［摘 要］ 問(wèn)題作為數(shù)學(xué)的心臟，在課堂中具有舉足輕重的作用. 核心素養(yǎng)背景下的復(fù)習(xí)教學(xué)，該如何應(yīng)用問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力呢？研究者以“全等三角形”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，分別從“并列式問(wèn)題回顧舊知，引出新知”“遞進(jìn)式問(wèn)題梳理方法，拓展策略”“探索式問(wèn)題提升能力，激活思維”三方面展開(kāi)教學(xué)與分析，并談幾點(diǎn)思考.

［關(guān)鍵詞］ 問(wèn)題；全等三角形；復(fù)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)義務(wù)教育階段學(xué)生需要掌握的核心素養(yǎng)做了新的闡釋. 問(wèn)題作為數(shù)學(xué)的心臟，對(duì)教學(xué)具有導(dǎo)向作用. 如何以問(wèn)題為基礎(chǔ)，通過(guò)不同形式問(wèn)題的設(shè)置啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？這是筆者近年來(lái)一直在探索的話(huà)題，在此以“全等三角形”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，具體談?wù)剢?wèn)題導(dǎo)學(xué)提升復(fù)習(xí)成效的主要措施.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 并列式問(wèn)題回顧舊知，引出新知

如圖1，已知△ABC與△FDE全等.

問(wèn)題1 觀察圖1，可初步獲得哪些結(jié)論？

生1：結(jié)合題設(shè)條件可知AB=FD，BC=DE，AC=FE.

師：很好！根據(jù)題設(shè)條件與圖示除了知道幾組相等的線段之外，還可獲得什么結(jié)論？

生2：還可以從角去分析，如∠ACB=∠FED等.

生3：還可以從平行的角度發(fā)現(xiàn)AC∥FE.

生4：我還發(fā)現(xiàn)AF=BD.

師：非常好！你們是以什么為依據(jù)分別獲得以上結(jié)論的？

生4：從全等三角形相對(duì)應(yīng)的邊、角均相等的定理而得.

（板書(shū)：全等三角形的性質(zhì)）

設(shè)計(jì)意圖 此問(wèn)意在引發(fā)學(xué)生對(duì)舊知（全等三角形的性質(zhì)）的回顧，學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題1的分析，從已有的認(rèn)知體系中提取了全等三角形的性質(zhì)，為接下來(lái)進(jìn)一步深入復(fù)習(xí)奠定基礎(chǔ). 同時(shí)，低起點(diǎn)的問(wèn)題有效激活了學(xué)生的思維，讓全體學(xué)生都積極地參與到課堂中來(lái)，使得每個(gè)認(rèn)知水平層次的學(xué)生都從簡(jiǎn)單問(wèn)題中獲取了學(xué)習(xí)信心，為整個(gè)復(fù)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ).

問(wèn)題2 我們?cè)撊绾伟l(fā)現(xiàn)全等三角形對(duì)應(yīng)的邊與角呢？

生5：從題設(shè)條件△ABC≌△FDE可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)全等三角形所對(duì)應(yīng)的邊和角，如AC邊與FE邊相對(duì)應(yīng).

師：不錯(cuò)，從數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言出發(fā)可以探尋到全等三角形所對(duì)應(yīng)的邊，還有其他不同的探尋方法嗎？

生6：也可以通過(guò)對(duì)三角形的平移，獲得相應(yīng)的邊、角相等.

師：以上兩種方法均能發(fā)現(xiàn)全等三角形相對(duì)應(yīng)的邊和角，我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可結(jié)合題設(shè)條件靈活變通，從便捷的角度發(fā)現(xiàn)邊、角對(duì)應(yīng)相等的條件或結(jié)論.

（板書(shū)：找對(duì)應(yīng)——方法點(diǎn)）

問(wèn)題3 關(guān)于AF=BD，AC∥FE的結(jié)論，是否也能應(yīng)用以上兩種方法直接獲得？

生7：不行，這兩個(gè)結(jié)論需要經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化才能獲得，如AF=BD需結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，先獲得AB=FD將這兩條線段分別減掉公共線段BF，可得AF=BD.

師：不錯(cuò)，這位同學(xué)將直接的量，即相等的邊AB=FD轉(zhuǎn)化成間接的量線段AF=BD，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科中轉(zhuǎn)化思想的靈活性.

設(shè)計(jì)意圖 此問(wèn)意在幫助學(xué)生提煉常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，為后續(xù)解題奠定基礎(chǔ). 當(dāng)然，這也是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

效能分析 復(fù)習(xí)需遵循由淺入深的過(guò)程，學(xué)生在之前對(duì)全等三角形的性質(zhì)已經(jīng)有所了解，但由于間隔了一段時(shí)間有所遺忘. 教師借助一組并列式的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生重構(gòu)知識(shí)，讓學(xué)生在自然的狀態(tài)下勾起對(duì)舊知的回顧，而后通過(guò)直接量與間接量的轉(zhuǎn)化，有效提煉了轉(zhuǎn)化思想與技能. 整體來(lái)說(shuō)，這種并列式的問(wèn)題從對(duì)知識(shí)與技能的梳理、整合與重組方面啟發(fā)了學(xué)生的思維，激活了學(xué)生的認(rèn)知，為幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)奠定了基礎(chǔ).

2. 遞進(jìn)式問(wèn)題梳理方法，拓展策略

問(wèn)題4 如圖1，已知△ABC與△FDE，若想確定這兩個(gè)三角形為全等的關(guān)系，需添加幾個(gè)條件？依據(jù)是什么？

生8：需添加三個(gè)條件，依據(jù)為SAS，ASA，SSS，AAS.

師：所添加的條件中，有一組什么條件是必備的？

生9：“一組對(duì)應(yīng)邊相等”的條件必不可少.

設(shè)計(jì)意圖 此為判定三角形全等條件的梳理過(guò)程，引發(fā)學(xué)生對(duì)全等三角形的判定定理（SAS，ASA，SSS，AAS）產(chǎn)生回顧，尤其關(guān)注到不論用哪種方法判定兩個(gè)三角形全等，少不了一組對(duì)應(yīng)邊相等的支持.

問(wèn)題5 如圖1，若想判定Rt△ABC與Rt△FDE為全等的關(guān)系，需添加幾個(gè)條件？為什么？

生10：僅需添加兩個(gè)條件，雖然圖形沒(méi)有發(fā)生改變，但題設(shè)條件中出現(xiàn)了“直角三角形”的條件，可知這兩個(gè)三角形中，有一對(duì)對(duì)應(yīng)的角相等.

師：很好！雖然還是同一幅圖，但題設(shè)條件發(fā)生了改變，那么對(duì)問(wèn)題的分析同樣要從新的角度去思考，如此來(lái)看，題設(shè)條件信息對(duì)結(jié)論具有決定性作用. 在已有條件的基礎(chǔ)上，給題目添加了BC=DE這個(gè)條件，想要確定△ABC≌△FDE，還需增加什么條件？

生11：可增加AB=FD.

師：說(shuō)說(shuō)為什么增加了AB=FD這個(gè)條件后就能確定△ABC≌△FDE？

生11：通過(guò)題設(shè)條件來(lái)分析，已知“BC=DE”“∠ABC=∠FDE=90°”，即存在一組對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合三角形全等“SAS”的判定法，添加AB=FD即可.

師：本題除了添加這個(gè)條件之外，還存在其他方法嗎？

生12：還可以從“ASA”的角度出發(fā)，添加∠C=∠E；從“AAS”的角度出發(fā)，添加條件∠A=∠EFD；從“HL”的角度出發(fā)，添加條件AC=FE.

生13：還可以添加AC∥FE或AF=BD.

師：很好！誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)AC∥FE或AF=BD的理由.

生14：根據(jù)AB=FD，可知添加AF=BD亦可；根據(jù)∠A=∠EFD，可知添加AC∥FE亦可.

設(shè)計(jì)意圖 將AF=BD轉(zhuǎn)為AB=FD，可得△ABC≌△FDE；根據(jù)AC∥FE，可得∠A=∠EFD，可確定△ABC≌△FDE. 這兩種情況都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，即將間接的量轉(zhuǎn)化成直接的量.

問(wèn)題6 如圖2，已知Rt△ABC與Rt△FDC中的BC=DC，若想確定△ABC≌△FDC，需添加幾個(gè)條件？

生15：僅需添加一個(gè)條件即可.

生16：我認(rèn)為不需要添加任何條件，結(jié)合“ASA”判定法，根據(jù)∠CDF=∠CBA（直角），∠C=∠C，BC=DC，就能獲得△ABC≌△FDC.

師：很好！顯然∠C為題中的隱含條件，除此之外，圖形中常見(jiàn)的隱含條件還有哪些？

生17：如公共角、公共邊、對(duì)頂角等，都可作為隱含條件使用.

效能分析 全等三角形的新知授課時(shí)，不少學(xué)生就存在一些易錯(cuò)點(diǎn). 此環(huán)節(jié)，教師將三角形的條件進(jìn)行了微調(diào)，即以直角三角形作為條件呈現(xiàn)，意在引發(fā)學(xué)生關(guān)注文本中的隱含信息，而后添加條件BC=DC，將認(rèn)知性問(wèn)題逐漸推向方法性問(wèn)題，學(xué)生結(jié)合條件自主確定全等三角形的判定方法，進(jìn)一步強(qiáng)化了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 隨著圖形的變化，又將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成策略性問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生關(guān)注隱含信息而提升解題策略. 這一系列遞進(jìn)式問(wèn)題的引導(dǎo)，將知識(shí)、方法與策略有機(jī)地融合在一起，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)自身的不足，有效完善了學(xué)生的思維，提升了解題能力.

3. 探索式問(wèn)題提升能力，激活思維

如圖3，在△CBE和△ACF中，∠CEB=∠AFC=90°，∠BCA=90°，AC=BC.

問(wèn)題7 分析線段AF，BE，EF之間存在什么數(shù)量關(guān)系？理由是什么？

生18：EF+AF=BE，我用尺子分別測(cè)量了這三條線段的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)AF=1.4 cm，BE=2 cm，EF=0.6 cm.

師：這不乏為一種好的方法，該結(jié)論是否正確呢？請(qǐng)大家求證.

生19：想要求證該結(jié)論，只要證明△BCE≌△CAF即可.

師：本題已有的條件為AC=BC以及∠CEB=∠AFC，如何確定這兩個(gè)三角形是全等的呢？

生20：根據(jù)∠BCA=90°，可知∠BCF+∠FCA=90°. 因?yàn)椤螧EC=90°，所以∠BCF+∠EBC=90°. 所以∠FCA=∠EBC. 根據(jù)“AAS”，可得△BCE≌△CAF. 從而得到EF+AF=BE.

問(wèn)題8 如圖4，△ACF與△CBE中有CA=CB，∠BEC=∠CFA=∠α，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與∠α，∠BCA相關(guān)的條件，讓AF+EF=BE成立.

生21：初步猜想∠BCA+∠α=180°，理由是我用量角器分別測(cè)得∠BCA與∠α的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角相加的值為180°.

師：不錯(cuò)，還有其他方法嗎？

生22：根據(jù)圖3中∠ACB=90°與∠BEC=∠AFC=90°的條件，猜想∠BCA和∠α之間存在兩種關(guān)系，即兩個(gè)角相等或相加的值為180°. 本題顯然∠BCA與∠α并不相等，那我猜想∠α+∠BCA=180°.

師：很好，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行猜想，這是一種常見(jiàn)的猜想方法. 關(guān)于這個(gè)猜想如何證明呢？

生22：僅需證得△BCE≌△CAF即可.

問(wèn)題9 如圖5所示，在△ACF和△CBE中，已知AC=BC，∠CEB=∠AFC=∠α，∠α=∠BCA，猜想線段AF，BE，EF之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系.

生23：EF=AF+BE.

師：縱觀圖3、圖4、圖5，我們發(fā)現(xiàn)圖形在不斷地發(fā)生改變，其中什么一直沒(méi)有變化？

生24：每一幅圖中都存在兩個(gè)三角形全等.

師：很好！我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)，就要學(xué)會(huì)從問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，像這一類(lèi)題目就需要從全等三角形的角度去分析與思考.

效能分析 學(xué)生的思維能力與探索能力隨著問(wèn)題的深入而提升. 此環(huán)節(jié)，第一個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，意在引發(fā)學(xué)生梳理全等三角形定理應(yīng)用的基本流程，鼓勵(lì)學(xué)生要勇于猜想；在此基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)圖形的變化引出圖4，讓學(xué)生學(xué)會(huì)結(jié)合條件實(shí)施猜想與驗(yàn)證；隨著圖5的展現(xiàn)，學(xué)生的思維也從探索層面逐漸上升到了思維層面. 問(wèn)題前后類(lèi)比有效提升了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與解題能力，學(xué)生在探索中不僅學(xué)會(huì)了從不同角度與層次分析、解決問(wèn)題，還進(jìn)一步完善了思維品質(zhì)，為發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)加大了籌碼.

幾點(diǎn)思考

1. 以問(wèn)完成學(xué)與構(gòu)

問(wèn)題是引領(lǐng)復(fù)習(xí)教學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生在課堂中思考的方向. 本節(jié)課從全等三角形的定義、性質(zhì)、判定等知識(shí)出發(fā)，借助問(wèn)題建立知識(shí)結(jié)構(gòu)、技能方法與數(shù)學(xué)思想等. 如第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生就在問(wèn)題的引領(lǐng)下通過(guò)對(duì)舊知的回顧，初步建構(gòu)了全等三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，而后隨著問(wèn)題的啟發(fā)，學(xué)生不僅探尋出證明全等三角形性質(zhì)的基本方法，還構(gòu)建了發(fā)現(xiàn)全等三角形性質(zhì)的基本技能.

教學(xué)的第二個(gè)環(huán)節(jié)，隨著問(wèn)題的解決，學(xué)生自主建構(gòu)了一幅判定兩個(gè)三角形為全等關(guān)系的方法結(jié)構(gòu)；第三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，隨著圖形的變化，促使學(xué)生進(jìn)一步提煉數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)解決更復(fù)雜的綜合性問(wèn)題奠定基礎(chǔ). 問(wèn)題是促使學(xué)生自主建構(gòu)，形成良好知識(shí)技能與方法的紐帶，是促使學(xué)生積極思維的基礎(chǔ)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)力、提升學(xué)生的思考能力，順利達(dá)成學(xué)與構(gòu)的目標(biāo)并進(jìn)一步挖掘潛能具有重要意義.

2. 以問(wèn)體現(xiàn)明暗線

明、暗兩條線往往是構(gòu)成復(fù)習(xí)課的基礎(chǔ). 本節(jié)課，明線是附著于問(wèn)題之上的知識(shí)與技能；暗線為貫穿于問(wèn)題中的思想方法. 由全等三角形的“性質(zhì)—判定—應(yīng)用”，逐層深入、絲絲入扣，明暗線始終貫穿問(wèn)題，暗線依附于明線，而明線又服務(wù)于暗線，兩條線互相纏繞、相得益彰.

本節(jié)課的兩條線均以學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)問(wèn)題串聯(lián)，具有一定的探究性. 教師將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，促使學(xué)生在個(gè)體獨(dú)立思考與合作交流中不斷提升思維，提煉思想方法，發(fā)展核心素養(yǎng).

3. 以問(wèn)展示引和評(píng)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課堂離不開(kāi)教師適時(shí)的引導(dǎo)與即時(shí)的評(píng)價(jià). 捕捉學(xué)生在解題過(guò)程中釋放出來(lái)的信息，可給予學(xué)生合理的評(píng)價(jià)與引導(dǎo)，這是對(duì)學(xué)生思維的肯定，又是提升學(xué)生思維能力的基礎(chǔ). 課堂中，教師對(duì)學(xué)生的回答不斷以“很好”“不錯(cuò)”等詞語(yǔ)進(jìn)行肯定，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心. 學(xué)生在充滿(mǎn)人文關(guān)懷的課堂中，不斷提升自己的問(wèn)題意識(shí)與思維能力.

總之，在以問(wèn)題為導(dǎo)向的課堂中，處處彰顯了“以生為本”的理念. 然而，本節(jié)課還存在一些不足之處，如課堂涉及的知識(shí)僅限于全等三角形，其實(shí)復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)該將學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)綜合在一起，更能提升學(xué)生的思維能力. 比如勾股定理則可有機(jī)地融入本節(jié)課的問(wèn)題中，以促使學(xué)生進(jìn)一步構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升解決綜合性問(wèn)題的能力.