［摘 要］ 數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)充滿聯(lián)系的有機(jī)整體，教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生從整體視角思考和解決問(wèn)題，以此肅清知識(shí)的來(lái)龍去脈，建構(gòu)完善的知識(shí)體系. 在實(shí)際教學(xué)中，教師切勿將知識(shí)割裂開(kāi)來(lái)進(jìn)行教授，應(yīng)從整體視角出發(fā)，有意識(shí)地進(jìn)行教材重構(gòu)，以此凸顯知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生有效地構(gòu)造認(rèn)知，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 整體視角；教材重構(gòu)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

單元整體教學(xué)要從整體上考慮教學(xué)設(shè)計(jì)，基于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)特點(diǎn)設(shè)計(jì)合理規(guī)劃，凸顯知識(shí)之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生遷移能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 不過(guò)，在唯分論的影響下，大多數(shù)學(xué)生更多地關(guān)注解題方法，忽視了知識(shí)背后的邏輯關(guān)系，使得學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)了照搬照抄和模仿套用，影響了自身思維能力的發(fā)展. 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)從整體視角出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生追溯問(wèn)題的本源，幫助學(xué)生理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，以此培養(yǎng)理性思維，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，發(fā)展綜合學(xué)力. 筆者以“借助圖形運(yùn)動(dòng)思想添輔助線”一課教學(xué)為例，教學(xué)中基于單元整體視角設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探尋幾何證明添線方法的本質(zhì)，有效提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

教材重構(gòu)，整體把握單元知識(shí)的內(nèi)涵

教材是數(shù)學(xué)家精心編寫(xiě)的，是課堂教學(xué)活動(dòng)的重要依據(jù)，其在教學(xué)中的重要性是不言而喻的. 不過(guò)強(qiáng)調(diào)教材的重要性并不意味著教師可以照本宣科，要知道，不同的班級(jí)、不同的學(xué)生，其認(rèn)知水平和理解能力都有所不同，若教學(xué)中教師只中規(guī)中矩、按部就班地進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的傳輸，將不利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育. 基于此，教師應(yīng)認(rèn)真研究教材，認(rèn)真研究學(xué)生，把握單元知識(shí)的內(nèi)涵，結(jié)合教學(xué)實(shí)際進(jìn)行教材重構(gòu)，從而使教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)更適合學(xué)生的發(fā)展水平，有效推動(dòng)學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的達(dá)成.

經(jīng)歷過(guò)程，提升學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)

及素養(yǎng)

1. 一題多解，發(fā)散思維

例1 如圖1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的角平分線，線段AB、AC、BD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

例1給出后，教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，并鼓勵(lì)學(xué)生嘗試應(yīng)用不同的解題思路解決問(wèn)題. 在互動(dòng)交流環(huán)節(jié)，教師巧妙地設(shè)計(jì)問(wèn)題，以期借助問(wèn)題引發(fā)思考，促成深度學(xué)習(xí).

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，你是怎么想的？

生1：看到“AD是∠BAC的角平分線”這一條件，我想到了翻折，這樣在AC上截取AE=AB，易證△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，又∠B=2∠C，所以∠C=∠EDC，則DE=CE，又DE=BD，所以AC=AE+EC=AB+BD.

師：非常好，生1從“角平分線”這一關(guān)鍵條件出發(fā)，通過(guò)翻折添加輔助線，并運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想方法解決了問(wèn)題. 你能具體說(shuō)一說(shuō)，你這樣做的依據(jù)嗎？

生1：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，而它的對(duì)稱軸恰好為角平行線所在的直線，所以我就想到利用軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而得到了如上證明過(guò)程.

師：很好. 你們還有其他解決方案嗎？

生2：看到“∠B=2∠C”，我想到了兩倍角關(guān)系，延長(zhǎng)AB，在AB延長(zhǎng)線上截取BF=BD，所以∠F=∠BDF，易證△ACD≌△AFD，所以AC=AF，同樣可得AC=AB+BD.

師：也是個(gè)不錯(cuò)的思路，從兩倍角這一關(guān)鍵條件出發(fā)，得到了不同的思路. 在構(gòu)造倍角關(guān)系的過(guò)程中，作∠B的平分線不是更直接嗎？

生2：若直接作∠B的平分線，確實(shí)可以得到角的倍角關(guān)系，但是這樣好像很難與邊建立聯(lián)系，難以有效地解決問(wèn)題.

師：很好，可見(jiàn)在解題時(shí)我們要整體把握，結(jié)合多個(gè)條件綜合考慮，這樣才能成功地找到解題的突破口.

師：你還能找到其他解題思路嗎？

生3：觀察圖1，并結(jié)合“大角對(duì)大邊”這一性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn)，AC>AB，于是得到猜想：AC=AB+BD，然后利用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法加以證明.

師：你們認(rèn)可生3的思路嗎？（學(xué)生點(diǎn)頭表示贊成，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生利用生3的思路證明）

師：生3從結(jié)論入手，通過(guò)直觀觀察和邏輯推理得到結(jié)論. 從以上過(guò)程不難看出，在解決幾何問(wèn)題時(shí)，既可以從條件出發(fā)，又可以從結(jié)論入手，這樣通過(guò)不同角度思考可以得到多種解答過(guò)程. 在探究例1時(shí)，學(xué)生結(jié)合角的對(duì)稱性想到了翻折，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造基本圖形順利地解決了問(wèn)題. 對(duì)于以上過(guò)程，你能用精簡(jiǎn)的語(yǔ)言進(jìn)一步加以概括嗎？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生歸納總結(jié)，從而得到解決此類問(wèn)題的一般思路，即：條件/結(jié)論—圖形運(yùn)動(dòng)—添加輔助線—構(gòu)造基本圖形.

設(shè)計(jì)意圖 例1難度不大，題設(shè)信息也是學(xué)生容易理解的，但是該題內(nèi)容豐富，具有一定的探究性. 教學(xué)中，教師將探究的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)，探尋不同的解題過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)解題方法的多樣性. 同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行歸納總結(jié)，從而形成解決此類問(wèn)題的一般思路.

2. 深入探究，挖掘本質(zhì)

師：若其他條件不變，將“∠B=2∠C”改為“∠B=∠C”，此時(shí)點(diǎn)D在何位置？說(shuō)說(shuō)你的理由.

生4：因?yàn)椤啊螧=∠C”，所以△ABC為等腰三角形，又“AD是∠BAC的平分線”，根據(jù)等腰三角形“三線合一”定理可以判斷點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn).

師：很好，現(xiàn)在我們一起來(lái)看一下例2，看看解決該題可以從哪幾個(gè)角度入手呢？（教師PPT展示例2）

例2 如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且點(diǎn)D恰好為BC邊的中點(diǎn)，問(wèn)△ABC是什么三角形？

題目給出后，教師并未急于呈現(xiàn)答案，而是預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生自主尋找解題的答案. 教師巡視，學(xué)生獨(dú)立求解. 從學(xué)生反饋來(lái)看，很多學(xué)生通過(guò)添加輔助線找到了解題方案.

師：我看很多學(xué)生添加了輔助線，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你為什么要這樣添加，你添加輔助線的依據(jù)是什么？

生5：添加輔助線的目的是構(gòu)造全等三角形，根據(jù)已知“D為BC邊的中點(diǎn)”，則AD是△ABC的中線，看到這一條件我想到了倍長(zhǎng)中線，于是延長(zhǎng)AD，并在AD延長(zhǎng)線上截取DE=AD，然后連接EC，證明△ABD≌△ECD，所以有∠BAD=∠E. 又∠BAD=∠CAD，所以∠E=∠CAD. 所以AC=EC. 又EC=AB，所以AB=AC. 所以△ABC是等腰三角形.

師：很好，從“中點(diǎn)”這一條件出發(fā)，想到了倍長(zhǎng)中線. 順著生5的思路想一想，實(shí)際上圖形是做了什么運(yùn)動(dòng)呢？（學(xué)生思考片刻）

學(xué)生齊聲答：旋轉(zhuǎn).

師：這樣借助圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，我們構(gòu)造了等腰三角形這一基本圖形，順利地解決了問(wèn)題. 那么為什么看到中點(diǎn)會(huì)想到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)呢？（學(xué)生不語(yǔ)）

師：回顧例1的解題過(guò)程，當(dāng)時(shí)我們看到角平分線想到了角的軸對(duì)稱性，于是利用圖形的翻折解決了問(wèn)題，那么線段具有怎樣的性質(zhì)呢？

學(xué)生竊竊私語(yǔ)，有的學(xué)生說(shuō)是軸對(duì)稱，有的學(xué)生說(shuō)是中心對(duì)稱.

師：我已經(jīng)聽(tīng)到很多學(xué)生給出了正確答案，沒(méi)錯(cuò)，這里面所利用的就是中心對(duì)稱這一性質(zhì)來(lái)研究的. 那么中點(diǎn)是什么呢？

學(xué)生齊聲答：對(duì)稱中心.

師：很好，這樣利用線段的中心對(duì)稱性來(lái)構(gòu)造△ACE為等腰三角形，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，順利地解決了問(wèn)題. 剛剛我們利用倍長(zhǎng)中線構(gòu)造等腰三角形，將∠BAD進(jìn)行換位. 你還能用其他方法來(lái)構(gòu)造嗎？

生6：也可以通過(guò)作平行線的方式來(lái)構(gòu)造等腰三角形. 過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生按照生6的思路構(gòu)造，通過(guò)證明全等同樣證明了結(jié)論.

師：作平行線相當(dāng)于圖形做什么運(yùn)動(dòng)呢？（學(xué)生邊操作邊思考）

學(xué)生齊聲答：平移.

師：很好，這樣借助圖形平移同樣可以構(gòu)造基本圖形.

師：回顧以上解題過(guò)程，我們分別用哪些圖形運(yùn)動(dòng)來(lái)構(gòu)造基本圖形？

生7：翻折、旋轉(zhuǎn)、平移.

設(shè)計(jì)意圖 在例1的基礎(chǔ)上將問(wèn)題進(jìn)一步推廣，讓學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)思想來(lái)構(gòu)造基本圖形，讓學(xué)生領(lǐng)悟添加輔助線方法的本質(zhì)，幫助學(xué)生形成深刻的理解，逐漸建構(gòu)學(xué)生完善的知識(shí)機(jī)構(gòu)，從而為知識(shí)的靈活應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3. 適度練習(xí)，拓展提升

例3 如圖3，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，D、E為邊BC上的任意兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，求證：線段BD，DE，EC為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形.

解析：本題所考查的是運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)構(gòu)造基本圖形，運(yùn)用全等來(lái)解決問(wèn)題. 將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得AC與AB重合，得到△ACF≌△ABD，連接EF. 根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)易證∠ECF=90°，△DAE≌△FAE. 在Rt△ECF中，EF 2=CF 2+CE 2，而DE=EF，BD=CF，所以DE 2=CE2+BD2.

例4 如圖4，已知五邊形ABCDE的五條邊相等，且∠ABC=2∠EBD，求證：∠EBD=30°.

解析：該題同樣考查的是通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)來(lái)構(gòu)造基本圖形，將△ABE以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠ABC，使得AB與BC重合，得到△BCE′，連接DE′. 通過(guò)證明△EBD≌△E′BD，易得△CDE′為正三角形，所以∠DCE′=60°. 又BC=CD=CE′，則∠E′BD=∠DCE′=30°，即∠EBD=30°.

設(shè)計(jì)意圖 應(yīng)用是鞏固知識(shí)的重要手段，是提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解題技能的重要途徑，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中是必不可少的. 在以上環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生借助具體操作體會(huì)利用圖形運(yùn)動(dòng)添加輔助線的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生解題能力.

拓展延伸，借助單元活動(dòng)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

從以上教學(xué)活動(dòng)可以看出，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，為了幫助學(xué)生更快地形成解題思路，教師還應(yīng)以“三角形全等問(wèn)題”為主題設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)多角度探究獲得深刻地理解，促成深度學(xué)習(xí). 例如，教師結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)如下主題活動(dòng).

1. 活動(dòng)目標(biāo)

（1）通過(guò)經(jīng)歷數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)譯過(guò)程，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力；

（2）經(jīng)歷證明全等的過(guò)程，提高學(xué)生演繹推理能力.

2. 活動(dòng)步驟

步驟1：全等證明

（1）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD，A′D′分別為BC，B′C′上的中線，且AD=A′D′，問(wèn)△ABC與△A′B′C′是否全等呢？若全等，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）在△ABC和△A′B′C′中，若∠B=∠B′，∠C=∠C′，AD，A′D′分別為∠A和∠A′的平分線，問(wèn)△ABC與△A′B′C′是否全等呢？若全等，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD，A′D′分別為BC，B′C′上的高線，問(wèn)△ABC與△A′B′C′是否全等呢？若全等，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：該設(shè)計(jì)具有一定的開(kāi)放性，更能考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，發(fā)展學(xué)生的思辨能力，提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

步驟2：類比創(chuàng)新

與以上題目相類比，你能自己設(shè)計(jì)一些新題嗎？請(qǐng)寫(xiě)出題目，并嘗試證明.

該環(huán)節(jié)教師將探究的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)給出三角形中邊、角及特殊線段中三組對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行自由組合，這樣既可以豐富練習(xí)內(nèi)容，提高學(xué)生的探究欲，還可以加深對(duì)三角形全等問(wèn)題的理解，從而為合理構(gòu)造打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將相似或相關(guān)內(nèi)容相類比，這樣可以有效溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)對(duì)區(qū)別與聯(lián)系的深度辨析揭示問(wèn)題的本質(zhì)，以此促成深度學(xué)習(xí). 另外，通過(guò)有效地溝通，可以使零散的、碎片化的知識(shí)變得系統(tǒng)化，有利于提高學(xué)生知識(shí)遷移能力，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平.

結(jié)束語(yǔ)

在課堂教學(xué)中，教師不要局限于單一知識(shí)的講授和單一問(wèn)題的解決，應(yīng)從整體視角出發(fā)，通過(guò)綜合性問(wèn)題的解決強(qiáng)化知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)單元教學(xué)的連貫性. 教學(xué)中，教師要打破章節(jié)的束縛，有機(jī)整合教學(xué)內(nèi)容，將一些相關(guān)或相似的內(nèi)容有效地連接起來(lái)，通過(guò)對(duì)教材的深耕最大限度發(fā)揮教材的育人功能，提升教學(xué)品質(zhì). 例如，以上教學(xué)中，通過(guò)對(duì)教材內(nèi)容的重組，將圖形運(yùn)動(dòng)、三角形全等、幾何證明方法等內(nèi)容有效地聯(lián)系在一起，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從整體視角看問(wèn)題，促進(jìn)知識(shí)的深化和能力的提升.

教師在授課過(guò)程中，要以培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)科素養(yǎng)”為方向，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和自身的教學(xué)水平合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成、發(fā)展及應(yīng)用等全過(guò)程，以此促進(jìn)知識(shí)的深化，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用水平. 在以上設(shè)計(jì)中，教師從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和認(rèn)知水平出發(fā)，通過(guò)逐層探究讓學(xué)生掌握借助圖形運(yùn)動(dòng)思想來(lái)添加輔助線，體會(huì)“構(gòu)造”在解題中的價(jià)值，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用整體視角來(lái)思考問(wèn)題，培養(yǎng)思維的靈活性、變通性，讓學(xué)生的思維變得有序化.

另外，在課堂教學(xué)中，教師要提供時(shí)間和機(jī)會(huì)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造，以此激發(fā)學(xué)生潛能，促成有深度的學(xué)習(xí). 從以上教學(xué)環(huán)節(jié)可以看出，教師沒(méi)有直接將答案呈現(xiàn)給學(xué)生，而是將解題主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度探尋解題方法. 例如，在探索例1、例2的過(guò)程中，教師預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生思考與交流，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度分析，引導(dǎo)學(xué)生借助翻折、旋轉(zhuǎn)、平移等圖形運(yùn)動(dòng)來(lái)添加輔助線，有效地拓寬了學(xué)生的視野，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

總之，數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)整體，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)要學(xué)會(huì)從整體視角出發(fā)，以此有效溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，打破學(xué)生思維的局限性，為學(xué)生提供更廣闊的探究空間，逐漸完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).