRJs1MoXDo+zh1pbpJCo=4+，得

n=5，

n=20 或

n=6，

n=12. ③當(dāng)n=5，n=6，n=7時(shí)，108°+120°+

°≠360°. ④當(dāng)n=5，n=6，n=8時(shí)，108°+120°+135°>360°.

綜上，共有八種情形，對(duì)應(yīng)的“鑲嵌”圖案如圖5所示. 從圖5③至5⑦可以看出，（3，7，42），（3，8，24），（3，9，18），（3，10，15），（4，5，20）不能鑲嵌平面.

所以用三種正多邊形鑲嵌平面有如下三種情形：（3，3，4，12），（3，4，4，6），（4，6，12）.

問題2：同時(shí)用至少四種正多邊形能鑲嵌平面嗎？

60°+90°+108°+120°>360°，不能.

說明：該部分首先引導(dǎo)學(xué)生確定研究的對(duì)象和切入口，然后通過分析得到（3，3，4，12），（3，4，4，6）兩種情形，將問題歸結(jié)為研究拼接點(diǎn)處每一種正多邊形只出現(xiàn)1次的情形. 隨后，借助學(xué)習(xí)支架和幾何直觀得到使用三種正多邊形鑲嵌平面的全部情形. 最后，推理得到至少四種正多邊形不能鑲嵌平面的結(jié)論. 從對(duì)一種正多邊形到兩種正多邊形，再到三種及以上正多邊形鑲嵌平面的研究，達(dá)成了對(duì)正多邊形鑲嵌平面知識(shí)的深度學(xué)習(xí).

引領(lǐng)整合歸納，滲透數(shù)學(xué)的語(yǔ)言

整合歸納是促進(jìn)良好知識(shí)結(jié)構(gòu)形成的有效方式. 初中階段，數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要表現(xiàn)為：數(shù)據(jù)觀念、模型觀念和應(yīng)用意識(shí)［3］. 在對(duì)知識(shí)技能、思想方法、學(xué)習(xí)路徑等整合歸納時(shí)注重模型觀念和應(yīng)用意識(shí)的滲透，能夠更好地達(dá)成“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的課程目標(biāo).

教學(xué)設(shè)計(jì)

請(qǐng)從知識(shí)技能、思想方法、學(xué)習(xí)路徑等角度談一談你的收獲.

說明：引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)技能、思想方法、學(xué)習(xí)路徑等角度整合歸納，運(yùn)用思維導(dǎo)圖（圖6、圖7）呈現(xiàn)，加深對(duì)知識(shí)技能的整體認(rèn)知，對(duì)思想方法的理解感悟，為今后的研究提供路徑參考. 在整合歸納時(shí)注重模型觀念和應(yīng)用意識(shí)的滲透，學(xué)科核心素養(yǎng)得到進(jìn)一步培育.

深化遷移應(yīng)用，落實(shí)深度學(xué)習(xí)

“遷移與應(yīng)用”是知識(shí)向經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化的必要途徑，是落實(shí)深度學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié). 它強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果的外化，一方面可以深化對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，另一方面可以錘煉學(xué)生面對(duì)新的問題情境時(shí)分析問題和解決問題的能力.

作業(yè)設(shè)計(jì)

1. 從用兩種或三種正多邊形鑲嵌平面的情形中至少選擇一種，借助幾何畫板或紙片設(shè)計(jì)一個(gè)美麗的鑲嵌圖案.

2. 如圖8，在正方形內(nèi)部剪去一個(gè)不規(guī)則圖形并平移形成新的圖形. 以新圖形為基本圖形能否鑲嵌平面？畫圖說明.

3. 平面圖形的鑲嵌可以使用的基本圖形非常豐富. 如荷蘭藝術(shù)家埃舍爾的經(jīng)典作品《騎士平面鑲嵌》（圖9）. 鑲嵌不僅限于平面圖形，如足球表面是由12塊正五邊形和20塊正六邊形鑲嵌構(gòu)成的. 請(qǐng)課后通過互聯(lián)網(wǎng)或圖書查閱鑲嵌的更多知識(shí)，并分享給你的同伴.

說明：作業(yè)1是所學(xué)知識(shí)的具體實(shí)踐，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力. 作業(yè)2是從規(guī)則圖形的平面鑲嵌到不規(guī)則圖形的平面鑲嵌的遷移. 作業(yè)3是開放題，借助互聯(lián)網(wǎng)、圖書等途徑可以實(shí)現(xiàn)對(duì)鑲嵌更加深層次的學(xué)習(xí). 作業(yè)設(shè)計(jì)的循序漸進(jìn)，符合深度學(xué)習(xí)對(duì)結(jié)構(gòu)層次拓展的要求.

在綜合與實(shí)踐教學(xué)過程中融入深度學(xué)習(xí)的理論，必將會(huì)對(duì)新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)在實(shí)踐層面的推進(jìn)產(chǎn)生積極影響. 教師在組織深度學(xué)習(xí)視域下綜合與實(shí)踐教學(xué)的過程中應(yīng)緊扣“深”字：思維應(yīng)“深”入，過程應(yīng)“深”刻，結(jié)果應(yīng)“深”化. 教師只有關(guān)注教學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)、學(xué)習(xí)理解的高度、結(jié)構(gòu)拓展的層次，才能切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］李春密. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（學(xué)科教學(xué)指南·初中物理）［M］. 北京：教育科學(xué)出版社，2020.

［2］朱立明，馮用軍，馬云鵬. 論深度學(xué)習(xí)的教學(xué)邏輯［J］. 教育科學(xué)，2019，35（3）：14-20.

［3］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.