有趣的“絕對值方程”

我們把含絕對值符號的方程叫作“絕對值方程”，解“絕對值方程”的最常見的方法有兩個：一是去掉絕對值符號，把“絕對值方程”轉(zhuǎn)化為不含有絕對值的方程；二是根據(jù)絕對值的幾何意義利用數(shù)軸得解。

例 解下列“絕對值方程”．

（1）｜x｜=3.（2）｜2x-1 ｜＝5.（3）｜x-1｜+｜x+3｜＝5.

解法1：（1）因為｜±3｜=3，所以x=3或x=-3.

（2）因為｜±5｜=5，所以2x-1=5或2x-1=-5．解得x=3或x=-2.

（3）當(dāng)x＜-3時，去絕對值符號，得1-x-3-x=5，解得x=-3.5；當(dāng)-3≤x≤1時，去絕對值符號，得1-x+x+3=5，顯然不成立；當(dāng)x＞1時，去絕對值符號，得x-1+x+3=5，解得x=1.5．所以原方程的解是x=-3.5或x=1.5．

解法2：（運用絕對值的幾何意義）

（l）因為表示3或-3的點到原點的距離都是3，所以x=3或x=-3.

（2）因為表示5或-5的點到原點的距離都是5．所以2x-1=5或2x-1=-5，解得x=3或x=-2.

（3）根據(jù)數(shù)軸上表示a，b的兩點之間的距離等于兩數(shù)之差的絕對值，可知解方程|x-1|+|x+3|=5。可以看作求數(shù)軸上到表示1的點A和表示-3的點B兩點的距離和為5的點P受示的數(shù)x．

如圖1，當(dāng)點P在線段AB上時，PA +PB=4＜5．顯然不成立；

如圖2，當(dāng)點P表示-3.5時，PA +PB=4.5+0.5=5，故x=-3.5；

如圖3，當(dāng)點P表示1.5時，PA +PB=0.5+4.5=5．故x=1.5．

所以原方程的解是x=-3.5或x=1.5．

試一試

1.解方程：|x-1/2|-x=2．

2．解方程：|2x+1|=|5x-6|.

3．解方程：|x-1|+|x+1|+|x+2|=7.

參考答案：

1．x=-1．

2.x=7/3或x=5/7

3.x=-3或x=5/3．