以生為本 引領(lǐng)探究 促進發(fā)展

［摘 要］ 新課改背景下的初中數(shù)學課堂教學中要重視體現(xiàn)學生的主體性，著力優(yōu)化學生知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學生綜合學力. 在“實數(shù)”一課教學中，教師以發(fā)展學生為目標，引導學生親歷概念的引入、概括、辨析、應(yīng)用等過程，著力發(fā)揮學生主體價值，促進學生綜合能力和綜合素養(yǎng)的發(fā)展與提升.

［關(guān)鍵詞］ 發(fā)展學生；綜合能力；綜合素養(yǎng)

新課改背景下的數(shù)學概念教學要改變“灌輸式”的教學模式，貫徹“以生為本”的教學理念，充分展示概念的來龍去脈，以此促進學生對概念的理解與深化和學生學習能力的發(fā)展與提升. 在傳統(tǒng)概念教學中，教師往往直接呈現(xiàn)概念讓學生理解和記憶，這樣不僅難以讓學生全面深刻地理解概念，而且影響學生學習積極性，限制學生發(fā)展. 因此，在概念教學中，教師有必要更新教學策略，引導學生經(jīng)歷概念形成過程，并提供機會引導學生多角度探究概念，以此促成深度的理解，有效激發(fā)學生潛能，將“一切為了孩子的發(fā)展”的教學目標落到實處.

“實數(shù)”一課是公認的比較難上的一節(jié)課，之所以難是因為無理數(shù)的概念學生很難體會，也很難將其與有理數(shù)建立聯(lián)系. 基于此，筆者認為教學中可以借助直觀幫助學生獲得豐富的感知，以此促進概念的理解和掌握. 另外，教學中應(yīng)重視引導學生類比，以此將有理數(shù)與無理數(shù)建立聯(lián)系，幫助學生領(lǐng)悟概念的本質(zhì)屬性，促進概念的內(nèi)化. 下面呈現(xiàn)具體過程，供參考！

教學設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)沖突，引入概念

周知，概念不是憑空臆造的，而是在現(xiàn)實生活中逐漸抽象概括而來的. 概念教學中，若教師將概念拋給學生，這樣無形中增加了數(shù)學的枯燥感，影響了學習興趣和學習信心的培養(yǎng). 為了改變這一局面，教師可以從學生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)符合學生認知水平的具體事例，讓學生在問題的解決中理解引入新概念的重要性和必要性，以此點燃學生探索新知的熱情.

正方形的面積公式及平方根的概念都是學生熟悉的內(nèi)容，教師通過創(chuàng)設(shè)實際問題將兩者建立聯(lián)系，繼而從解決問題的需要引入概念. 問題如下：

問題1 若正方形的面積分別為16，，2，你能求出對應(yīng)的邊長嗎？

師生活動：問題給出后，學生輕松地給出面積為16的正方形邊長為4，面積為的正方形的邊長為. 不過，學生在求面積為2的正方形的邊長時卻犯了難，在教師的啟發(fā)下，學生得到該正方形的邊長為.

設(shè)計意圖 從小學階段的正方形的面積公式出發(fā)，讓學生獲得熟悉感和親切感，淡化數(shù)學知識的抽象感，為探究活動的順利開展做鋪墊. 通過問題的解決，學生發(fā)現(xiàn)有些正方形的邊長并不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示，由此引發(fā)認知沖突，繼而激發(fā)學生的好奇心和探究欲.

問題2 邊長為1的正方形的對角線是多少？

學生活動：學生通過探究發(fā)現(xiàn)，該正方形的對角線也不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示.

設(shè)計意圖 通過問題的解決讓學生體會有些數(shù)是無法用整數(shù)或整數(shù)之比來表示的，繼而為新數(shù)的引出做鋪墊.

2. 動手操作，感悟本質(zhì)

活動1：現(xiàn)有一個面積是4的正方形ABCD，如果用它折出一個面積是1的正方形你會嗎？如果用它折出一個面積是2的正方形又該怎么折呢？正方形的邊長是多少？

師生活動：學生通過折疊2次可以得到面積為1的正方形. 學生在折疊面積為2的正方形時遇到了障礙，教師利用幾何畫板展示折疊過程，然后讓學生動手操作，由此得到了如圖1所示的面積為2的正方形.

活動2：若將兩個邊長為1的正方形拼成一個大的正方形，可以怎么拼？大正方形的邊長是多少？（允許裁剪）

師生活動：學生將兩個邊長為1的正方形沿對角戲剪開，從而拼成了如圖2所示的正方形.

設(shè)計意圖 活動1中，學生在折疊中遇到障礙，教師用幾何畫板展示過程，然后再讓學生動手操作，讓學生直觀感知是真實存在的. 活動2中，教師啟發(fā)學生通過“剪拼”得到面積為2的正方形. 學生將面積為1的正方形沿對角線剪開，得到4個面積相等的等腰直角三角形，最終拼成面積為2的正方形，由此通過動手操作讓學生真實地感知，這樣勢必會引發(fā)這樣的思考：到底是個怎樣的數(shù)，由此為后面探究活動的開展埋下伏筆.

3. 深入探究，引出概念

問題3 通過動手實踐可以感知是真實存在的，那么到底多大呢？

師生活動：教師先讓學生獨立推導，學生分別計算1.1，1.2，1.3， 1.4，1.5的平方，感知是在1.4和1.5之間的數(shù). 為了讓學生更加直觀地感知的大小，教師用Excel表格中的求平方功能繼續(xù)計算，1.412=1.9881，1.422=2.0164，從而發(fā)現(xiàn)是1.41和1.42之間的數(shù). 在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)用Excel表格中的計算功能計算小數(shù)點后三位時，是什么范圍的數(shù)，由此可得是1.414和1.415之間的數(shù)，這樣可以繼續(xù)無限制地計算下去.

設(shè)計意圖 在此過程中，教師充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢，用無限逼近思想引導學生提煉無理數(shù)的本質(zhì)屬性，即無限、不循環(huán). 這樣通過以上實踐活動，為概念的抽象積累豐富的感性素材，此時引出無理數(shù)和實數(shù)的概念自然也就水到渠成了.

問題4 我們知道在數(shù)軸上可以表示有理數(shù)，那么無理數(shù)呢？它能否在數(shù)軸上表示呢？

師生活動：教師啟發(fā)學生從最熟悉的π和入手，讓學生思考能否在數(shù)軸上準確地表示出來. 在教師的啟發(fā)和指導下，學生以正方形和圓為背景，借助“形”尋找“數(shù)”. 學生以坐標軸為中心，先畫一個邊長為2的正方形ABCD（如圖3），然后連接各邊中點，得到邊長為的正方形EFGH，再轉(zhuǎn)換到圖4，這樣以數(shù)軸原點為圓心，以邊長為1的正方形的對角線為半徑畫圓，從而得到了. 在研究π的過程中，學生將其與半徑為1的半圓周長建立聯(lián)系，一致認為可以在數(shù)軸上表示π. 為了讓學生更加直觀地感知π在數(shù)軸上的位置，教師利用幾何畫板進行演示，得到圖5.

設(shè)計意圖 教師引導學生與有理數(shù)相類比，讓學生真實地感知這些數(shù)是真實存在，并可以在數(shù)軸上表示出來，體會實數(shù)和數(shù)軸上的點有一一對應(yīng)的關(guān)系.

4. 概念辨析，促進深化

問題5 判斷下列說法是否正確？如果不正確請給出理由.

（1）無理數(shù)都是無限小數(shù)；

（2）所有無限小數(shù)都是無理數(shù)；

（3）帶根號的數(shù)都是無理數(shù).

師生活動：教師讓學生以小組為單位進行思考辨析，學生列舉了許多實例進行說明，課堂氣氛活躍.

設(shè)計意圖 辨析是深化概念理解的重要途徑之一，其可以很好地檢測學生對概念的理解深度. 該環(huán)節(jié)教師鼓勵學生合作、爭辯，以此通過思考辨析讓學生正確、全面、深刻地理解無理數(shù)的概念.

問題6 在研究時，運用無限逼近思想來解釋是無理數(shù)，如果運用已有經(jīng)驗進行推理驗證，是否可以更好地解釋是無理數(shù)呢？

師生活動：在教師的啟發(fā)和指導下，學生利用反證法證明了結(jié)論，證明過程如下：假設(shè)是有理數(shù)，必有=（p，q為互質(zhì)的正整數(shù)）. 兩邊平方得2=，所以p2=2q2，由此可知p為偶數(shù)，設(shè)p=2k（k為正整數(shù)），則4k2=2q2，即q2=2k2，由此可知q也為偶數(shù)，顯然其與p，q互質(zhì)相矛盾. 因此假設(shè)不成立，所以為無理數(shù). 學生得到該推理證明后，教師順勢讓學生思考：無理數(shù)能否用分數(shù)表示？以此通過推理辨析進一步深化無理數(shù)概念的理解.

設(shè)計意圖 教學中，教師引導學生運用特殊化一般的思想方法進一步說明是無理數(shù)，以此加強學生對無理數(shù)概念的理解，培養(yǎng)學生邏輯推理能力. 另外，教學中，教師結(jié)合教學內(nèi)容進行適時追問，以此讓學生明晰無理數(shù)不能用分數(shù)表示.

5. 鞏固應(yīng)用，提升能力

例1 下列各數(shù)中，______是有理數(shù)，______是無理數(shù). （請將序號填寫在橫線上）

①π，②，③，④0，⑤，⑥0，⑦-，⑧-4π.

例2 請將以下實數(shù)在如圖6所示的數(shù)軸上表示出來，并比較它們的大小. （用“<”連接）

-，，-，π，1.5

<D：＼數(shù)學教學通訊中旬＼2024數(shù)學教學通訊中旬（11期）＼2024數(shù)學教學通訊中旬（11期） c＼8-72.tif>[圖6][-1][0][1][2][3][4][-2][-3]

設(shè)計意圖 例1旨在進一步強化學生對有理數(shù)和無理數(shù)概念的理解，同時通過分類明確一個數(shù)不是無理數(shù)就是有理數(shù). 設(shè)計例2旨在引導學生將其與有理數(shù)的定義、性質(zhì)、分類、表達等內(nèi)容相類比，讓學生知道無理數(shù)不僅可以在數(shù)軸上表示，而且無理數(shù)也有相反數(shù)、絕對值，由此通過知識遷移讓學生明晰，相反數(shù)、絕對值的概念同樣適用于無理數(shù). 教學時，教師先讓學生在數(shù)軸上表示各數(shù)，一是讓學生理解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；二是讓學生學會用近似值表示無理數(shù).

6. 歸納概括，建構(gòu)體系

教學中，教師以學生認知規(guī)律為起點，引導學生經(jīng)歷概念的引入、抽象、辨析、應(yīng)用等過程，促進了概念的理解與深化. 在此基礎(chǔ)上，教師可以引導學生與有理數(shù)、實數(shù)概念建立聯(lián)系，以此形成實數(shù)知識的學習框架圖（如圖7）.

設(shè)計意圖 教學中，教師要提供時間讓學生進行歸納總結(jié)，讓學生用最精練的數(shù)學語言將課堂教學中的重點內(nèi)容以框架圖的方式呈現(xiàn)出來，在學生的腦海中形成清晰的知識脈絡(luò)，構(gòu)建完善的知識體系. 在此環(huán)節(jié)，教師指導學生將實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)等相關(guān)概念建立聯(lián)系，凸顯教學重難點，有利于培養(yǎng)學生整體意識，發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng).

教學思考

1. 強調(diào)類比遷移，引導學生主動建構(gòu)體系

數(shù)學教學不單是教授知識，更重要的是培養(yǎng)學生的能力. 類比遷移法是一種重要的教學方法，其有利于學生自主探究能力的培養(yǎng)和學生知識體系的建構(gòu). 類比思想是一種重要的數(shù)學思想方法，通過類比遷移，不僅可以實現(xiàn)舊知的鞏固，而且可以促進新知的理解，有利于學生學習和創(chuàng)新能力的發(fā)展與提升. 在新時代背景下，教師有必要引導學生將一些相關(guān)或相似的知識相類比，以此提升教學質(zhì)量和學習品質(zhì)，發(fā)展學生自主學習能力.

數(shù)學是一門邏輯性較強的學科，新知識的學習一般建立在原有認知基礎(chǔ)之上. 在實際教學中，教師要認真研究教材、認真研究學生，探明新知與舊知的聯(lián)結(jié)點，引導學生通過經(jīng)歷類比、抽象、歸納等活動理解新知識，掌握新方法，提高學生創(chuàng)造力. 在教學無理數(shù)定義、分類、性質(zhì)、表達時，教師有意識地引導學生與有理數(shù)相關(guān)知識的學習方法相類比，以此為無理數(shù)的學習提供方法和途徑，有效地吸引了學生的注意力，讓無理數(shù)相關(guān)知識的學習變得更加輕松、順暢，促進學生知識體系的建構(gòu)與完善.

2. 由直觀到抽象，促進概念的理解與深化

數(shù)學概念具有高度的抽象性. 為了讓學生能夠更好地理解抽象的概念，教師應(yīng)從學生已有經(jīng)驗出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)有效的活動幫助學生積累豐富的感性素材，引導學生經(jīng)歷由直觀到抽象的過程，以此讓學生更好地理解概念、應(yīng)用概念.

在本課教學中，為了突破無理數(shù)這一難點，教師以為研究對象，通過“折”、“剪”、“拼”等方式讓學生感知的存在性. 然后讓學生思考在數(shù)軸上如何表示，以此將“數(shù)”與“形”建立聯(lián)系，使抽象的“數(shù)”變得更加具體化、直觀化. 最后教師又讓學生在數(shù)軸上表示數(shù)，讓學生學會用近似值來表示無理數(shù). 這樣通過一系列動手實踐活動，使抽象的概念變得更加形象、具體，有利于加深學生對無理數(shù)概念的理解，有利于課堂教學有效性的提升.

3. 強調(diào)生本價值，提升學生自主學習能力

新課程重點強調(diào)學生的主體地位，重視學生自主學習能力的發(fā)展. 在概念教學中，教師要提供機會讓學生參與概念形成、發(fā)展、應(yīng)用等過程，體會數(shù)學知識是不斷發(fā)展變化的，以此讓學生學會用發(fā)展的眼光看數(shù)學，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

在本課教學中，教師首先從學生已有經(jīng)驗出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)認知沖突讓學生感知已有知識已經(jīng)很難解決現(xiàn)有問題，由此感知擴充數(shù)的重要性和必要性. 接下來教師又以學生最近發(fā)展區(qū)為出發(fā)點，引導學生親歷感知、探索的大小、數(shù)軸表示等過程，讓學生學會用數(shù)學方法研究新知識、探索新問題. 在此過程中，教師堅持以學生為主體，以發(fā)現(xiàn)學生素養(yǎng)為導向，提供機會讓學生主動發(fā)現(xiàn)，主動建構(gòu)，以此增強學生數(shù)學學習信心，發(fā)展學生數(shù)學綜合能力和綜合素養(yǎng).

總之，在數(shù)學教學中，教師作為課堂教學的組織者和引導者，要認真研究教學內(nèi)容，找準新舊知識的聯(lián)結(jié)點，引導學生主動類比、主動探究、主動建構(gòu)，以此逐漸完善學生個體知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng).