滲透數(shù)學核心素養(yǎng) 提升學生綜合學力

［摘 要］ 隨著教學改革的推進與深化，初中數(shù)學教學除了讓學生學習數(shù)學知識外，還應重視培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，讓學生學會用數(shù)學的觀點和方法看世界，提高終身學習能力. 文章以“規(guī)律探究問題”為主題，闡述了解決此類問題對培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要作用.

［關鍵詞］ 數(shù)學核心素養(yǎng)；合理滲透；綜合學力

隨著課程改革的推進，素質(zhì)教育越來越受到教育工作者的重視，學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)作為素質(zhì)教育的重點內(nèi)容也在逐漸完善. 培養(yǎng)學生具有良好的核心素養(yǎng)，已經(jīng)成為各學科教師教學的主要目標. 數(shù)學核心素養(yǎng)并非通過教師的講授達成的，而是學生在日常學習過程中逐漸積累的，是一個長期且復雜的過程. 在日常教學中，教師應在教學的各個環(huán)節(jié)加以滲透，引導學生親歷數(shù)學知識的建構過程，從而有效落實數(shù)學核心素養(yǎng).

當下，中考越來越重視考查學生的綜合能力和綜合素養(yǎng)，規(guī)律探究類問題因其內(nèi)容豐富、綜合性強而成為中考的一個熱門考點. 這類試題通常涉及圖形變化規(guī)律探究、翻折變換規(guī)律探究、數(shù)字變化規(guī)律探究，在解決此類問題時，不僅需要學生具有扎實的基本功，而且對學生的觀察、分析、推理能力提出了更高的要求. 在探究規(guī)律的過程中，教師應以學生為主，應創(chuàng)造機會讓學生經(jīng)歷觀察、分析、推理、探索等過程，讓學生在探索其中所蘊含規(guī)律的同時，加深對相關知識、思想、方法的理解，培養(yǎng)學生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀等核心素養(yǎng). 下面筆者結合教學實例談談如何在探索規(guī)律問題教學中合理滲透數(shù)學核心素養(yǎng)，提高學生的思維品質(zhì).

在圖形變化類規(guī)律探究中培養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)

幾何圖形的變化有著較強的規(guī)律，是提高學生數(shù)形結合意識，培養(yǎng)學生抽象能力、幾何直觀、推理能力等素養(yǎng)的重要載體. 在探索圖形規(guī)律的過程中，教師應將主動權交給學生，讓學生發(fā)現(xiàn)、探索圖形和數(shù)字的排列規(guī)律，進而通過親歷理解并掌握找規(guī)律的方法，最終發(fā)展數(shù)學能力與數(shù)學素養(yǎng).

例1 圖1是由若干大小相等的小正方形按一定的規(guī)律拼成的圖形，如果按照這樣的規(guī)律擺下去，第④個圖形中有幾個小正方形？第n個圖形中有幾個小正方形？

分析 例1不難，結合圖形易于發(fā)現(xiàn)，若添加一個小正方形剛好可以拼成一個大正方形，順著這一思路不難發(fā)現(xiàn)：第①個圖形中有22-1個小正方形；第②個圖形中有32-1個小正方形；第③個圖形中有42-1個小正方形，由此自然推導出第④個圖形有52-1個小正方形，第n個圖形中有（n+1）2-1個小正方形.

例2 圖2是由若干大小相等的三角形按照一定的規(guī)律拼成的圖形，如果繼續(xù)按照這一規(guī)律往下拼，第⑦個圖形中有幾個三角形？第n個圖形中有幾個三角形？

分析 結合圖形的特點易于發(fā)現(xiàn)，第①個圖形中有2×3-1個三角形；第②個圖形中有3×4-1個三角形；第③個圖形中有4×5-1個三角形. 以此類推，第⑦個圖形中有8×9-1個三角形；第n個圖形中有（n+1）×（n+2）-1個三角形.

分析以上兩題不難發(fā)現(xiàn)，解決此類問題時主要需要兩步，其一是將圖形抽象成數(shù)量；其二是觀察每個圖形對應數(shù)量之間的變化關系. 在具體實施過程中，教師應引導學生思考這樣幾個問題：（1）每個圖形中有幾個基本圖形？（2）各個圖形中圖形的數(shù)量如何表示？（3）每個圖形對應的數(shù)量之間存在怎樣的關系？在思考中，學生會經(jīng)歷觀察、比較、歸納、猜想、推理等過程，其抽象能力、幾何直觀、推理能力等素養(yǎng)得到發(fā)展.

在翻折變換類規(guī)律探究中培養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)

折疊型問題重點考查學生動手操作能力、空間想象能力、邏輯推理能力. 在解決此類問題時，教師應鼓勵學生去操作、觀察、抽象、歸納，以此發(fā)現(xiàn)蘊含其中的規(guī)律，學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界.

例3 現(xiàn)在有一張長為1，寬為a

<a<1的矩形紙片，將其按照圖3那樣折疊，剪下邊長為a的正方形，這一過程稱之為第一次操作；將剩下的矩形按照圖4那樣折疊，剪下一個邊長等于矩形寬的正方形，這一過程稱之為第二次操作. 按照以上步驟重復下去，直到第n次操作后，剩下的圖形為正方形為止.

（1）第二次操作時，剪下的正方形的邊長是______.

（2）若第三次操作后，剩下的圖形為正方形，試求a的值. （用含a的式子表示）

分析 （1）結合以上操作過程容易發(fā)現(xiàn)，每次剪下的正方形的邊長為原矩形的寬，所以研究剪下正方形的邊長，實則研究矩形的寬. 解題過程中需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是寬. 先從第一次操作談起，該矩形的長為1，寬為a

<a<1，所以剪下的正方形的邊長為a，剩下的矩形的兩條鄰邊的長分別為a，1-a，由已知易得a>1-a，所以第二次剪下來的正方形的邊長為1-a.

（2）經(jīng)過第二次操作后，得到的矩形相鄰兩邊的長分別為1-a，a-（1-a）=2a-1，此時問題的焦點是比較1-a和2a-1的大小. 對于含字母的代數(shù)式比較大小，最易于想到的就是作差，（1-a）-（2a-1）=2-3a，顯然這里很難判斷兩者的大小關系，為此在解題的過程中需要分兩種情況討論，即①1-a>2a-1；②1-a<2a-1.

①當1-a>2a-1，即a<時，第三次操作時剪下的正方形的邊長為2a-1. 又第三次操作后，剩下的圖形為正方形，所以2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=.

②當1-a<2a-1，即a>時，第三次操作時剪下的正方形的邊長為1-a，則1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=.

在解決圖形翻折變化類問題時，不僅需要在腦海中對翻折前后圖形的形狀形成清晰的認識，而且需要準確把握翻折前后圖形之間的邊長關系. 若想做到這兩點，需要學生具有良好的空間想象能力和邏輯推理能力. 在日常教學中，通過此類問題的訓練，可以有效提高學生幾何直觀和推理能力等素養(yǎng).

在數(shù)字變化類規(guī)律探究中培養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)

對于數(shù)字變化類規(guī)律探究問題，命題者通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后要求答題者從中猜想蘊含其中的規(guī)律. 解答此類問題不僅需要學生掌握相關的知識技能，而且需要學生具有觀察問題、分析問題、歸納問題、解決問題的能力. 它既是規(guī)律探究的基礎，又是規(guī)律探究的重點.

例4 觀察下列等式：

①9×0+1=1；

②9×1+2=11；

③9×2+3=21；

④9×3+4=31；

…

（1）請按照規(guī)律寫出第5個等式；

（2）請按照規(guī)律寫出第n個等式.

分析 觀察以上四個等式的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)，第1項都是9，第2項是從0開始的整數(shù)，第3項是從1開始的整數(shù)，第3項比第2項大1，第4項是整十再加1，根據(jù)以上觀察不難寫出答案：（1）第5個等式為9×4+5=41；（2）第n個等式為9（n-1）+n=10（n-1）+1.

例5 觀察下列等式：

①a==-1；

②a==-；

③a==2-；

④a==-2；

…

（1）按照上述規(guī)律，請寫出第n個等式；

（2）a+a+a+…+a=______.

分析 根據(jù)已知條件容易寫出第n個等式a==-，a+a+a+…+a=（-1）+（-）+（2-）+…+（-）=-1.

對于數(shù)字變化類規(guī)律探究題，解題的一般思路是觀察各式左右兩邊的規(guī)律，通過橫縱（所謂橫向?qū)Ρ戎傅氖潜容^同一不等式不同部分的數(shù)量關系，縱向?qū)Ρ戎傅氖潜容^不同等式間相同位置的數(shù)量關系）對比找到蘊含其中的規(guī)律，在此基礎上加以歸納、猜想、計算、證明，問題即可迎刃而解. 通過解決此類問題，學生的推理能力及運算能力等素養(yǎng)將得到發(fā)展.

結束語

在生活和數(shù)學中，存在著大量有規(guī)律的事物，以及事物變化趨勢的問題. 在日常教學中，教師要重視引導學生探索蘊含其中的規(guī)律，并用數(shù)學知識進行描述和解答，這樣不僅可以激發(fā)學生的學習興趣，而且對培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想和數(shù)學應用意識等有著重要的作用，有利于促進“三會”目標的達成.

規(guī)律探究問題設計獨特、新穎，蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，解決此類問題時沒有固定的方法可以套用，更多的是需要學生通過觀察、實驗、猜想、推理、驗證等過程得到結果，其是訓練、考查學生思維靈活性和創(chuàng)新性的重要題型. 同時，通過解決此類問題，不僅可以拓寬學生的數(shù)學視野，而且可以培養(yǎng)學生的抽象能力、幾何直觀、推理能力、運算能力等素養(yǎng).

總之，教師要從學生的認知規(guī)律出發(fā)，充分利用各種教學資源，引導學生經(jīng)歷猜想、歸納、驗證等學習過程，在訓練學生基礎知識和基本技能的同時，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).