核心素養(yǎng)背景下“等腰三角形的性質(zhì)”的教學(xué)實(shí)踐與研究

［摘 要］ 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)，教師的關(guān)注點(diǎn)在“如何教”上，而核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)，則更關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”. 如何緊扣課堂教學(xué)內(nèi)容的“關(guān)鍵點(diǎn)”實(shí)施有效教學(xué)呢？研究者以“等腰三角形的性質(zhì)”為例，具體談?wù)勅绾螐闹R(shí)與素養(yǎng)兩個(gè)層面提取教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)，并分別從幾何直觀能力與邏輯推理能力的培養(yǎng)，以及研究方法的提煉等方面展開教學(xué)實(shí)踐與教學(xué)分析.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；三角形；教學(xué)

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的落地，當(dāng)今的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)大致遵循如下流程：以情境引入主題，結(jié)合學(xué)情設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}啟發(fā)思維，開展合作交流揭露知識(shí)本質(zhì)，獲得知識(shí)與技能，提煉數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展核心素養(yǎng). 這種教學(xué)流程雖然取得了不錯(cuò)的教學(xué)成效，但有些教師只是為了走個(gè)過場(chǎng)，完全忽略了每節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)不一樣，教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)也有較大差別. 很多時(shí)候，直接套用公式化的教學(xué)模板并不能滿足學(xué)生個(gè)體發(fā)展的需求.

本文以“等腰三角形的性質(zhì)”教學(xué)為例，具體從如下幾方面談?wù)勅绾尉o扣關(guān)鍵點(diǎn)實(shí)施教學(xué).

提取教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)

1. 知識(shí)與技能層面

等腰三角形是生活中常見的一種軸對(duì)稱圖形，是幾何學(xué)的基礎(chǔ). 軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可直接引用在等腰三角形的性質(zhì)中，同時(shí)全等三角形的判斷與應(yīng)用，還能進(jìn)一步開闊學(xué)生的視野，讓學(xué)生感知證明兩條線段、兩個(gè)角相等可應(yīng)用到其性質(zhì). 等腰三角形的性質(zhì)又是后續(xù)探索正方形、菱形、圓等基本幾何圖形的理論基礎(chǔ)，因此它在平面幾何中占有支柱性地位，具有重要的探索價(jià)值.

2. 素養(yǎng)培養(yǎng)層面

（1）通過圖形變換探索性質(zhì)，發(fā)展幾何直觀能力

探索幾何問題常基于圖形的變化，發(fā)現(xiàn)圖形的基本性質(zhì). 關(guān)于等腰三角形性質(zhì)的研究，可從它的“軸對(duì)稱”性出發(fā)，借助全等三角形來揭露核心性質(zhì)，讓學(xué)生從證明過程中發(fā)展幾何直觀能力，為后續(xù)探索更多與之類似的圖形性質(zhì)夯實(shí)方法基礎(chǔ)，形成策略指導(dǎo).

（2）用推理法探索圖形性質(zhì)，發(fā)展邏輯推理能力

根據(jù)知識(shí)特點(diǎn)，本節(jié)課可將合情推理與演繹推理融合在一起，借助推理法來挖掘等腰三角形具備怎樣的性質(zhì). 學(xué)生在推理過程中親歷“操作—猜想—驗(yàn)證”過程，積累經(jīng)驗(yàn)，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維與推理能力. 同時(shí)，操作過程中還會(huì)涉及類比、特殊到一般、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法，這些都是推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵，對(duì)學(xué)生個(gè)體成長(zhǎng)具有重要意義.

（3）嚴(yán)格規(guī)范探索，提煉通用研究方法

從某種意義上來說，等腰三角形是初中階段所研究的第一個(gè)嚴(yán)格探索性質(zhì)的封閉幾何圖形. 其定義、性質(zhì)與判定方法的探索經(jīng)驗(yàn)，對(duì)后續(xù)探索更多封閉圖形具有指導(dǎo)意義，或者說就是后續(xù)探索幾何圖形的“一般方法”. 作為范例的存在，其探索過程更需嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，這不僅是其在幾何圖形研究中地位的象征，還是發(fā)展學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維，形成良好探索能力的關(guān)鍵.

教學(xué)策略

1. 關(guān)于幾何直觀能力的培養(yǎng)

課堂中應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可有效培育學(xué)生的幾何直觀能力，學(xué)生通過親手操作、親自觀察與探索對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象產(chǎn)生直觀的感性認(rèn)識(shí)，這是用數(shù)學(xué)的眼光與數(shù)學(xué)的思維觀察與思考生活現(xiàn)象的過程，是啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言規(guī)范描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象的關(guān)鍵性步驟. 如本節(jié)課，教師就根據(jù)學(xué)情特點(diǎn)設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，具體從如下幾個(gè)環(huán)節(jié)展開.

【環(huán)節(jié)一：實(shí)驗(yàn)階段】

操作要求：對(duì)任意三角形剪一刀，獲得等腰三角形.

學(xué)生操作時(shí)，要求思考如下問題：①有什么辦法確定你所剪出來的圖形為等腰三角形？②只能剪一刀，那么剪的關(guān)鍵點(diǎn)在哪兒？

設(shè)計(jì)意圖 鑒于學(xué)生在之前已經(jīng)對(duì)等腰三角形有所了解，因此將這個(gè)實(shí)驗(yàn)放在課堂伊始完成，并不突兀. 該活動(dòng)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生不得不對(duì)三角形與等腰三角形的關(guān)系產(chǎn)生好奇，由此引導(dǎo)學(xué)生更關(guān)注兩者間的邏輯關(guān)系，為完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系夯實(shí)了基礎(chǔ). 執(zhí)行“剪”這一操作時(shí)，學(xué)生直觀面臨“軸對(duì)稱”這一關(guān)鍵性的性質(zhì)，不僅為后續(xù)將要探討的性質(zhì)證明夯實(shí)了基礎(chǔ)，還直接促進(jìn)了直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

2. 關(guān)于邏輯推理能力的培養(yǎng)

【環(huán)節(jié)二：猜想階段】

問題1：大家覺得可從哪些方面來研究等腰三角形？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生回顧以往探索幾何知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，用類比法自然過渡到探索等腰三角形的性質(zhì)中來，讓學(xué)生感知關(guān)于幾何圖形的性質(zhì)探索，主要是研究各個(gè)要素間的數(shù)量或位置關(guān)系，此為一般性的研究思路.

問題2：通過實(shí)操發(fā)現(xiàn)等腰三角形的哪些元素具有重合性. 若從數(shù)量與位置關(guān)系這兩個(gè)視角分析，能獲得什么猜想？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)手中等腰三角形紙片的折疊，捕捉其中邊、角相關(guān)要素間的聯(lián)系，讓學(xué)生發(fā)散思維大膽猜想，也可從中線、角平分線、高（簡(jiǎn)稱“三線”）等角度去探索. 學(xué)生提出的猜想分別有：①兩底角相等；②三線重合.

設(shè)計(jì)意圖 折疊帶給學(xué)生直觀感受，由此很容易根據(jù)其對(duì)稱性獲得相應(yīng)的猜想. 發(fā)現(xiàn)問題與提出問題是發(fā)展學(xué)生“四能”的基礎(chǔ)，是學(xué)生領(lǐng)悟幾何基本圖形研究思路的關(guān)鍵. 如此設(shè)計(jì)成功引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生自主生疑而形成進(jìn)一步探索的欲望，有效幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，尤其是猜想的形成，為發(fā)展邏輯推理能力鋪墊.

【環(huán)節(jié)三：揭露規(guī)律階段】

問題3：以上這兩個(gè)猜想適用于所有的等腰三角形嗎？

問題4：有什么辦法可以證明等腰三角形的兩個(gè)底角相等？

學(xué)生交流討論，一致認(rèn)為借助全等三角形的判定可輔助證明.

師：全等三角形該怎么構(gòu)造呢？

（學(xué)生合作交流完成推理，組內(nèi)互相糾正與點(diǎn)評(píng)）

設(shè)計(jì)意圖 關(guān)于問題3的設(shè)計(jì)，意在進(jìn)一步促使學(xué)生自主用不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來求證猜想是否具有一般性；問題4的提出，意在吸引學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)入推理狀態(tài)，并在合作交流中充分展示自己的想法，輔助線的應(yīng)用起到簡(jiǎn)化問題難度的作用，即將求證兩角相等轉(zhuǎn)化為求證兩三角形全等. 此過程不僅滲透了轉(zhuǎn)化思想，還進(jìn)一步推進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力. 值得注意的是證明過程的書寫以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用必須規(guī)范，這是支撐推理能力發(fā)展的基礎(chǔ).

問題5：以上探索明確了猜想①是一個(gè)證明題，那么猜想②呢？關(guān)于猜想①，是否有其他量相等？

問題6：證明兩個(gè)猜想，可否用添加其他輔助線來完成？

師生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主合作交流. 活動(dòng)結(jié)論為輔助線可選擇“三線”內(nèi)的任意一條線，雖然證明過程不一樣，但證得的結(jié)論是一樣的.

設(shè)計(jì)意圖 為了保持教學(xué)的連貫性，讓學(xué)生的思維能順利過渡，對(duì)于兩個(gè)猜想的證明從一條輔助線逐漸擴(kuò)展到多條輔助線，學(xué)生的思維隨著輔助線的增多而逐漸深刻. 探索深入后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)即使作出不同的輔助線，但知識(shí)本質(zhì)并沒有發(fā)生改變，由此強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)“三線合一”的認(rèn)識(shí).

【環(huán)節(jié)四：應(yīng)用階段】

如圖1，已知△ABC中，點(diǎn)D為AC邊上的一點(diǎn)，若AD=BC=BD.

（1）圖1存在哪些等腰三角形？

（2）若∠A=α，如何用含有α的式子來表示∠ABC，∠C，∠BDC？

（3）若∠DBC=30°，則△ABC各個(gè)角的度數(shù)分別是多少？

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行交流，發(fā)現(xiàn)前面兩個(gè)問題具有鋪墊作用，隨著問題的解決，第三個(gè)問題也就自然而然地得到解決了. 因此，從復(fù)雜圖形內(nèi)提煉出等腰三角形是解決這一類問題的基本過程，屬于思維的過渡階段.

設(shè)計(jì)意圖 想要明確一個(gè)三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，首先需明確各個(gè)內(nèi)角的關(guān)系. 本題提供了幾條相等長(zhǎng)度的線段，為提煉等腰三角形奠定基礎(chǔ)，而角邊之間本來就有千絲萬縷的聯(lián)系，因此以等線段為突破口發(fā)現(xiàn)等腰三角形，那么角的度數(shù)也悄然浮現(xiàn). 擇取本題作為課堂教學(xué)的示范，意在進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等腰三角形的理解，以促進(jìn)學(xué)生邏輯思維與合情推理能力的發(fā)展.

【環(huán)節(jié)五：延伸階段】

問題7：等邊三角形屬于一種特殊的等腰三角形，它具備等腰三角形的一切屬性，除此之外，等邊三角形還存在其他特征嗎？具體從對(duì)稱軸的數(shù)量與內(nèi)角度數(shù)來分析.

設(shè)計(jì)意圖 此問意在引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建等邊三角形的性質(zhì)，讓學(xué)生將本節(jié)課所提煉的數(shù)學(xué)思想方法靈活地遷移到新知的探索中，獲得一般性的研究能力. 當(dāng)然，此問屬于新知的生長(zhǎng)階段，對(duì)促進(jìn)學(xué)生推理能力的進(jìn)一步發(fā)展具有重要價(jià)值.

數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展與經(jīng)驗(yàn)的積累是提升學(xué)生個(gè)人學(xué)習(xí)能力的重要方式，學(xué)生在“做中學(xué)”的背景下，沉淀經(jīng)驗(yàn)、提煉方法、發(fā)展學(xué)力.

3. 關(guān)于研究方法的提煉

縱觀以上教學(xué)流程，在環(huán)節(jié)二的時(shí)候，學(xué)生在自主操作的基礎(chǔ)上提出等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)；環(huán)節(jié)三對(duì)性質(zhì)進(jìn)行了完整、規(guī)范的證明；隨著環(huán)節(jié)五等邊三角形性質(zhì)的提出，學(xué)生的思維經(jīng)歷了一個(gè)閉環(huán)到延伸的過程. 在此過程中，學(xué)生充分感知了研究方法的普適性，并從中提煉出數(shù)學(xué)思想方法. 總結(jié)環(huán)節(jié)，教師可帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步梳理整節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的認(rèn)知體系，提煉完整的研究方法.

【環(huán)節(jié)六：總結(jié)階段】

問題8：談?wù)勀阍诒竟?jié)課的收獲.

對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生的回答異常豐富，有關(guān)于知識(shí)與技能方面的收獲，也有數(shù)學(xué)思想方法方面的收獲. 最后，教師與學(xué)生一起從如下兩個(gè)角度厘清知識(shí)與方法脈絡(luò)，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

（1）當(dāng)面臨一個(gè)待研究的幾何對(duì)象時(shí)，除了要探索它的一般情況之外，還要關(guān)注該圖形是否存在特殊情況. 如探索完三角形之后，就著手探索一些類似于等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等，此過程就是將三角形的邊、角由一般向特殊轉(zhuǎn)化的過程. 明確“定義→性質(zhì)→特例”研究路徑是探索幾何圖形的基本思路.

（2）等腰三角形的性質(zhì)具體可從哪些方面，用哪些方法進(jìn)行探索？將研究方法推廣到一般三角形與其他特殊三角形的研究中來，存在哪些共性與個(gè)性特征呢？本節(jié)課，學(xué)生親歷實(shí)驗(yàn)過程，積累了良好的探索經(jīng)驗(yàn)，基本了解了關(guān)于特殊圖形的探索歷程，在研究完定義之后就進(jìn)入性質(zhì)與判定的探索中來. 等腰三角形的性質(zhì)，可從邊、角、三線等角度著手，如“底角相等”“三線合一”，學(xué)生從中抽象出一般性的研究方法（圖3）.

設(shè)計(jì)意圖 從宏觀的角度整理一般化的研究思路，進(jìn)一步促使學(xué)生完善研究幾何圖形的基本方法，讓本節(jié)課成為后續(xù)探索更多平面幾何圖形的典范.

總之，核心素養(yǎng)背景下“等腰三角形性質(zhì)”的教學(xué)探索與實(shí)踐，為學(xué)生后續(xù)探索更多平面幾何問題提供了藍(lán)本. 教師不僅要關(guān)注對(duì)學(xué)生新舊知識(shí)的銜接工作，還要注重對(duì)學(xué)生幾何直觀能力、邏輯思維能力、推理能力等的培育，以從真正意義上促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，讓核心素養(yǎng)落地生根.