新課標要求教師以結(jié)構(gòu)化的視角對教材內(nèi)容進行整體解讀和結(jié)構(gòu)梳理，以培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)目標為旨歸，基于學生的認知規(guī)律和學習需求設計挑戰(zhàn)性任務，拓展學生的探究空間，讓學生在橫向、縱向拓展中深度學習，完善認知，發(fā)展高階思維，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

鄭毓信教授曾指出：“數(shù)學對象的建構(gòu)事實上是一種整體性的建構(gòu)活動?；蛘哒f，數(shù)學的對象并非各個孤立的模式，而是整體性的‘建構(gòu)’。”因此，要想讓學生真正掌握數(shù)學知識的本質(zhì)，教師應該“設計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”，以系統(tǒng)、關(guān)聯(lián)的研究視角設計課堂教學。但是教材的編寫往往是零散的、孤立的，教師應該對教材內(nèi)容進行適當拓展和補充，使這些零散的、孤立的知識碎片凝成完整的知識網(wǎng)絡，完善學生的認知結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)化的教學更能促成學生深入學習，拓展學生對數(shù)學概念的深度理解，發(fā)展高階思維，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、縱向拓展——由變趨深，讓數(shù)學思維更高階

教材是學生學習的重要載體。當前教材是按照學段劃分單元的編排需要，將本質(zhì)相同或相似的知識點分散在不同的學段和單元中，這樣的知識編排缺乏整體性和系統(tǒng)性，不利于學生的理解與整體建構(gòu)。教師應以結(jié)構(gòu)化的視角對教材內(nèi)容進行整體解讀和結(jié)構(gòu)梳理，以培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)目標為旨歸，基于學生的認知規(guī)律和學習需求設計挑戰(zhàn)性的任務，通過不斷變式拓展學生的探究空間，讓學生在有意義的學習過程中提高分析問題和解決問題的能力，從中培養(yǎng)批判性思維和創(chuàng)新思維，發(fā)展高階思維。

（一）重構(gòu)問題體系，清晰認知結(jié)構(gòu)

教材內(nèi)容較為精煉，許多有助于學生概念建構(gòu)的資源未能直觀呈現(xiàn)，無形中增加了學生學習的困難。教師在深入分析教材內(nèi)容的同時要了解學生已有的知識基礎和能力基礎，基于學生學情，立足學生的疑難點來設計核心問題，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，在探究中了解知識的來龍去脈，完善數(shù)學模型，加深對知識的理解，清晰認知結(jié)構(gòu)，進一步提升核心素養(yǎng)。例如，在教學《軸對稱再認識（一）》時，有的學生對于“平行四邊形是不是軸對稱圖形”存在疑惑，即使通過對折等方法驗證了平行四邊形是無法沿著一條直線使兩邊重合的，依然無法從心底認同結(jié)論，因為在他們的認知中，凡是能夠分成兩個相同部分的圖形就是軸對稱圖形，平行四邊形恰好符合這一特點。如何解開學生心底的疑惑，使他們的問題最終有一個終結(jié)點呢？教師以結(jié)構(gòu)化理念為指導，基于學生的理解性學習設計拓展問題，讓學生在具有結(jié)構(gòu)化的問題體系中操作、討論、交流，真正感悟知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與變化規(guī)律。

問題1：怎樣才能使平行四邊形的兩邊重合呢？

學生通過實際操作最終發(fā)現(xiàn)，只有將平行四邊形剪開并旋轉(zhuǎn)，才能重合。

問題2：你能改變平行四邊形的其中一個點，讓它變成軸對稱圖形嗎？

學生操作后發(fā)現(xiàn)，當把平行四邊形變成梯形后，才可以實現(xiàn)對折后完全重合的要求。

然后，教師通過動畫演示，讓學生明白平行四邊形確實是對稱圖形，只不過是沿著中心點旋轉(zhuǎn)180°才能實現(xiàn)重合，因此它是中心對稱圖形。通過這樣的深入拓展，學生在問題的引領(lǐng)下真正經(jīng)歷知識的形成過程，加深了對圖形特征的本質(zhì)理解，使認知結(jié)構(gòu)更清晰。

（二）聚焦概念本質(zhì)，梳理方法結(jié)構(gòu)

學生在學習中經(jīng)常會遇到一些難點，而對于這些難點，如果教師僅按照教材編排簡要講解，是難以突破的，需要精心設計、巧妙引導、適當拓展。如學生計算周長時總是受到面積的干擾，導致計算方法錯誤，即使懂得區(qū)分周長和面積，但計算周長時還會出現(xiàn)多算或少算的現(xiàn)象。歸根結(jié)底，這是因為學生對概念的理解淺表化，未觸及概念的本質(zhì)。如何突破呢？教師著眼于整個單元的核心內(nèi)容，設計開放性的“大問題”驅(qū)動學生探究：請用兩個完全一樣的長方形（長10厘米，寬7厘米）拼出新的圖形，并計算新圖形的周長。

學生經(jīng)歷觀察、操作、分析、歸納等學習過程，最終梳理出具有代表性的6種圖形（如圖1所示）。

首先，教師引導學生分類：1、2、3、4號圖形能夠算出周長分為一類，5、6號圖形不能算出周長分為另一類，并動手計算1、2、3、4號圖形的周長，從而梳理出計算周長的多種方法，如依次加、消邊法、分類加、平移轉(zhuǎn)化等，豐富了學生解決問題的策略。

其次，教師引導學生進一步探究，鼓勵他們發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑。學生發(fā)現(xiàn)2、3號圖形雖然拼法不同（即形狀不同），但由于消失的邊一樣，所以周長一樣，還發(fā)現(xiàn)消失的邊越長，新圖形的周長就越小，甚至發(fā)現(xiàn)利用消邊法，6號圖形也能算出周長了，與2、3號圖形的周長一樣。根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，學生還估算出5號圖形的周長范圍介于54和68之間。

最后，教師引導學生溝通聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)計算規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形的周長時，不管采用哪種方法，其實都是計算圖形所有邊線的總和，從而直擊周長的概念本質(zhì)，突出方法之間的聯(lián)系，促進了學生觀察能力、分析能力、推理能力和思辨能力的提升。

（三）創(chuàng)生探究空間，培養(yǎng)思維結(jié)構(gòu)

數(shù)學教學不僅是知識的教學，更是數(shù)學思想方法的教學，學生思維結(jié)構(gòu)化是課程教學的根本目標，因而是數(shù)學教學的核心。教師在教學中通過適當拓展延伸，致力于引導學生形成結(jié)構(gòu)化的思維，使他們在解決問題時思路更清晰、更高效。

例如，在六年級上冊《百分數(shù)的應用》教學中，教師基于生活中“雙十一”購物的真實問題創(chuàng)生探究空間，借助以下三個結(jié)構(gòu)化問題驅(qū)動學生深層次思考：雙十一之前，某品牌彩電商家悄悄漲價20%，活動期間推出特大優(yōu)惠，降價20%，那么現(xiàn)價比原價高了還是低了？假如彩電先降價20%，再上漲20%，那么彩電現(xiàn)價比原價高了還是低了？是不是只要經(jīng)過“一升一降”，結(jié)果一定是“現(xiàn)價＜原價”呢？為什么？

教師利用設數(shù)法、線段圖、示意圖等多元表征引導學生理解構(gòu)建，發(fā)現(xiàn)1000×（1+20%）×（1-20%）這個綜合算式中隱藏著的乘法交換律，探明了三個量變化幅度之間變與不變的本質(zhì)。學生運用字母，將單位“1”假設成a，借助字母的力量，從數(shù)學本質(zhì)上領(lǐng)悟到各種假設法的合理性及內(nèi)在的一致性，從不同的視角經(jīng)歷思維過程，從而發(fā)現(xiàn)百分比漲跌的奧秘，探索解題的一般規(guī)律，溝通知識之間的聯(lián)系，形成了用假設法解決百分數(shù)應用問題的一般經(jīng)驗。整節(jié)課使學生經(jīng)歷了問題解決的全過程，用數(shù)學的眼光對問題進行合理推測、分析和概括，在經(jīng)歷中體驗，在體驗中建構(gòu)，進一步深化了假設法解決問題的意義和價值，真正實現(xiàn)了從“教結(jié)構(gòu)”到“用結(jié)構(gòu)”的嬗變。教師以問題編織思維的網(wǎng)，讓學生的數(shù)學思考在這樣的思維場域得到進階發(fā)展，凸顯了思維的整體性和關(guān)聯(lián)性，形成了思維結(jié)構(gòu)。

二、橫向拓展——由聯(lián)到通，讓數(shù)學理解更深遠

教師以整合、系統(tǒng)、關(guān)聯(lián)的研究視角研讀教材、整合教材，連貫地理解目標，關(guān)注內(nèi)容之間的聯(lián)系，突出數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)化和教學實施的科學性，有助于學生對概念本質(zhì)的深度理解，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。在數(shù)學學科乃至于所有的學科中，總有部分內(nèi)容或是呈現(xiàn)的知識形態(tài)相近，或是使用的思想方法相同而可以把它們歸為同一類，它們或存在于同一學科之中，或存在于不同的學科之間。因此，在教學中，教師應將這些相似的知識點進行聯(lián)系、分析，區(qū)分其中的異同，以數(shù)學核心知識為統(tǒng)領(lǐng)，全面研究核心問題或重要方法，引導學生的學習由關(guān)聯(lián)到融通地橫向拓展，拓展學生對知識理解的深度和廣度，讓數(shù)學理解更深遠。

（一）串點成線，從零散走向統(tǒng)一

教材內(nèi)容具有普適性，知識點較為簡單，造成部分學生的認知起點與教材編排結(jié)構(gòu)之間的矛盾，不利于學生的長遠發(fā)展。教師可以立足大單元，以整體、聯(lián)系的視角看待知識，將核心知識置于大數(shù)學背景下，將同一個模塊的知識點用一線串珠的方法串聯(lián)起來，豐盈知識內(nèi)蘊，讓知識變得更加厚重、充實，使簡單的內(nèi)容立體化，突顯知識結(jié)構(gòu)。例如，在教學分數(shù)除法時，教師引領(lǐng)學生回憶舊知，勾連前后知識間的聯(lián)系，融合整數(shù)除法和小數(shù)除法，了解計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)相除的計算方法，理解算理、掌握算法，讓學生初步感悟整數(shù)除法、小數(shù)除法和分數(shù)除法的內(nèi)在一致性，以及算理和算法的一致性，從整體上把握教材，關(guān)注知識的整體性，明晰知識形成與發(fā)展的脈絡，使數(shù)學知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。

（二）連線成面，從內(nèi)隱走向外顯

教學中，教師經(jīng)常會用聯(lián)系的方法將同類知識進行勾連整合，使知識結(jié)構(gòu)化，有助于學生理解和記憶。而有些知識的外在表現(xiàn)形式并不相同，比如不同模塊的內(nèi)容好像毫不相關(guān)，而有結(jié)構(gòu)化意識的教師會引領(lǐng)學生深入知識本質(zhì)，由本質(zhì)抓關(guān)聯(lián)，梳理內(nèi)在的邏輯關(guān)系，幫助學生建立良性的認知結(jié)構(gòu)，更好地發(fā)展數(shù)學思維，讓知識更有生發(fā)力。

例如，在教學《乘法分配律》時，教師采用以形釋數(shù)的方法統(tǒng)整四則運算定律，利用幾何直觀構(gòu)建規(guī)律模型、維度拓展演繹定律的教學思路，立足生本經(jīng)驗，精選認知素材，優(yōu)化認知路徑，豐富論證策略，尊重共性學情，通過“我觀察——我研究——我回憶——我會講”等教學環(huán)節(jié)，讓思維可視化，引導學生在多元表征中有效建構(gòu)乘法分配律模型。首先，教師借助拼長方形求面積的具體情境，數(shù)形結(jié)合建立初步聯(lián)結(jié)，引導學生理解兩種算式的意義，初步感知模型。其次，讓學生自主寫出一組類似的算式，并找到這一類算式的異同點，加深對模型的感知。再次，學生任選一組算式，通過算式意義、生活事例、切分方格、計算說明等多元表征，解釋等式的成立，建構(gòu)對運算關(guān)系的深度理解。最后，脫離現(xiàn)實情境，借助算式的意義理解模型的本質(zhì)，引導學生用文字和符號來表征。由具體到抽象，借助乘法的意義完成對乘法分配律的數(shù)學表征，從而拋掉乘法分配律外在的“形”，深入理解乘法分配律的“魂”，凸顯了乘法分配律的本質(zhì)。學生充分經(jīng)歷了乘法分配律的建模過程，滲透了對抽象能力、符號意識和模型思想的培養(yǎng)。

（三）連面成體，從單一走向多維

認知心理學家布魯納說：“獲得的知識，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會被遺忘的知識，一串不連貫的信息在記憶中僅有短促得可憐的壽命。”沒有經(jīng)過學生組織的知識，沒有納入學生認知結(jié)構(gòu)的知識，都不能被學生真正理解與接受。碎片化教學拆散了知識系統(tǒng)，違反了教學常識，背離了兒童認知規(guī)律，無形中增加了學生的學習負擔。數(shù)學與其他學科之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，教師如果能夠巧妙滲透其他學科的知識，幫助學生深究現(xiàn)象背后的原因，則能夠拓寬學生的視野，提高課堂學習的實效性。

例如，在《游戲公平》一課中，教師讓學生進行拋瓶蓋的活動，通過幾組實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，學生得出瓶蓋反面朝上的次數(shù)多這一結(jié)論，因此認為這個游戲是不公平的。這樣的認知浮于淺表，容易被學生遺忘。教師其實可以滲透科學學科的知識，學生在科學課上有過制作不倒翁的經(jīng)歷，對重力已經(jīng)有了直觀的感知，教師可以引導學生分析，理解是因為重力的原因使瓶蓋反面朝上的次數(shù)多，從而通過跨學科的學習多角度理解現(xiàn)象背后的本質(zhì)，不僅知其然還知其所以然，雙向融通，讓學生的視角從數(shù)學拓寬到世界。

三、結(jié)語

結(jié)構(gòu)化視野下小學數(shù)學課堂的縱橫拓展以發(fā)展學生的核心素養(yǎng)為旨歸，基于學生的真實需求，融合多方資源挖掘拓展點，遵循學生的認知規(guī)律，梳理有效的教學實施路徑，注重關(guān)聯(lián)地設計層層推進的學習任務，幫助學生化解易錯點、解決困惑點、續(xù)接生發(fā)點，實現(xiàn)知識的本質(zhì)勾連，促進學生對核心概念的深度理解，使學生在深度探究中提升關(guān)鍵能力，發(fā)展高階思維，獲得核心素養(yǎng)的發(fā)展。

注：本文系2023年福建省教育科學規(guī)劃課題“素養(yǎng)導向下以‘習’為中心的小學數(shù)學課堂實踐研究”（課題編號：FJXCZX23-349）的階段性成果。

（宋行軍）